Objętość i pole graniastosłupa — wzory, przykłady i zadania

Objętość każdego graniastosłupa liczymy ze wzoru $V = P_p \cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość bryły. Dla prostopadłościanu podstawą jest prostokąt o bokach $a$, $b$, więc $P_p = a \cdot b$, a wysokość to trzecia krawędź $c$. Stąd $V = a \cdot b \cdot c$. Schemat: wypisz wymiary → policz pole podstawy → pomnóż przez wysokość → dopisz jednostkę cm ^{do potęgi 3} (albo m ^{do potęgi 3}, dm ^{do potęgi 3} — zawsze trzecia potęga jednostki długości).

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego: $P_c = 2 P_p + P_b$, gdzie $P_b = obw_p \cdot H$ to pole boczne. Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ trzy pary ścian to prostokąty: $a \times b$, $b \times c$, $a \times c$. Stąd wygodny wzór: $P_c = 2(ab + bc + ac)$. Schemat: policz pola trzech różnych ścian → dodaj je → pomnóż przez 2 → dopisz cm ^{do potęgi 2}. Dla sześcianu wszystkie ściany są jednakowe, więc $P_c = 6 a^2$.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta równobocznego o boku $a$. Pole takiego trójkąta: $P_p = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Objętość — jak zawsze: $V = P_p \cdot H$. Schemat: wstaw $a$ do wzoru na pole trójkąta równobocznego → uprość ułamek → pomnóż przez $H$ → wynik zostaw w postaci $k\sqrt{3}$ (nie zaokrąglaj $\sqrt{3}$). Jednostka: cm ^{do potęgi 3}.

Schemat ten sam co dla każdego graniastosłupa prostego: $P_c = 2 P_p + P_b$, $P_b = obw_p \cdot H$. Dla trójkąta równobocznego o boku $a$: $P_p = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ oraz $obw_p = 3a$. Stąd $P_c = 2 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 3 a \cdot H = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3 a H$. Wynik zostaw w postaci $k + m\sqrt{3}$ (nie zaokrąglaj $\sqrt{3}$). Trzy ściany boczne to przystające prostokąty $a \times H$.