Dowody podzielności i reszt — jak wykazać, że liczba jest podzielna

Q: Jak udowodnić, że liczba jest podzielna przez daną liczbę?

Doprowadź wyrażenie do postaci d·(…), gdzie w nawiasie jest liczba całkowita, np. (2n+3)²-1=4(n²+3n+2) — to dowód podzielności przez 4. Na końcu napisz, że nawias jest liczbą całkowitą.

Q: Jak zapisać liczbę parzystą i nieparzystą w dowodzie?

Liczba parzysta to 2k, nieparzysta 2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą. Liczba dająca resztę r z dzielenia przez m to mk+r, a kolejne liczby to n, n+1, n+2.

Q: Jak wykazać, jaka jest reszta z dzielenia?

Doprowadź wyrażenie do postaci m·(…)+r. Np. 4k²+2k+9=2(2k²+k+4)+1, więc reszta z dzielenia przez 2 wynosi 1.

Liczbę zapisujemy wzorem ogólnym z całkowitym $k$ (parzysta $2k$ , nieparzysta $2k+1$ , reszta $r$ z dzielenia przez $m$ : $mk+r$ ), przekształcamy wyrażenie i wyłączamy dzielnik przed nawias albo znajdujemy iloczyn kolejnych liczb.

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Liczba parzysta $k$ — dowolna liczba całkowita: $2k$
Liczba nieparzysta $k$ — dowolna liczba całkowita: $2k+1$
Liczba dająca resztę r z dzielenia przez m $m$ — dzielnik, $r$ — reszta, $k$ — liczba całkowita: $mk+r$

Jak udowodnić podzielność liczby

W dowodzie zapisujesz liczby wzorem ogólnym z całkowitym $k$ (parzysta $2k$ , nieparzysta $2k+1$ , reszta $r$ z dzielenia przez $m$ : $mk+r$ ), przekształcasz wyrażenie i wyłączasz dzielnik przed nawias — albo znajdujesz w nim iloczyn kolejnych liczb.

$(2n+3)^2-1 = 4n^2+12n+8 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4(n^2+3n+2)}}$ — czynnik $4$ przed nawiasem dowodzi podzielności przez $4$
$n^3-n = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(n-1)\,n\,(n+1)}}$ — trzy kolejne liczby, więc iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$
$5^{n+2}+5^{n} = 5^{n}(25+1) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{26\cdot 5^{n}}}$ — wspólna potęga przed nawias
$4k^2+2k+9 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2(2k^2+k+4)+1}}$ — reszta z dzielenia przez $2$ równa $1$

Jak zapisać dowód na maturze

Na maturze: zadanie „Wykaż, że…” za 2 pkt: zapisz założenie jako wzór ( $n=2k+1$ , $a=5k+1$ ), rozwiń wzorami skróconego mnożenia z karty wzorów, uporządkuj i doprowadź do postaci $d\cdot(\ldots)$ lub $d\cdot(\ldots)+r$ . Zawsze kończ zdaniem: „ $\ldots$ jest liczbą całkowitą, więc liczba jest podzielna przez $d$ ”. Gdy zostaje $n(n+1)$ , napisz wprost, że jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta — bez tego zdania tracisz punkt.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Zapis ogólny liczby nieparzystej i kolejnych liczb

Zapisujesz liczbę parzystą jako 2k, nieparzystą jako 2k+1, kolejne liczby jako n, n+1, n+2, a dwie niezależne liczby różnymi literami.

Zadanie Liczba $n$ jest nieparzysta. Zapisz w postaci ogólnej liczbę $n$ oraz dwie następne liczby nieparzyste i wykaż, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez $3$ .

Liczba nieparzysta to liczba parzysta powiększona o $1$ , więc zakładam $n=2k+1$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ .
Kolejne liczby nieparzyste różnią się o $2$ (między nimi stoi liczba parzysta): następne to $2k+3$ i $2k+5$ .
Dodaję: $(2k+1)+(2k+3)+(2k+5) = 6k+9$ .
Oba składniki dzielą się przez $3$ , więc wyłączam: $6k+9 = 3(2k+3)$ . Liczba $2k+3$ jest całkowita, zatem suma jest podzielna przez $3$ .

Odpowiedź: $n=2k+1$ , $2k+3$ , $2k+5$ ; suma $=3(2k+3)$ — podzielna przez $3$

Przykład 2 Podzielność po rozwinięciu kwadratu

Rozwijasz kwadrat lub iloczyn, porządkujesz wyrażenie i wyłączasz dzielnik przed nawias, żeby otrzymać iloczyn dzielnika i liczby całkowitej.

Zadanie Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(3n+1)^2+2$ jest podzielna przez $3$ .

Podzielność przez $3$ pokażę, doprowadzając liczbę do postaci $3\cdot(\text{liczba całkowita})$ — najpierw rozwijam kwadrat wzorem $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ .
$(3n+1)^2 = 9n^2+6n+1$ , więc $(3n+1)^2+2 = 9n^2+6n+3$ .
Każdy składnik dzieli się przez $3$ : wyłączam $9n^2+6n+3 = 3(3n^2+2n+1)$ .
Dla całkowitego $n$ liczba $3n^2+2n+1$ jest całkowita, więc liczba jest iloczynem $3$ i liczby całkowitej — podzielna przez $3$ .

Odpowiedź: $(3n+1)^2+2 = 3(3n^2+2n+1)$

Przykład 3 Reszta z dzielenia wyrażenia

Zapisujesz liczbę o reszcie r jako mk + r, a z wyrażenia wydzielasz wielokrotność m i odczytujesz resztę z tego, co zostaje.

Zadanie Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $9n^2+3n+7$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ .

Reszta $1$ z dzielenia przez $3$ oznacza postać $3\cdot(\text{liczba całkowita})+1$ — do takiej postaci chcę doprowadzić wyrażenie.
Składniki $9n^2$ i $3n$ dzielą się przez $3$ ; wyraz wolny rozbijam na wielokrotność $3$ i resztę: $7 = 6+1$ .
Wyłączam $3$ z części podzielnej: $9n^2+3n+6+1 = 3(3n^2+n+2)+1$ .
Liczba $3n^2+n+2$ jest całkowita, więc $9n^2+3n+7$ to wielokrotność $3$ powiększona o $1$ — reszta wynosi $1$ .

Odpowiedź: $9n^2+3n+7 = 3(3n^2+n+2)+1$ , reszta $1$

Przykład 4 Podzielność sumy potęg — wspólna potęga przed nawias

Sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy, wyłączasz najmniejszą z nich przed nawias i obliczasz liczbę w nawiasie, która jest szukanym dzielnikiem.

Zadanie Wykaż, że liczba $9^{20}+3^{41}$ jest podzielna przez $4$ .

Podstawy $9$ i $3$ są różne — sprowadzam do wspólnej: $9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40}$ .
Wyłączam najmniejszą potęgę $3^{40}$ przed nawias: $3^{40}+3^{41} = 3^{40}(1+3)$ , bo $3^{41} = 3^{40}\cdot 3$ .
W nawiasie zostaje $4$ : liczba jest równa $4\cdot 3^{40}$ .
$3^{40}$ jest liczbą całkowitą, więc $9^{20}+3^{41}$ jest iloczynem $4$ i liczby całkowitej — podzielna przez $4$ .

Odpowiedź: $9^{20}+3^{41} = 4\cdot 3^{40}$

Przykład 5 Podzielność z iloczynu kolejnych liczb

Rozkładasz wyrażenie na czynniki, znajdujesz iloczyn kolejnych liczb całkowitych i korzystasz z tego, że dwie kolejne dają czynnik 2, a trzy kolejne — czynnik 6.

Zadanie Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $4n^3+12n^2+8n$ jest podzielna przez $24$ .

Samo wyłączenie liczby daje tylko czynnik $4$ , więc szukam iloczynu kolejnych liczb: najpierw wyłączam wspólny czynnik $4n$ : $4n(n^2+3n+2)$ .
Rozkładam trójmian: $n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)$ , bo $1+2 = 3$ i $1\cdot 2 = 2$ . Liczba ma postać $4n(n+1)(n+2)$ .
$n$ , $n+1$ , $n+2$ to trzy kolejne liczby całkowite: co najmniej jedna jest parzysta i dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc ich iloczyn jest podzielny przez $2\cdot 3 = 6$ .
Liczba jest iloczynem $4$ i wielokrotności $6$ , czyli wielokrotnością $24$ .

Odpowiedź: $4n(n+1)(n+2)$ — iloczyn $4$ i liczby podzielnej przez $6$ , więc podzielna przez $24$

Przykład 6 Dowód dla liczby nieparzystej — podstawienie 2k + 1

Podstawiasz ogólny zapis liczby z założenia (2k+1, 5k+2…) do wyrażenia, rozwijasz wzorami skróconego mnożenia, porządkujesz i wyłączasz dzielnik przed nawias.

Zadanie Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2+2n+5$ jest podzielna przez $4$ .

Założenie „ $n$ nieparzysta” zamieniam na zapis: $n=2k+1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą — bez podstawienia nie skorzystam z nieparzystości.
Podstawiam i rozwijam: $(2k+1)^2+2(2k+1)+5 = 4k^2+4k+1+4k+2+5$ .
Porządkuję: $4k^2+8k+8$ — każdy składnik dzieli się przez $4$ , więc wyłączam: $4(k^2+2k+2)$ .
$k^2+2k+2$ jest liczbą całkowitą, więc $n^2+2n+5$ jest wielokrotnością $4$ dla każdego nieparzystego $n$ .

Odpowiedź: $n^2+2n+5 = 4(k^2+2k+2)$ dla $n=2k+1$ — podzielna przez $4$

Najczęstsze błędy

Brak zdania końcowego. Dowód kończymy: „ $\ldots$ jest liczbą całkowitą, więc liczba jest podzielna przez $d$ ”.
Pominięcie uzasadnienia przy $n(n+1)$ . Trzeba napisać wprost, że jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta — bez tego zdania traci się punkt.
Dowód bez podstawienia założenia. „ $n$ nieparzysta” trzeba zamienić na $n=2k+1$ — inaczej nie da się skorzystać z nieparzystości.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych, z których mniejsza jest równa $2k-1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, jest równa:

Zadanie 2

Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(2n+3)^2+3$ jest podzielna przez:

Zadanie 3

Liczba całkowita $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$ . Resztą z dzielenia liczby $n^2$ przez $5$ jest:

Zadanie 4

Dla każdej liczby całkowitej $n\ge 1$ liczba $4^{n+2}-4^{n}$ jest podzielna przez:

Zadanie 5

Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2+5n+6$ jest podzielna przez:

Zadanie 6

Dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2+3$ jest podzielna przez:

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zadanie dowodowe — podzielność liczb Matemaks

Dowody na podzielność — powtórka do matury Matma Z Pasją

Najczęstsze pytania

Jak udowodnić, że liczba jest podzielna przez daną liczbę?

Doprowadź wyrażenie do postaci $d\cdot(\ldots)$ , gdzie w nawiasie jest liczba całkowita, np. $(2n+3)^2-1=4(n^2+3n+2)$ — to dowód podzielności przez $4$ . Na końcu napisz, że nawias jest liczbą całkowitą.

Jak zapisać liczbę parzystą i nieparzystą w dowodzie?

Liczba parzysta to $2k$ , nieparzysta $2k+1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Liczba dająca resztę $r$ z dzielenia przez $m$ to $mk+r$ , a kolejne liczby to $n$ , $n+1$ , $n+2$ .

Jak wykazać, jaka jest reszta z dzielenia?

Doprowadź wyrażenie do postaci $m\cdot(\ldots)+r$ . Np. $4k^2+2k+9=2(2k^2+k+4)+1$ , więc reszta z dzielenia przez $2$ wynosi $1$ .

Dlaczego iloczyn trzech kolejnych liczb dzieli się przez 6?

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta i dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc iloczyn dzieli się przez $2\cdot3=6$ . Np. $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ .

Jak udowodnić podzielność sumy potęg?

Sprowadź potęgi do wspólnej podstawy i wyłącz najmniejszą przed nawias: $5^{n+2}+5^{n}=5^{n}(25+1)=26\cdot5^{n}$ , więc liczba dzieli się przez $26$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę