Wartość bezwzględna — równania typu |x − p| = a krok po kroku

Q: Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną?

Wyodrębnij wartość bezwzględną po jednej stronie: |w|=a. Dla a>0 rozbij równanie na dwa przypadki w=a lub w=-a i rozwiąż każdy. Np. |2x-1|=7 daje x=4 lub x=-3.

Q: Co to jest wartość bezwzględna?

To odległość liczby od zera na osi: |x|=x dla x≥ 0 oraz |x|=-x dla x<0. Wyrażenie |x-p| to odległość x od p.

Q: Ile rozwiązań ma równanie |x − p| = a?

Dwa, gdy a>0: p-a i p+a. Jedno, gdy a=0, i żadnego, gdy a<0 — wtedy równanie jest sprzeczne.

Q: Ile wynosi suma i iloczyn rozwiązań równania |x − p| = a?

Rozwiązania to p-a i p+a, więc ich suma to 2p, iloczyn p²-a², a odległość między nimi 2a. Najpewniej jest najpierw wypisać oba rozwiązania, a potem policzyć to, o co pyta zadanie.

$|x-p|$ to odległość liczby $x$ od $p$ na osi. Równanie $|w|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki: $w=a$ lub $w=-a$ . Np. $|x-3|=2$ daje $x=5$ lub $x=1$ — liczby odległe od $3$ o $2$ .

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Wartość bezwzględna liczby nieujemnej dla $x\ge 0$: $|x|=x$
Wartość bezwzględna liczby ujemnej dla $x<0$: $|x|=-x$

Co to jest wartość bezwzględna

$|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi, a $|x-p|$ — odległość $x$ od $p$ . Algebraicznie: $|x|=x$ dla $x\ge 0$ oraz $|x|=-x$ dla $x<0$ . Równanie $|w|=a$ (dla $a>0$ ) rozbijasz na dwa przypadki: $w=a$ lub $w=-a$ .

$|3-\sqrt{10}|$ : bo $\sqrt{10}>3$ , pod kreskami jest liczba ujemna, więc $|3-\sqrt{10}|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt{10}-3}}$ .
$|x-3|=2$ : $x-3=2$ lub $x-3=-2$ , czyli $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ — liczby odległe od $3$ o $2$ .
$|x+4|=5$ : to $|x-(-4)|=5$ , czyli $x=-4+5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ lub $x=-4-5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-9}}$ .
$|2x-1|=7$ : $2x-1=7$ lub $2x-1=-7$ , stąd $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-3}}$ .

Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną

Gdy prawa strona jest ujemna, równanie jest sprzeczne; gdy jest równa $0$ , jedyne rozwiązanie daje $w=0$ . Rozwiązania równania $|x-p|=a$ to $p-a$ i $p+a$ : ich suma to $2p$ , odległość między nimi $2a$ , a iloczyn $p^2-a^2$ .

Równania z wartością bezwzględną na maturze

Na maturze: równanie $|x-p|=a$ pojawia się zwykle z dopiskiem — „iloczyn rozwiązań”, „suma rozwiązań”, „mniejsze z rozwiązań” — najpierw wypisz oba rozwiązania, potem policz to, o co pytają. Wartość wyrażenia typu $|2-\sqrt{7}|$ ustalasz znakiem środka: $\sqrt{7}>2$ , więc wynik to $\sqrt{7}-2$ . Karta wzorów CKE podaje definicję $|x|$ i interpretację jako odległości, ale rozbicie na dwa przypadki robisz sam. Pułapka: $|x+4|=5$ to odległość od $-4$ , nie od $4$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość bezwzględna liczby z pierwiastkiem

Ustalasz znak liczby pod kreskami i opuszczasz wartość bezwzględną: |a| = a dla a ≥ 0, |a| = −a dla a < 0 — także dla liczb z pierwiastkami, np. |2 − $\sqrt{7}$ | = $\sqrt{7}$ − 2.

Zadanie Liczba $|2-\sqrt{7}| - |3-\sqrt{7}|$ jest równa:

Sprawdzam znak pod pierwszą kreską: $\sqrt{7}\approx 2{,}65>2$ , więc $2-\sqrt{7}<0$ i $|2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=\sqrt{7}-2$ .
Znak pod drugą kreską: $3>\sqrt{7}$ , więc $3-\sqrt{7}>0$ i $|3-\sqrt{7}|=3-\sqrt{7}$ — kreski po prostu znikają.
Odejmuję: $(\sqrt{7}-2)-(3-\sqrt{7})=\sqrt{7}-2-3+\sqrt{7}=2\sqrt{7}-5$ .
Kontrola: $2\sqrt{7}-5\approx 0{,}29>0$ — zgadza się, bo $|2-\sqrt{7}|\approx 0{,}65$ jest większe od $|3-\sqrt{7}|\approx 0{,}35$ .

Odpowiedź: $2\sqrt{7}-5$

Przykład 2 Równanie z odległości na osi liczbowej

Czytasz |x − p| jako odległość x od p i przekładasz zdanie „liczby odległe od p o a” albo dwa punkty na osi na równanie |x − p| = a, również gdy p jest ujemne: |x + 5| to odległość od −5.

Zadanie Liczby $-7$ i $3$ leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od pewnej liczby $p$ . Zbiór $\{-7,\ 3\}$ jest zbiorem rozwiązań równania:

Liczba $p$ leży dokładnie pośrodku między $-7$ a $3$ : $p=\frac{-7+3}{2}=-2$ .
Odległość każdej z liczb od $-2$ : $3-(-2)=5$ oraz $-2-(-7)=5$ — to będzie prawa strona równania.
Odległość $x$ od $-2$ zapisuję jako $|x-(-2)|=|x+2|$ , więc równanie ma postać $|x+2|=5$ .
Sprawdzenie: $|3+2|=5$ ✓ oraz $|-7+2|=|-5|=5$ ✓.

Odpowiedź: $|x+2|=5$

Przykład 3 Równanie |x − p| = a — dwa rozwiązania

Rozbijasz |x − p| = a (a > 0) na x − p = a lub x − p = −a i podajesz oba rozwiązania p + a oraz p − a, także gdy p jest ujemne albo dane są ułamkowe.

Zadanie Rozwiąż równanie $|x+2{,}5|=4$ .

Prawa strona jest dodatnia, więc są dwa rozwiązania — liczby odległe od $-2{,}5$ o $4$ (bo $x+2{,}5=x-(-2{,}5)$ ).
Przypadek pierwszy: $x+2{,}5=4$ , stąd $x=4-2{,}5=1{,}5$ .
Przypadek drugi: $x+2{,}5=-4$ , stąd $x=-4-2{,}5=-6{,}5$ .
Sprawdzenie: $|1{,}5+2{,}5|=4$ ✓ oraz $|-6{,}5+2{,}5|=|-4|=4$ ✓. Rozwiązania: $x=1{,}5$ lub $x=-6{,}5$ .

Odpowiedź: $x=1{,}5$ lub $x=-6{,}5$

Przykład 4 Równanie typu |ax + b| = c

Najpierw wyodrębniasz wartość bezwzględną (z 2|x + 3| − 1 = 9 robisz |x + 3| = 5), a gdy przy x stoi współczynnik, rozwiązujesz dwa równania liniowe ax + b = c oraz ax + b = −c.

Zadanie Rozwiąż równanie $|2x-3|+4=9$ .

Wyodrębniam wartość bezwzględną — przenoszę $4$ na prawą stronę: $|2x-3|=5$ . Dopiero teraz mogę rozbić równanie na przypadki.
Przypadek pierwszy: $2x-3=5$ , więc $2x=8$ i $x=4$ .
Przypadek drugi: $2x-3=-5$ , więc $2x=-2$ i $x=-1$ .
Sprawdzenie: $|8-3|+4=9$ ✓ oraz $|-2-3|+4=5+4=9$ ✓. Rozwiązania: $x=4$ lub $x=-1$ .

Odpowiedź: $x=4$ lub $x=-1$

Przykład 5 Liczba rozwiązań równania z parametrem

Po wyodrębnieniu wartości bezwzględnej patrzysz na prawą stronę: dodatnia daje dwa rozwiązania, zero — jedno, ujemna — żadnego; tak samo, gdy prawa strona zależy od parametru m.

Zadanie Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $|x-5|=2m-8$ ma dokładnie dwa rozwiązania?

Prawa strona $2m-8$ to zwykła liczba, zależna od $m$ . Równanie $|w|=a$ ma dwa rozwiązania tylko wtedy, gdy $a>0$ .
Warunek: $2m-8>0$ , czyli $2m>8$ , stąd $m>4$ .
Kontrola brzegów: dla $m=4$ prawa strona to $0$ — jedno rozwiązanie $x=5$ ; dla $m<4$ prawa strona jest ujemna — brak rozwiązań. Odpowiedź: $m>4$ .

Odpowiedź: $m>4$

Przykład 6 Suma i iloczyn rozwiązań równania

Wypisujesz oba rozwiązania p − a i p + a równania |x − p| = a, a potem liczysz to, o co pyta zadanie: sumę (2p), iloczyn (p^{do potęgi 2} − a^{do potęgi 2}) albo odległość między rozwiązaniami (2a).

Zadanie Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x+3|=5$ . Oblicz iloczyn $x_1\cdot x_2$ oraz sumę $x_1+x_2$ .

Najpierw wypisuję rozwiązania: $x+3=5$ daje $x_1=2$ , a $x+3=-5$ daje $x_2=-8$ .
Iloczyn: $x_1\cdot x_2=2\cdot(-8)=-16$ .
Suma: $x_1+x_2=2+(-8)=-6$ — to dwa razy środek $-3$ , bo rozwiązania leżą symetrycznie względem $-3$ .
Kontrola: iloczyn to też $p^2-a^2=(-3)^2-5^2=9-25=-16$ ✓.

Odpowiedź: $x_1\cdot x_2=-16$ , $x_1+x_2=-6$

Najczęstsze błędy

Odczytanie $|x+4|$ jako odległości od $4$ . To odległość od $-4$ , bo $|x+4|=|x-(-4)|$ ; rozwiązania $|x+4|=5$ to $1$ i $-9$ .
Rozbijanie na przypadki przed wyodrębnieniem wartości bezwzględnej. Z $|2x-3|+4=9$ najpierw robimy $|2x-3|=5$ , dopiero potem $2x-3=5$ lub $2x-3=-5$ .
Szukanie rozwiązań, gdy prawa strona jest ujemna. Takie równanie jest sprzeczne, a przy prawej stronie równej $0$ jest tylko jedno rozwiązanie.
Opuszczenie kresek bez sprawdzenia znaku. $|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3$ , bo $\sqrt{10}>3$ , więc pod kreskami jest liczba ujemna.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba $|2-\sqrt{5}| - |1-\sqrt{5}|$ jest równa:

Zadanie 2

Liczby $-1$ i $7$ są jedynymi rozwiązaniami równania:

Zadanie 3

Zbiorem rozwiązań równania $|x+6|=2$ jest:

Zadanie 4

Rozwiązaniami równania $|2x+1|=7$ są liczby:

Zadanie 5

Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań.

Zadanie 6

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x-4|=7$ . Iloczyn $x_1\cdot x_2$ jest równy:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 1

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x - 6| = 4$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $x_{1} \cdot x_{2}$ jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną — kurs MiedzianyFsor

Równania i nierówności z wartością bezwzględną — wszystkie przypadki Matma Z Pasją

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną?

Wyodrębnij wartość bezwzględną po jednej stronie: $|w|=a$ . Dla $a>0$ rozbij równanie na dwa przypadki $w=a$ lub $w=-a$ i rozwiąż każdy. Np. $|2x-1|=7$ daje $x=4$ lub $x=-3$ .

Co to jest wartość bezwzględna?

To odległość liczby od zera na osi: $|x|=x$ dla $x\ge 0$ oraz $|x|=-x$ dla $x<0$ . Wyrażenie $|x-p|$ to odległość $x$ od $p$ .

Ile rozwiązań ma równanie |x − p| = a?

Dwa, gdy $a>0$ : $p-a$ i $p+a$ . Jedno, gdy $a=0$ , i żadnego, gdy $a<0$ — wtedy równanie jest sprzeczne.

Ile wynosi suma i iloczyn rozwiązań równania |x − p| = a?

Rozwiązania to $p-a$ i $p+a$ , więc ich suma to $2p$ , iloczyn $p^2-a^2$ , a odległość między nimi $2a$ . Najpewniej jest najpierw wypisać oba rozwiązania, a potem policzyć to, o co pyta zadanie.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę