Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO →

Dowody podzielności i reszt — wytłumaczenie, wzór i zadania

W dowodzie zapisujesz liczby wzorem ogólnym z całkowitym $k$ (parzysta $2k$ , nieparzysta $2k+1$ , reszta $r$ z dzielenia przez $m$ : $mk+r$ ), przekształcasz wyrażenie i wyłączasz dzielnik przed nawias — albo znajdujesz w nim iloczyn kolejnych liczb.

$(2n+3)^2-1 = 4n^2+12n+8 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4(n^2+3n+2)}}$ — czynnik $4$ przed nawiasem dowodzi podzielności przez $4$
$n^3-n = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(n-1)\,n\,(n+1)}}$ — trzy kolejne liczby, więc iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$
$5^{n+2}+5^{n} = 5^{n}(25+1) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{26\cdot 5^{n}}}$ — wspólna potęga przed nawias
$4k^2+2k+9 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2(2k^2+k+4)+1}}$ — reszta z dzielenia przez $2$ równa $1$

Na maturze: zadanie „Wykaż, że…” za 2 pkt: zapisz założenie jako wzór ( $n=2k+1$ , $a=5k+1$ ), rozwiń wzorami skróconego mnożenia z karty wzorów, uporządkuj i doprowadź do postaci $d\cdot(\ldots)$ lub $d\cdot(\ldots)+r$ . Zawsze kończ zdaniem: „ $\ldots$ jest liczbą całkowitą, więc liczba jest podzielna przez $d$ ”. Gdy zostaje $n(n+1)$ , napisz wprost, że jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta — bez tego zdania tracisz punkt.

Przykład krok po kroku

Liczba $n$ jest nieparzysta. Zapisz w postaci ogólnej liczbę $n$ oraz dwie następne liczby nieparzyste i wykaż, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez $3$ .

1 Liczba nieparzysta to liczba parzysta powiększona o $1$ , więc zakładam $n=2k+1$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ .
2 Kolejne liczby nieparzyste różnią się o $2$ (między nimi stoi liczba parzysta): następne to $2k+3$ i $2k+5$ .
3 Dodaję: $(2k+1)+(2k+3)+(2k+5) = 6k+9$ .
4 Oba składniki dzielą się przez $3$ , więc wyłączam: $6k+9 = 3(2k+3)$ . Liczba $2k+3$ jest całkowita, zatem suma jest podzielna przez $3$ .

Odpowiedź: $n=2k+1$ , $2k+3$ , $2k+5$ ; suma $=3(2k+3)$ — podzielna przez $3$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zadanie dowodowe — podzielność liczb Matemaks

Dowody na podzielność — powtórka do matury Matma Z Pasją

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych, z których mniejsza jest równa $2k-1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, jest równa:

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Dowody podzielności i reszt" w aplikacji Compass

Opanuj „Dowody podzielności i reszt" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

Liczba n jest nieparzysta. Zapisz w postaci ogólnej liczbę n oraz dwie następne liczby nieparzyste i wykaż, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez 3. +

Odpowiedź: n=2k+1, 2k+3, 2k+5; suma =3(2k+3) — podzielna przez 3. Liczba nieparzysta to liczba parzysta powiększona o 1, więc zakładam n=2k+1 dla pewnej liczby całkowitej k. Kolejne liczby nieparzyste różnią się o 2 (między nimi stoi liczba parzysta): następne to 2k+3 i 2k+5. Dodaję: (2k+1)+(2k+3)+(2k+5) = 6k+9. Oba składniki dzielą się przez 3, więc wyłączam: 6k+9 = 3(2k+3). Liczba 2k+3 jest całkowita, zatem suma jest podzielna przez 3.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →