Działania na pierwiastkach — wytłumaczenie, wzór i zadania

Pierwiastki tego samego stopnia mnożę i dzielę pod jednym znakiem ($\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$), wyłączam czynnik przed pierwiastek, rozkładając liczbę na kwadrat (sześcian) i resztę, a pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny.

• $\sqrt{63}=\sqrt{\textcolor{#0284c7}{9}\cdot 7}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{7}}}$, podobnie $\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{\textcolor{#0284c7}{8}\cdot 5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\sqrt[3]{5}}}$
• $\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{\frac{3\cdot 6}{2}}=\sqrt{9}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$
• $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\frac{2}{3}}}$, bo $\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}$
• $(\sqrt{5}-1)^{2}=5-2\sqrt{5}+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6-2\sqrt{5}}}$ — wzór $(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$, nie „każdy składnik do kwadratu”
• $|\sqrt{6}-3|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3-\sqrt{6}}}$, bo $\sqrt{6}<\sqrt{9}=3$, więc pod modułem jest liczba ujemna

Zasady: $(\sqrt{a})^{2}=a$ dla $a\ge 0$; $(\sqrt[3]{a})^{3}=a$ dla każdego $a$; $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$.

Na maturze: typowe zadanie za 1 pkt brzmi „Liczba $(\ldots)^{2}$ jest równa” albo „Liczba $\sqrt[3]{\ldots}\cdot\sqrt[3]{\ldots}$ jest równa” — rozwijasz wzorem skróconego mnożenia lub łączysz pod jednym pierwiastkiem, a potem doprowadzasz wynik do postaci $c\sqrt{d}$; odpowiedzi różnią się właśnie tym środkowym wyrazem. Karta wzorów CKE podaje wzory $(a\pm b)^{2}$ i zapis $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ — odpowiedź $7\cdot 5^{\frac{1}{2}}$ to po prostu $7\sqrt{5}$, a $2^{-1}=\frac{1}{2}$. Pułapki: zgubiony minus przy $\sqrt[3]{-a}$, dodawanie liczb pod pierwiastkiem zamiast wyłączania czynnika i redukcji, oraz opuszczanie modułu bez sprawdzenia, czy $\sqrt{a}$ jest mniejsze, czy większe od sąsiedniej liczby całkowitej.