Przedziały liczbowe — wytłumaczenie, wzór i zadania

Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwoma końcami. Nawias okrągły $($ $)$ oznacza, że koniec nie należy (nierówność ostra, pusty punkt na osi), nawias kątowy $\langle$ $\rangle$ — że należy (nierówność nieostra, zamalowany punkt); przy $\infty$ nawias jest zawsze okrągły. Część wspólna $A\cap B$ to liczby należące do obu przedziałów, suma $A\cup B$ — do co najmniej jednego.

• $-2<x\le 4$ to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-2,4\rangle}}$; na osi: pusty punkt w $-2$, zamalowany w $4$, pogrubiony odcinek między nimi.
• Czy $\sqrt{5}\in\langle 2,3)$? Bo $\sqrt4<\sqrt5<\sqrt9$, czyli $2<\sqrt5<3$ — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{tak}}$. Czy $3\in(1,3)$? Koniec otwarty — $\textcolor{#d97706}{\mathbf{nie}}$.
• Liczby całkowite w $(-\tfrac{5}{2}, 2\rangle$: $-2,-1,0,1,2$ — jest ich $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$.
• $(-\infty,3\rangle\cap(0,7)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(0,3\rangle}}$ (większy lewy koniec, mniejszy prawy), $(-\infty,3\rangle\cup(0,7)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty,7)}}$; liczby spoza $\langle 0,3)$ to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty,0)\cup\langle 3,+\infty)}}$.

Na maturze: przedziały pojawiają się prawie w każdym arkuszu, ale rzadko „same” — jako zbiór rozwiązań nierówności („zbiorem wszystkich rozwiązań jest przedział…”, często z wyborem rysunku osi), jako dziedzina lub zbiór wartości funkcji odczytany z wykresu oraz w zadaniach „liczba $\sqrt{a}$ należy do przedziału…”. Czy pierwiastek mieści się w przedziale, rozstrzygaj przez kwadraty: $\sqrt{30}\in\langle5,6)$, bo $25\le30<36$. Typowa pułapka to koniec przedziału: przy $\le$ i $\ge$ koniec należy, przy $<$ i $>$ nie, a przy nierówności typu $-2x>4$ dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak ($x<-2$) — dystraktory w arkuszu różnią się dokładnie tym.