Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych — sinus, cosinus, tangens

Q: Jak obliczyć bok trójkąta prostokątnego z sinusa?

Pomnóż przeciwprostokątną przez sinus kąta. Przy sin α = 3/5 i przeciwprostokątnej 15 bok naprzeciw α ma 15·3/5 = 9.

Q: Jak rozpoznać kąty 30°, 45° i 60°?

Po wartościach funkcji: 1/2, √2/2, √3/2, √3/3, 1, √3. Pełna tablica jest na karcie wzorów CKE — np. tg60° = √3, a cos 60° = 1/2.

Q: Kiedy w trójkącie prostokątnym użyć twierdzenia Pitagorasa?

Gdy znane są dwa boki, a potrzebny jest trzeci. Przy cos α = 5/13 i przeciwprostokątnej 26 bok przyległy ma 10, a druga przyprostokątna √(676 - 100) = 24.

Trójkąt prostokątny rozwiązujemy, dobierając funkcję, która wiąże znane boki z szukanym: sinus (bok naprzeciw kąta / przeciwprostokątna), cosinus (bok przyległy / przeciwprostokątna), tangens (naprzeciw / przyległy). Trzeci bok daje twierdzenie Pitagorasa.

Trygonometria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Trójkąt prostokątny rozwiązujesz — wyznaczasz brakujące boki i kąty — dobierając funkcję, która wiąże znane boki z szukanym: sinus (naprzeciw / przeciwprostokątna), cosinus (przyległa / przeciwprostokątna), tangens (naprzeciw / przyległa). Gdy dane są dwa boki, trzeci bierzesz z twierdzenia Pitagorasa.

$\sin\alpha = \frac{3}{5}$ , przeciwprostokątna $15$ : bok naprzeciw $\alpha$ to $15\cdot\frac{3}{5} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}$ .
Kąt $60^\circ$ , przyprostokątna przyległa $4$ : bok naprzeciw to $4\cdot\operatorname{tg}60^\circ = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\sqrt{3}}}$ .
Przyprostokątne $5$ i $12$ : przeciwprostokątna $13$ , więc sinus kąta naprzeciw boku $5$ to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\frac{5}{13}}}$ .
Przyprostokątne $\sqrt{3}$ i $3$ : $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $\alpha = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{30^\circ}}$ .
Przeciwprostokątna o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $x$ i $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ : $\frac{x}{x+8} = \frac{3}{5}$ , stąd $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ .

Jak rozpoznać kąt 30°, 45° i 60° po wartości funkcji

Na maturze: karta wzorów CKE zawiera tablicę wartości $\sin$ , $\cos$ i $\operatorname{tg}$ dla kątów $0^\circ$ – $90^\circ$ — kąty $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ rozpoznasz po wartościach $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $1$ , $\sqrt{3}$ . Zadanie zwykle mówi „sinus kąta $ABC$ ” — najpierw ustal, który bok leży naprzeciw wierzchołka $B$ , a który jest przyległy; zamiana tych boków to najczęstszy błąd. W odpowiedziach CKE zostawia pierwiastek w mianowniku (np. $\frac{3}{\sqrt{10}}$ ), więc porównuj wartości, nie zapis. Gdy zamiast długości podana jest zależność („o $8$ dłuższa”), oznacz bok przez $x$ i zapisz definicję funkcji jako równanie.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Boki trójkąta z wartości sinusa, cosinusa lub tangensa

Przeciwprostokątna AB = 26, cos α = 5/13; przyprostokątne AC i BC = ?

Znając wartość sinusa, cosinusa lub tangensa kąta ostrego i jeden bok, wyznaczasz drugi bok z definicji funkcji, a trzeci — z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, a $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ , gdzie $\alpha$ to kąt przy wierzchołku $A$ . Przeciwprostokątna $AB$ ma długość $26$ . Oblicz długości obu przyprostokątnych.

Cosinus wiąże przyprostokątną przyległą do $\alpha$ (czyli $AC$ ) z przeciwprostokątną $AB$ , więc zaczynam od niego: $\cos\alpha = \frac{|AC|}{|AB|}$ .
Podstawiam dane i wyznaczam bok: $\frac{5}{13} = \frac{|AC|}{26}$ , stąd $|AC| = 26\cdot\frac{5}{13} = 10$ .
Drugą przyprostokątną nie muszę liczyć z sinusa — wystarczy twierdzenie Pitagorasa: $|BC|^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$ , więc $|BC| = 24$ .
Kontrola: $\sin\alpha = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$ , a $\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1$ — zgadza się. Odpowiedź: $|AC| = 10$ , $|BC| = 24$ .

Odpowiedź: |AC| = 10, |BC| = 24

Przykład 2 Boki trójkąta z kąta 30°, 45° lub 60°

Kąt A = 60°, przyprostokątna AC = 4; BC i AB = ?

Dla danego kąta ostrego odczytujesz wartość sinusa, cosinusa lub tangensa (kąty 30°, 45°, 60° albo tablica z karty wzorów) i liczysz brakujący bok.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|\angle BAC| = 60^\circ$ , a przyprostokątna $AC$ ma długość $4$ . Oblicz długości boków $BC$ i $AB$ .

Bok $AC$ jest przyległy do kąta $60^\circ$ , a szukany $BC$ leży naprzeciw — dwie przyprostokątne wiąże tangens: $\operatorname{tg}60^\circ = \frac{|BC|}{|AC|}$ .
Z tablicy $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ , więc $|BC| = 4\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .
Przeciwprostokątną z przyległą wiąże cosinus: $\cos 60^\circ = \frac{|AC|}{|AB|}$ , czyli $\frac{1}{2} = \frac{4}{|AB|}$ , stąd $|AB| = 8$ .
Kontrola twierdzeniem Pitagorasa: $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ . Odpowiedź: $|BC| = 4\sqrt{3}$ , $|AB| = 8$ .

Odpowiedź: |BC| = $4\sqrt{3}$ , |AB| = 8

Przykład 3 Sinus i tangens kąta z dwóch boków i Pitagorasa

Kąt prosty przy B, |AB| = 3, |AC| = √45; sin α i tg α = ?

Gdy dane są dwa boki trójkąta prostokątnego, liczysz trzeci z twierdzenia Pitagorasa i podajesz sinus, cosinus lub tangens wskazanego kąta.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty, $|AB| = 3$ oraz $|AC| = \sqrt{45}$ . Oblicz sinus i tangens kąta $BAC$ .

Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego $B$ , więc jest nią $AC$ ; brakuje przyprostokątnej $BC$ : $|BC|^2 = 45 - 9 = 36$ , czyli $|BC| = 6$ .
Kąt $BAC$ ma wierzchołek w $A$ : naprzeciw niego leży $BC$ , przyległa jest $AB$ , przeciwprostokątna $AC$ — dopiero teraz dobieram funkcje.
$\sin\angle BAC = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ — CKE zostawia taki zapis, nie trzeba usuwać niewymierności.
$\operatorname{tg}\angle BAC = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{6}{3} = 2$ . Odpowiedź: $\sin\angle BAC = \frac{2}{\sqrt{5}}$ , $\operatorname{tg}\angle BAC = 2$ .

Odpowiedź: sin∠BAC = 2/ $\sqrt{5}$ (= $2\sqrt{5}$ /5), tg∠BAC = 2

Przykład 4 Miara kąta rozpoznana po wartości funkcji

Trójkąt EBC odcięty wysokością CE: |EB| = 4, |CE| = 4√3; kąt B = ?

Z dwóch boków trójkąta prostokątnego (także odciętego w trapezie, prostokącie czy rombie) liczysz wartość funkcji i rozpoznajesz miarę kąta: 30°, 45° lub 60°.

Zadanie Trapez prostokątny $ABCD$ ma podstawy $|AB| = 10$ i $|CD| = 6$ oraz wysokość $|AD| = 4\sqrt{3}$ . Oblicz miarę kąta ostrego $ABC$ .

Kąt $ABC$ nie leży w żadnym gotowym trójkącie prostokątnym, więc prowadzę wysokość $CE$ z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ : powstaje trójkąt $EBC$ z kątem prostym przy $E$ .
W tym trójkącie $|CE| = |AD| = 4\sqrt{3}$ (wysokość trapezu), a $|EB| = |AB| - |CD| = 10 - 6 = 4$ (reszta dłuższej podstawy).
Kąt $ABC$ ma wierzchołek w $B$ : naprzeciw leży $CE$ , przyległa to $EB$ — dwie przyprostokątne wiąże tangens: $\operatorname{tg}\angle ABC = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ .
Z tablicy $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ , więc $|\angle ABC| = 60^\circ$ .

Odpowiedź: 60°

Przykład 5 Bok z równania, gdy boki są od siebie zależne

tg α = 3/4, |AC| = x, |BC| = x − 3; AB = ?

Gdy zamiast długości boku dana jest zależność (o 8 dłuższa, obwód, suma boków), oznaczasz bok przez x, zapisujesz definicję funkcji jako równanie i rozwiązujesz.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, tangens kąta $CAB$ jest równy $\frac{3}{4}$ , a przyprostokątna $BC$ jest o $3$ krótsza od przyprostokątnej $AC$ . Oblicz długość przeciwprostokątnej $AB$ .

Żadna długość nie jest dana wprost, więc oznaczam $|AC| = x$ ; wtedy $|BC| = x - 3$ (krótsza o $3$ ).
Kąt $CAB$ ma wierzchołek w $A$ : naprzeciw leży $BC$ , przyległa to $AC$ , więc definicja tangensa daje równanie $\frac{x - 3}{x} = \frac{3}{4}$ .
Mnożę na krzyż: $4(x - 3) = 3x$ , czyli $4x - 12 = 3x$ , stąd $x = 12$ . Zatem $|AC| = 12$ i $|BC| = 9$ .
Pytanie jest o przeciwprostokątną, więc jeszcze twierdzenie Pitagorasa: $|AB| = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ .

Odpowiedź: |AB| = 15

Najczęstsze błędy

Zamiana boku naprzeciw kąta z bokiem przyległym. Najpierw trzeba ustalić, który bok leży naprzeciw wierzchołka kąta, a który przy nim — to najczęstszy błąd.
Odrzucenie poprawnej odpowiedzi przez inny zapis. CKE zostawia pierwiastek w mianowniku, a $\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt5}{5}$ — porównuje się wartości, nie zapis.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$ , że $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ . Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $15$ . Przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ ma długość:

Zadanie 2

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|\angle ABC| = 60^\circ$ , a przeciwprostokątna $AB$ ma długość $12$ . Długość przyprostokątnej $BC$ jest równa:

Zadanie 3

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym bok $AB$ jest przeciwprostokątną oraz $|AC| = 4$ i $|AB| = 2\sqrt{13}$ . Kąt $CAB$ oznaczmy przez $\alpha$ . Sinus kąta $\alpha$ jest równy:

Zadanie 4

W prostokącie $ABCD$ bok $AB$ ma długość $6\sqrt{3}$ , a bok $BC$ ma długość $6$ . Kąt między przekątną $AC$ a bokiem $AB$ ma miarę:

Zadanie 5

W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\frac{4}{5}$ , a przeciwprostokątna $AB$ jest o $3$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$ . Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 23

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 8$ oraz $|CD| = 5$ . Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Karolina Duda

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym?

Sinus kąta ostrego to bok naprzeciw kąta podzielony przez przeciwprostokątną, cosinus — bok przyległy przez przeciwprostokątną, tangens — bok naprzeciw przez bok przyległy. Przy przyprostokątnych $5$ i $12$ przeciwprostokątna ma $13$ , więc sinus kąta naprzeciw boku $5$ to $\frac{5}{13}$ .

Jak obliczyć bok trójkąta prostokątnego z sinusa?

Pomnóż przeciwprostokątną przez sinus kąta. Przy $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ i przeciwprostokątnej $15$ bok naprzeciw $\alpha$ ma $15\cdot\frac{3}{5} = 9$ .

Jak obliczyć kąt w trójkącie prostokątnym?

Policz wartość funkcji z dwóch boków i odczytaj kąt z tablicy. Przyprostokątne $\sqrt{3}$ i $3$ dają $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $\alpha = 30^\circ$ .

Jak rozpoznać kąty 30°, 45° i 60°?

Po wartościach funkcji: $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $1$ , $\sqrt{3}$ . Pełna tablica jest na karcie wzorów CKE — np. $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ , a $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Kiedy w trójkącie prostokątnym użyć twierdzenia Pitagorasa?

Gdy znane są dwa boki, a potrzebny jest trzeci. Przy $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ i przeciwprostokątnej $26$ bok przyległy ma $10$ , a druga przyprostokątna $\sqrt{676 - 100} = 24$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° Trygonometria Jedynka trygonometryczna i tożsamości Trygonometria Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta z sinusem Trygonometria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę