Logarytmy — definicja, wzory i przykłady

Q: Co to jest logarytm?

Logarytm logₐ b to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę a, aby otrzymać b. Np. log₃ 1/9=-2, bo 3⁻²=1/9.

Q: Jakie są wzory na logarytmy?

Przy tej samej podstawie: logₐ(x· y)=logₐ x+logₐ y, logₐ x/y=logₐ x-logₐ y oraz logₐ xᵏ=k logₐ x. Ponadto logₐ 1 = 0 i logₐ a = 1.

Q: Czy logarytmy są na maturze podstawowej?

Tak. Typowe zadanie za 1 pkt to „Liczba logₐ p± logₐ q jest równa…” — zwijamy wyrażenie do jednego logarytmu i odczytujemy wykładnik. Karta wzorów CKE podaje definicję logarytmu i wszystkie trzy wzory.

Q: Jaka może być podstawa logarytmu?

Podstawa a musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana b — dodatnia: a>0, a≠ 1, b>0.

$\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$ , aby otrzymać $b$ : $\log_a b = c \iff a^c = b$ . Np. $\log_2 32=5$ , bo $2^5=32$ .

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Definicja logarytmu $a$ — podstawa ( $a>0$ , $a\neq 1$ ), $b$ — liczba logarytmowana ( $b>0$ ), $c$ — wykładnik: $\log_a b = c \iff a^c = b$
Logarytm iloczynu tylko przy tej samej podstawie $a$: $\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$
Logarytm ilorazu tylko przy tej samej podstawie $a$: $\log_a\tfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
Logarytm potęgi $k$ — wykładnik przenoszony przed logarytm: $\log_a x^k=k\log_a x$

Co to jest logarytm

$\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$ , aby otrzymać $b$ : $\log_a b = c \iff a^c = b$ (dla $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ ). Stąd $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$ , a ułamek lub pierwiastek pod logarytmem daje wykładnik ujemny lub ułamkowy.

$\log_2 32=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ , bo $2^5=32$ ; $\log_3 \tfrac{1}{9}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ , bo $3^{-2}=\tfrac19$ ; $\log_4 8=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{2}}}$ , bo $4^{3/2}=(2^2)^{3/2}=2^3=8$ .

Wzory na logarytmy (własności logarytmów)

Trzy wzory działają tylko przy tej samej podstawie: $\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\tfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ , $\log_a x^k=k\log_a x$ .

$\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ ; $\log_2 6-\log_2 48=\log_2\tfrac18=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-3}}$ ; $2\log_5 15-\log_5 9=\log_5\tfrac{225}{9}=\log_5 25=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .

Liczbę też można zapisać jako logarytm: $1=\log_2 2$ , więc $1+\log_2 7=\log_2 14$ .

Logarytmy na maturze podstawowej

Na maturze: karta wzorów CKE podaje definicję i wszystkie trzy wzory — masz je rozpoznać, nie pamiętać. Typowe zadanie za 1 pkt: „Liczba $\log_a p\pm\log_a q$ jest równa…” — zwiń do jednego logarytmu, zapisz liczbę pod nim jako potęgę podstawy i odczytaj wykładnik; wynik bywa ujemny lub ułamkowy. Gdy podstawa jest pierwiastkiem (np. $\log_{\sqrt2} 8$ ), zapisz podstawę i liczbę jako potęgi tej samej liczby i porównaj wykładniki. Pułapka: $\log_a(x+y)$ to NIE $\log_a x+\log_a y$ , a $\log_a x-\log_a y$ to NIE $\log_a(x-y)$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Logarytm z definicji

Liczysz log_a b, zapisując b jako potęgę podstawy a i odczytując wykładnik; korzystasz też z log_a 1 = 0 i log_a a = 1.

Zadanie Liczba $\log_{6} 216 + \log_{11} 1 - \log_{9} 9$ jest równa

Każdy logarytm liczę osobno z definicji — to wykładnik, do którego podnoszę podstawę: $\log_6 216 = 3$ , bo $6^3 = 216$ .
Jedynka to podstawa do potęgi zerowej, więc $\log_{11} 1 = 0$ — tak jest dla każdej podstawy.
Podstawa pod logarytmem o tej samej podstawie to potęga pierwsza: $\log_9 9 = 1$ .
Zbieram wyniki: $3 + 0 - 1 = 2$ .

Odpowiedź: 2

Przykład 2 Logarytm z wykładnikiem ujemnym lub ułamkowym

Zapisujesz liczbę pod logarytmem (a gdy podstawa jest pierwiastkiem lub potęgą — także ją) jako potęgę tej samej liczby i porównujesz wykładniki.

Zadanie Liczba $\log_{3} \sqrt[4]{27}$ jest równa

Oznaczam $\log_3 \sqrt[4]{27} = x$ i wracam do definicji: $3^x = \sqrt[4]{27}$ .
Prawą stronę zapisuję jako potęgę trójki: $27 = 3^3$ , a pierwiastek czwartego stopnia to wykładnik $\frac{1}{4}$ , więc $\sqrt[4]{27} = \left(3^3\right)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$ .
Obie strony mają podstawę 3, więc porównuję wykładniki: $x = \frac{3}{4}$ .

Odpowiedź: $\frac{3}{4}$

Przykład 3 Równanie z definicji logarytmu

Z równania log_a x = c lub log_x b = c przechodzisz do postaci wykładniczej (a^c = x albo x^c = b) i wyznaczasz niewiadomą.

Zadanie Rozwiąż równanie $\log_{3}(x - 1) = -2$ .

Z definicji logarytmu $\log_3(x-1) = -2$ oznacza $x - 1 = 3^{-2}$ — przechodzę do postaci wykładniczej.
Wykładnik ujemny to odwrotność: $3^{-2} = \frac{1}{9}$ , więc $x - 1 = \frac{1}{9}$ .
Wyznaczam $x$ : $x = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$ . Sprawdzam dziedzinę: $x - 1 = \frac{1}{9} > 0$ , więc rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź: $x = \frac{10}{9}$

Przykład 4 Suma i różnica logarytmów

Sumę logarytmów o tej samej podstawie zwijasz do logarytmu iloczynu, różnicę — do logarytmu ilorazu, i obliczasz wynik z definicji.

Zadanie Liczba $\log_{4} \frac{2}{3} + \log_{4} 24$ jest równa

Oba logarytmy mają podstawę 4, więc sumę zamieniam na logarytm iloczynu: $\log_4\left(\frac{2}{3}\cdot 24\right)$ .
Mnożę pod logarytmem: $\frac{2}{3}\cdot 24 = 16$ , zostaje $\log_4 16$ .
Z definicji: $4^2 = 16$ , więc $\log_4 16 = 2$ .

Odpowiedź: 2

Przykład 5 Logarytm potęgi — wykładnik przed logarytm

Wykładnik spod logarytmu przenosisz przed logarytm (log_a b^k = k·log_a b), a współczynnik przed logarytmem wciągasz jako wykładnik.

Zadanie Liczba $\frac{1}{3}\log_{2} 512 - 2\log_{2}\sqrt{2}$ jest równa

Zaczynam od $\log_2 512$ : $512 = 2^9$ , więc $\log_2 512 = 9$ , a współczynnik mnoży wynik: $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$ .
W drugim składniku wciągam współczynnik jako wykładnik: $2\log_2\sqrt{2} = \log_2 (\sqrt{2})^2 = \log_2 2 = 1$ .
Odejmuję obliczone wartości: $3 - 1 = 2$ .

Odpowiedź: 2

Przykład 6 Zwijanie wyrażenia do jednego logarytmu

Współczynniki wciągasz jako wykładniki, sumy zamieniasz na iloczyn, różnice na iloraz — aż zostanie jeden logarytm, który liczysz z definicji.

Zadanie Liczba $2\log_{3} 6 - \log_{3} 4 + \log_{3}\frac{1}{3}$ jest równa

Najpierw pozbywam się współczynnika — wciągam go jako wykładnik: $2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36$ .
Wszystkie logarytmy mają podstawę 3, więc zwijam: różnica to iloraz, suma to iloczyn: $\log_3\left(\frac{36}{4}\cdot\frac{1}{3}\right)$ .
Liczę pod logarytmem: $\frac{36}{4} = 9$ , $9\cdot\frac{1}{3} = 3$ , zostaje $\log_3 3$ .
$\log_3 3 = 1$ , bo $3^1 = 3$ .

Odpowiedź: 1

Najczęstsze błędy

Rozpisanie $\log_a(x+y)$ jako $\log_a x+\log_a y$ . Wzór dotyczy iloczynu: $\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$ ; podobnie $\log_a x-\log_a y$ to nie $\log_a(x-y)$ .
Stosowanie wzorów do logarytmów o różnych podstawach. Wzory na sumę, różnicę i potęgę działają tylko przy tej samej podstawie.
Zgubiony czynnik przy zapisie liczby jako logarytmu. $3+\log_2 5=\log_2 8+\log_2 5=\log_2 40$ , a nie $\log_2 8$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba $\log_{12} 1 + \log_{4} 4$ jest równa

Zadanie 2

Liczba $\log_{2} \sqrt[5]{8}$ jest równa

Zadanie 3

Rozwiązaniem równania $\log_2 x = -3$ jest liczba

Zadanie 4

Liczba $\log_{3} 6 - \log_{3} 162$ jest równa

Zadanie 5

Liczba $3\log_{4} 2$ jest równa

Zadanie 6

Liczba $\log_{3} 12 - 2\log_{3} 6$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{9}{27} + \log_{9}{3}$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Obliczanie logarytmów — podstawy matspot

Logarytmy — kurs matura podstawowa Matemaks

Logarytmy — definicja, własności, zadania A po co MI ta MATMA?

Wzory i własności logarytmów krok po kroku Czarno na Białym - Matura

Najczęstsze pytania

Co to jest logarytm?

Logarytm $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$ , aby otrzymać $b$ . Np. $\log_3 \tfrac{1}{9}=-2$ , bo $3^{-2}=\tfrac19$ .

Jak obliczyć logarytm?

Zapisz liczbę pod logarytmem jako potęgę podstawy i odczytaj wykładnik. Np. $\log_4 8=\tfrac{3}{2}$ , bo $4^{3/2}=(2^2)^{3/2}=2^3=8$ .

Jakie są wzory na logarytmy?

Przy tej samej podstawie: $\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\tfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ oraz $\log_a x^k=k\log_a x$ . Ponadto $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$ .

Czy logarytmy są na maturze podstawowej?

Tak. Typowe zadanie za 1 pkt to „Liczba $\log_a p\pm\log_a q$ jest równa…” — zwijamy wyrażenie do jednego logarytmu i odczytujemy wykładnik. Karta wzorów CKE podaje definicję logarytmu i wszystkie trzy wzory.

Jaka może być podstawa logarytmu?

Podstawa $a$ musi być dodatnia i różna od $1$ , a liczba logarytmowana $b$ — dodatnia: $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę