Funkcja odwrotnie proporcjonalna — wzór, wykres, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór funkcji odwrotnie proporcjonalnej?

y=a/x, gdzie a≠ 0 i x≠ 0. Równoważnie x· y=a — iloczyn argumentu i wartości jest stały.

Q: Co to są wielkości odwrotnie proporcjonalne?

Takie, których iloczyn jest stały: gdy jedna rośnie k razy, druga maleje k razy. Jeśli 4 osoby pracują 6 dni, to 8 osób skończy w 24:8=3 dni.

Q: Jak wygląda wykres funkcji odwrotnie proporcjonalnej?

To hiperbola. Dla a>0 leży w ćwiartkach I i III, dla a<0 — w ćwiartkach II i IV.

Q: Jak obliczyć współczynnik a z punktu wykresu?

Pomnóż współrzędne punktu: a=x· y. Dla punktu (-2, 5) jest a=-10, więc funkcja ma wzór y=(-10)/x.

Q: Jak obliczyć argument, gdy znana jest wartość funkcji?

Skorzystaj z x=a/y. Dla f(x)=12/x i wartości -3: x=12/(-3)=-4.

Wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: $x\cdot y=a$ , czyli $y=\dfrac{a}{x}$ ( $a\neq 0$ , $x\neq 0$ ). Wykresem jest hiperbola: dla $a>0$ leży w ćwiartkach I i III, dla $a<0$ — w II i IV.

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Stały iloczyn $a$ — stała różna od zera, $x \neq 0$: $x\cdot y=a$
Wzór funkcji odwrotnie proporcjonalnej $a\neq 0$ , $x\neq 0$ ; wykresem jest hiperbola: $y=\dfrac{a}{x}$

Wzór i wykres funkcji odwrotnie proporcjonalnej

Wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: $x\cdot y=a$ , czyli $y=\dfrac{a}{x}$ ( $a\neq 0$ , $x\neq 0$ ). Gdy jedna rośnie $k$ razy, druga maleje $k$ razy. Wykresem jest hiperbola: dla $a>0$ leży w ćwiartkach I i III, dla $a<0$ w II i IV.

$f(x)=\dfrac{8}{x}$ : $f\!\left(\dfrac{2}{5}\right)=8\cdot\dfrac{5}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$ .
Wykres przechodzi przez $(-2,\,5)$ : $a=x\cdot y=(-2)\cdot 5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-10}}$ .
$\dfrac{12}{x}=-3$ , więc $x=\dfrac{12}{-3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}$ .
$4$ osoby pracują $6$ dni: $4\cdot 6=24$ ; $8$ osób: $24:8=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$ dni.

Jak obliczyć współczynnik a i argument funkcji

Na maturze: karta wzorów CKE nie zawiera nic o $y=\dfrac{a}{x}$ — wszystko sprowadza się do $x\cdot y=a$ : z punktu wykresu liczysz $a$ , z wartości funkcji liczysz argument $x=\dfrac{a}{y}$ . Zadania tekstowe (prędkość–czas, liczba osób–dni, cena–liczba sztuk) sprawdzają, czy zauważysz, co jest stałe. Pułapka: dla $a>0$ funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,+\infty)$ osobno, ale nie na całej dziedzinie.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość funkcji y = a/x dla danego argumentu

Podstawiasz argument do wzoru f(x) = a/x — także ułamkowy lub ujemny — i obliczasz wartość funkcji.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{-6}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$ . Wartość $f\!\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ jest równa:

Wartość funkcji to wynik podstawienia argumentu za $x$ , więc wpisuję $x=-\dfrac{3}{4}$ : $f\!\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-6:\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ .
Dzielenie przez ułamek zamieniam na mnożenie przez jego odwrotność: $-6\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)$ .
Ustalam znak: minus razy minus daje plus, więc wynik jest dodatni: $6\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{24}{3}=8$ .
Sprawdzam sens: $a<0$ i $x<0$ , więc $y$ musi być dodatnie — zgadza się. $f\!\left(-\dfrac{3}{4}\right)=8$ .

Odpowiedź: $8$

Przykład 2 Brakujące wartości w tabeli ze stałego iloczynu

x	y
2,5	8
4	?
?	2,5

Wielkości odwrotnie proporcjonalne: iloczyn x·y jest stały (tu 20)

Z jednej pełnej pary wartości liczysz stały iloczyn x·y i z niego wyznaczasz brakującą wielkość — w tabeli lub w zadaniu tekstowym.

Zadanie Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. W tabeli brakuje dwóch wartości:

$x$	$2{,}5$	$4$	$?$
$y$	$8$	$?$	$2{,}5$

Brakująca wartość

y

oraz brakująca wartość

x

to kolejno:

Wielkości odwrotnie proporcjonalne mają stały iloczyn $x\cdot y$ , więc liczę go z jedynej pełnej pary: $2{,}5\cdot 8=20$ .
Druga kolumna: znam $x=4$ , więc $4\cdot y=20$ , stąd $y=20:4=5$ .
Trzecia kolumna: znam $y=2{,}5$ , więc $x\cdot 2{,}5=20$ , stąd $x=20:2{,}5=8$ .
Sprawdzam: $4\cdot 5=20$ i $8\cdot 2{,}5=20$ — iloczyn stały. Brakujące wartości to $y=5$ i $x=8$ .

Odpowiedź: $y=5$ , $x=8$

Przykład 3 Współczynnik a z punktu wykresu

Z współrzędnych punktu leżącego na wykresie liczysz a = x·y — także dla współrzędnych ujemnych i ułamkowych — zapisujesz wzór funkcji i używasz go dalej.

Zadanie Do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ , gdzie $a\neq 0$ , należy punkt $P=\left(-\dfrac{2}{3},\,6\right)$ . Wtedy $f(8)$ jest równe:

Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór: $6=\dfrac{a}{-\frac{2}{3}}$ . Zamiast rozwiązywać równanie z ułamkiem w mianowniku, korzystam z tego, że $a=x\cdot y$ .
Liczę $a=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot 6=-\dfrac{12}{3}=-4$ — znak ujemny, bo współrzędne mają różne znaki.
Zapisuję wzór funkcji: $f(x)=\dfrac{-4}{x}$ .
Dopiero teraz odpowiadam na pytanie: $f(8)=\dfrac{-4}{8}=-0{,}5$ .

Odpowiedź: $f(8)=-0{,}5$ (bo $a=-4$ )

Przykład 4 Argument, dla którego funkcja ma daną wartość

Z równania a/x = c wyznaczasz argument x = a/c — także wtedy, gdy wartość jest ułamkiem lub liczbą ujemną.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{-18}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$ . Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $2{,}25$ ?

Zapisuję warunek z treści: $\dfrac{-18}{x}=2{,}25$ . Szukam $x$ , więc muszę uwolnić je z mianownika.
Mnożę obie strony przez $x$ (wolno, bo $x\neq 0$ ): $-18=2{,}25x$ , czyli $x=\dfrac{-18}{2{,}25}$ .
Zamieniam $2{,}25=\dfrac{9}{4}$ , żeby dzielić na ułamkach: $x=-18\cdot\dfrac{4}{9}=-8$ .
Sprawdzam: $\dfrac{-18}{-8}=2{,}25$ — zgadza się, więc $x=-8$ .

Odpowiedź: $x=-8$

Przykład 5 Ćwiartki i monotoniczność hiperboli

Ze znaku współczynnika a rozstrzygasz, w których ćwiartkach leży hiperbola i czy funkcja rośnie, czy maleje na każdym z przedziałów osobno.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{a}{x}$ dla $x\neq 0$ , a do jej wykresu należy punkt $\left(-\dfrac{1}{2},\,7\right)$ . W których ćwiartkach układu współrzędnych leży ten wykres i czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca w przedziale $(0,+\infty)$ ?

O wszystkim decyduje znak $a$ , więc najpierw liczę $a=x\cdot y=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 7=-3{,}5$ .
Skoro $a<0$ , to iloczyn współrzędnych każdego punktu wykresu jest ujemny — $x$ i $y$ mają różne znaki, czyli wykres leży w ćwiartkach II ( $x<0$ , $y>0$ ) i IV ( $x>0$ , $y<0$ ).
Monotoniczność sprawdzam na dwóch wartościach: $f(1)=-3{,}5$ oraz $f(7)=-0{,}5$ . Gdy argument rośnie, wartość rośnie.
Zatem w przedziale $(0,+\infty)$ funkcja jest rosnąca — dla $a<0$ hiperbola rośnie na każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,+\infty)$ osobno.

Odpowiedź: Ćwiartki II i IV; w przedziale $(0,+\infty)$ funkcja jest rosnąca.

Przykład 6 Sytuacja z życia opisana wzorem y = a/x

Z opisu sytuacji o stałym iloczynie zapisujesz wzór y = a/x i porównujesz nim dwa scenariusze.

Zadanie Prostokątna działka ma pole równe $600\ \text{m}^2$ . Zapisz długość $y$ tej działki (w metrach) jako funkcję jej szerokości $x$ (w metrach) i oblicz długość działki o szerokości $15$ m.

Szukam wielkości, która się nie zmienia: pole prostokąta, czyli iloczyn boków $x\cdot y=600$ .
Skoro iloczyn jest stały, boki są odwrotnie proporcjonalne — wyznaczam $y$ : $y=\dfrac{600}{x}$ dla $x>0$ .
Podstawiam $x=15$ : $y=\dfrac{600}{15}=40$ .
Sprawdzam sensowność: $15\cdot 40=600$ — pole się zgadza.

Odpowiedź: $y=\dfrac{600}{x}$ ; dla $x=15$ m długość wynosi $40$ m.

Najczęstsze błędy

„Funkcja malejąca na całej dziedzinie” dla $a>0$ . Jest malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,+\infty)$ osobno, ale nie na całej dziedzinie.
Zły znak $a$ , gdy współrzędne punktu mają różne znaki. Dla punktu $(-2,\,5)$ jest $a=x\cdot y=-10$ , więc wykres leży w ćwiartkach II i IV.
Dzielenie przez ułamek bez odwrócenia: $-6:\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-6\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=8$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{9}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$ . Wartość funkcji $f$ dla argumentu $-\dfrac{1}{3}$ jest równa:

Zadanie 2

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. W tabeli brakuje dwóch wartości $y$ :

$x$	$3$	$5$	$12$
$y$	$20$	$?$	$?$

Brakujące wartości to kolejno:

Zadanie 3

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{a}{x}$ dla $x\neq 0$ , a jej wykres przechodzi przez punkt $\left(\dfrac{1}{2},\,-10\right)$ . Wzór tej funkcji to:

Zadanie 4

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{7}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$ . Liczba $x$ , dla której $f(x)=-\dfrac{1}{2}$ , jest równa:

Zadanie 5

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{a}{x}$ dla $x\neq 0$ , a do jej wykresu należy punkt $(-3,\,4)$ . Wykres funkcji $f$ leży w ćwiartkach układu współrzędnych:

Zadanie 6

Zbiornik o pojemności $450$ litrów napełnia pompa o wydajności $x$ litrów na minutę, więc czas napełniania $t$ (w minutach) opisuje wzór $t=\dfrac{450}{x}$ . Pompa o wydajności $18$ l/min napełnia ten zbiornik dłużej niż pompa o wydajności $25$ l/min o:

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Proporcjonalność odwrotna — całościowe omówienie Lernado

Proporcjonalność odwrotna — wszystko, co musisz wiedzieć Wzorowanie

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór funkcji odwrotnie proporcjonalnej?

$y=\dfrac{a}{x}$ , gdzie $a\neq 0$ i $x\neq 0$ . Równoważnie $x\cdot y=a$ — iloczyn argumentu i wartości jest stały.

Co to są wielkości odwrotnie proporcjonalne?

Takie, których iloczyn jest stały: gdy jedna rośnie $k$ razy, druga maleje $k$ razy. Jeśli $4$ osoby pracują $6$ dni, to $8$ osób skończy w $24:8=3$ dni.

Jak wygląda wykres funkcji odwrotnie proporcjonalnej?

To hiperbola. Dla $a>0$ leży w ćwiartkach I i III, dla $a<0$ — w ćwiartkach II i IV.

Jak obliczyć współczynnik a z punktu wykresu?

Pomnóż współrzędne punktu: $a=x\cdot y$ . Dla punktu $(-2,\,5)$ jest $a=-10$ , więc funkcja ma wzór $y=\dfrac{-10}{x}$ .

Jak obliczyć argument, gdy znana jest wartość funkcji?

Skorzystaj z $x=\dfrac{a}{y}$ . Dla $f(x)=\dfrac{12}{x}$ i wartości $-3$ : $x=\dfrac{12}{-3}=-4$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę