Objętość i pole ostrosłupa — wytłumaczenie, wzór i zadania

Ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę (wielokąt) i wierzchołek (zwany szczytem), z którego do każdego wierzchołka podstawy biegnie krawędź boczna. Wszystkie ściany boczne są trójkątami.

Wysokość ostrosłupa $H$ to odcinek łączący szczyt z podstawą prostopadle do podstawy. Wysokość ściany bocznej $h_s$ (zwana apotemą ostrosłupa) to wysokość trójkąta-ściany poprowadzona ze szczytu do podstawy tego trójkąta — to inny odcinek niż $H$.

Dla każdego ostrosłupa objętość liczymy ze wzoru:

$V = \tfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$

gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość bryły. Ostrosłup mieści trzy razy mniej niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd ten $\tfrac{1}{3}$.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy i wszystkich ścian bocznych:

$P_c = P_p + P_b$

W ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne. Wtedy pole boczne wygodnie liczymy ze wzoru:

$P_b = \tfrac{1}{2} \cdot obw_p \cdot h_s$

gdzie $obw_p$ to obwód podstawy, a $h_s$ — wysokość ściany bocznej.

Najczęstsze wzory na pole podstawy:

• kwadrat o boku $a$: $P_p = a^2$
• trójkąt równoboczny o boku $a$: $P_p = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
• prostokąt o bokach $a$, $b$: $P_p = a \cdot b$

Schemat rozwiązania objętości: policz $P_p$ → policz $V = \tfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$ → dopisz cm³.

Schemat rozwiązania pola powierzchni: policz $P_p$ → policz pole jednej ściany bocznej $\tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s$ → pomnóż przez liczbę ścian bocznych → dodaj do $P_p$ → dopisz cm².