Objętość i pole ostrosłupa — wzory, przykłady i zadania

Objętość każdego ostrosłupa: $V = \tfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$. Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego podstawą jest kwadrat o boku $a$, więc $P_p = a^2$. Stąd $V = \tfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H$. Wysokość $H$ to odcinek prostopadły do podstawy łączący szczyt ze środkiem kwadratu. Schemat: policz pole kwadratu → pomnóż przez wysokość → podziel przez 3 → dopisz cm ^{do potęgi 3}.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta równobocznego o boku $a$, więc $P_p = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Objętość — jak zawsze: $V = \tfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$. Schemat: wstaw $a$ do wzoru na pole trójkąta równobocznego → pomnóż przez $H$ → podziel przez 3 → wynik zostaw w postaci $k\sqrt{3}$ (nie zaokrąglaj $\sqrt{3}$). Jednostka: cm ^{do potęgi 3}.

Pole powierzchni całkowitej: $P_c = P_p + P_b$. Podstawa — kwadrat o boku $a$, więc $P_p = a^2$. Ściany boczne to cztery przystające trójkąty równoramienne o podstawie $a$ i wysokości $h_s$ (wysokość ściany bocznej — uwaga: to nie jest $H$ całego ostrosłupa). Pole jednej ściany: $\tfrac{1}{2} a h_s$. Razem $P_b = 4 \cdot \tfrac{1}{2} a h_s = 2 a h_s$. Stąd $P_c = a^2 + 2 a h_s$. Schemat: policz pole podstawy → policz pole jednej ściany bocznej → pomnóż przez 4 → dodaj do podstawy → dopisz cm ^{do potęgi 2}.

Pole powierzchni całkowitej: $P_c = P_p + P_b$. Podstawa — trójkąt równoboczny o boku $a$: $P_p = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Ściany boczne to trzy przystające trójkąty równoramienne o podstawie $a$ i wysokości $h_s$. Pole jednej ściany: $\tfrac{1}{2} a h_s$. Razem $P_b = 3 \cdot \tfrac{1}{2} a h_s = \tfrac{3}{2} a h_s$. Stąd $P_c = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \tfrac{3}{2} a h_s$. Wynik zostaw w postaci $k + m\sqrt{3}$ (nie zaokrąglaj $\sqrt{3}$). Schemat: policz pole podstawy → policz pole jednej ściany → pomnóż przez 3 → dodaj do podstawy.