Wartość bezwzględna — równania — wytłumaczenie, wzór i zadania

$|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi, a $|x-p|$ — odległość $x$ od $p$. Algebraicznie: $|x|=x$ dla $x\ge 0$ oraz $|x|=-x$ dla $x<0$. Równanie $|w|=a$ (dla $a>0$) rozbijasz na dwa przypadki: $w=a$ lub $w=-a$.

• $|3-\sqrt{10}|$: bo $\sqrt{10}>3$, pod kreskami jest liczba ujemna, więc $|3-\sqrt{10}|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt{10}-3}}$.
• $|x-3|=2$: $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ — liczby odległe od $3$ o $2$.
• $|x+4|=5$: to $|x-(-4)|=5$, czyli $x=-4+5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ lub $x=-4-5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-9}}$.
• $|2x-1|=7$: $2x-1=7$ lub $2x-1=-7$, stąd $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-3}}$.

Gdy prawa strona jest ujemna, równanie jest sprzeczne; gdy jest równa $0$, jedyne rozwiązanie daje $w=0$. Rozwiązania równania $|x-p|=a$ to $p-a$ i $p+a$: ich suma to $2p$, odległość między nimi $2a$, a iloczyn $p^2-a^2$.

Na maturze: równanie $|x-p|=a$ pojawia się zwykle z dopiskiem — „iloczyn rozwiązań”, „suma rozwiązań”, „mniejsze z rozwiązań” — najpierw wypisz oba rozwiązania, potem policz to, o co pytają. Wartość wyrażenia typu $|2-\sqrt{7}|$ ustalasz znakiem środka: $\sqrt{7}>2$, więc wynik to $\sqrt{7}-2$. Karta wzorów CKE podaje definicję $|x|$ i interpretację jako odległości, ale rozbicie na dwa przypadki robisz sam. Pułapka: $|x+4|=5$ to odległość od $-4$, nie od $4$.