Cechy przystawania trójkątów — wytłumaczenie, wzór i zadania

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają taki sam kształt i wielkość — można jeden „przyłożyć" do drugiego tak, by się pokryły. Zapisujemy to $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$, co znaczy, że odpowiadające sobie wierzchołki, boki i kąty są równe: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$ oraz $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.

Żeby stwierdzić, że dwa trójkąty są przystające, nie musimy sprawdzać wszystkich sześciu par boków i kątów. Wystarczy spełnić jedną z trzech cech przystawania:

BBB (bok–bok–bok) — jeżeli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

BKB (bok–kąt–bok) — jeżeli dwa boki jednego trójkąta i kąt między nimi są równe odpowiednim dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. Uwaga: kąt musi leżeć między wskazanymi bokami.

KBK (kąt–bok–kąt) — jeżeli bok jednego trójkąta i dwa kąty do niego przyległe są równe odpowiedniemu bokowi i dwóm przyległym kątom w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające.

Co NIE jest cechą przystawania. Sama zgodność trzech kątów (KKK) nie wystarczy — trójkąty o równych kątach mogą mieć różne wielkości (są tylko podobne). Klasyczny kontrprzykład: dwa trójkąty równoboczne o bokach $2$ cm i $5$ cm mają wszystkie kąty po $60°$, ale nie są przystające.

Po co to wszystko? Gdy wiemy, że dwa trójkąty są przystające, możemy wywnioskować równość brakujących boków lub kątów — to podstawowe narzędzie w zadaniach na dowodzenie geometryczne (np. dowodzenie, że dany odcinek jest dwusieczną, że figura jest rombem itp.).