Przejdź do treści
Poznaj Compass

Działania na pierwiastkach — wzory i przykłady

Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy i dzielimy pod jednym znakiem: a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}. Dodawać pod jednym znakiem nie wolno: a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b} — najpierw wyłączamy czynnik, np. 63=37\sqrt{63}=3\sqrt{7}.

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Mnożenie pierwiastków pierwiastki muszą być tego samego stopnia
a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}
Dzielenie pierwiastków
a:b=ab\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}
Kwadrat pierwiastka dla a≥0a\ge 0
(a)2=a(\sqrt{a})^{2}=a
Suma pierwiastków pierwiastków nie dodaje się pod jednym znakiem
a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}

Wzory na mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastki tego samego stopnia mnożę i dzielę pod jednym znakiem (a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}, a:b=ab\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}), wyłączam czynnik przed pierwiastek, rozkładając liczbę na kwadrat (sześcian) i resztę, a pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny.

  • 63=9⋅7=37\sqrt{63}=\sqrt{\textcolor{#0284c7}{9}\cdot 7}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{7}}}, podobnie 403=8⋅53=253\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{\textcolor{#0284c7}{8}\cdot 5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\sqrt[3]{5}}}
  • 32⋅6=3⋅62=9=3\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{\frac{3\cdot 6}{2}}=\sqrt{9}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}
  • −8273=−83273=−23\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\frac{2}{3}}}, bo (−23)3=−827\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}
  • (5−1)2=5−25+1=6−25(\sqrt{5}-1)^{2}=5-2\sqrt{5}+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6-2\sqrt{5}}} — wzór (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}, nie „każdy składnik do kwadratu”
  • ∣6−3∣=3−6|\sqrt{6}-3|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3-\sqrt{6}}}, bo 6<9=3\sqrt{6}<\sqrt{9}=3, więc pod modułem jest liczba ujemna

Kwadrat pierwiastka i suma pierwiastków

Zasady: (a)2=a(\sqrt{a})^{2}=a dla a≥0a\ge 0; (a3)3=a(\sqrt[3]{a})^{3}=a dla każdego aa; a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}.

Pierwiastki w zadaniach maturalnych

Na maturze: typowe zadanie za 1 pkt brzmi „Liczba (…)2(\ldots)^{2} jest równa” albo „Liczba …3⋅…3\sqrt[3]{\ldots}\cdot\sqrt[3]{\ldots} jest równa” — rozwijasz wzorem skróconego mnożenia lub łączysz pod jednym pierwiastkiem, a potem doprowadzasz wynik do postaci cdc\sqrt{d}; odpowiedzi różnią się właśnie tym środkowym wyrazem. Karta wzorów CKE podaje wzory (a±b)2(a\pm b)^{2} i zapis a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} — odpowiedź 7⋅5127\cdot 5^{\frac{1}{2}} to po prostu 757\sqrt{5}, a 2−1=122^{-1}=\frac{1}{2}. Pułapki: zgubiony minus przy −a3\sqrt[3]{-a}, dodawanie liczb pod pierwiastkiem zamiast wyłączania czynnika i redukcji, oraz opuszczanie modułu bez sprawdzenia, czy a\sqrt{a} jest mniejsze, czy większe od sąsiedniej liczby całkowitej.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Rozkładasz liczbę pod pierwiastkiem na największy kwadrat (dla stopnia 3 — sześcian) i resztę: a2⋅b\sqrt{a²\cdot b} = a√b, ∛(a do potęgi 3·b) = a∛b.

Zadanie Zapisz liczbę 75\sqrt{75} w postaci aba\sqrt{b}, gdzie aa i bb są liczbami naturalnymi, a bb jest możliwie najmniejsze.

  1. Szukam największego kwadratu liczby naturalnej, który dzieli 75 — sprawdzam 4, 9, 16, 25: dzieli 25, bo 75=25⋅375=25\cdot 3.
  2. Pierwiastek z iloczynu rozbijam na iloczyn pierwiastków: 75=25⋅3=25⋅3\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{3}.
  3. Pierwiastek z kwadratu wychodzi przed znak: 25=5\sqrt{25}=5, więc 75=53\sqrt{75}=5\sqrt{3}.
  4. Sprawdzam, czy 3 ma jeszcze dzielnik będący kwadratem — nie ma, więc b=3b=3 jest najmniejsze: 75=53\sqrt{75}=5\sqrt{3}.

Odpowiedź: 535\sqrt{3}

Przykład 2 Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej

Obliczasz ∛(−a) = −∛a i do potęgi 5−a\sqrt{−a} = − do potęgi 5√a, szukając liczby ujemnej, której nieparzysta potęga daje liczbę pod pierwiastkiem — także dla ułamków i liczb dziesiętnych.

Zadanie Oblicz wartość wyrażenia −1253+−2435−−183\sqrt[3]{-125}+\sqrt[5]{-243}-\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}.

  1. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny — szukam liczby, której sześcian to −125-125: (−5)3=−125(-5)^{3}=-125, więc −1253=−5\sqrt[3]{-125}=-5.
  2. Tak samo dla stopnia 5: (−3)5=−243(-3)^{5}=-243, więc −2435=−3\sqrt[5]{-243}=-3.
  3. Dla ułamka pierwiastkuję licznik i mianownik osobno, znak minus zostaje: −183=−1383=−12\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{1}{2}.
  4. Podstawiam i pilnuję znaków: −5+(−3)−(−12)=−8+12=−7,5-5+(-3)-\left(-\frac{1}{2}\right)=-8+\frac{1}{2}=-7{,}5.

Odpowiedź: −7,5-7{,}5

Przykład 3 Mnożenie i dzielenie pod jednym pierwiastkiem

Pierwiastki tego samego stopnia łączysz pod jednym znakiem: √a·√b = ab\sqrt{ab}, √a : √b = a/b\sqrt{a/b} — także dla ułamków, liczb ujemnych pod ∛ i w połączeniu z potęgą o wykładniku ujemnym.

Zadanie Oblicz wartość wyrażenia 185⋅10−−293⋅363\sqrt{\frac{18}{5}}\cdot\sqrt{10}-\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}\cdot\sqrt[3]{36}.

  1. Oba czynniki pierwszego iloczynu są pierwiastkami drugiego stopnia, więc łączę je pod jednym znakiem i skracam: 185⋅10=18⋅105=36=6\sqrt{\frac{18}{5}}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{\frac{18\cdot 10}{5}}=\sqrt{36}=6.
  2. Pierwiastki trzeciego stopnia też łączę pod jednym znakiem (stopień musi być ten sam): −293⋅363=−2⋅3693=−83\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}\cdot\sqrt[3]{36}=\sqrt[3]{-\frac{2\cdot 36}{9}}=\sqrt[3]{-8}.
  3. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej: −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2.
  4. Odejmuję liczbę ujemną: 6−(−2)=86-(-2)=8.

Odpowiedź: 88

Przykład 4 Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Sprowadzasz każdy składnik do tego samego pierwiastka przez wyłączenie czynnika i dodajesz liczby stojące przed nim: 2122\sqrt{12} + 27\sqrt{27} = 434\sqrt{3} + 333\sqrt{3} = 737\sqrt{3}.

Zadanie Liczba 150−54+224\sqrt{150}-\sqrt{54}+2\sqrt{24} jest równa:

  1. Pierwiastków o różnych liczbach pod znakiem nie da się dodać wprost, więc każdy składnik doprowadzam do postaci aba\sqrt{b} z tym samym bb — szukam kwadratów: 150=25⋅6150=25\cdot 6, 54=9⋅654=9\cdot 6, 24=4⋅624=4\cdot 6.
  2. Wyłączam czynniki: 150=56\sqrt{150}=5\sqrt{6}, 54=36\sqrt{54}=3\sqrt{6}, 224=2⋅26=462\sqrt{24}=2\cdot 2\sqrt{6}=4\sqrt{6}.
  3. Wszystkie składniki mają teraz 6\sqrt{6}, więc dodaję współczynniki jak przy wyrazach podobnych: 5−3+4=65-3+4=6.
  4. Wynik: 666\sqrt{6}.

Odpowiedź: 666\sqrt{6}

Przykład 5 Kwadrat iloczynu liczby i pierwiastka

Podnosisz do kwadratu każdy czynnik osobno: (b√a) do potęgi 2 = b do potęgi 2·a, korzystając z (√a) do potęgi 2 = a — także z ułamkiem i liczbą ujemną przed pierwiastkiem.

Zadanie Oblicz wartość wyrażenia (26)2−(1318)2\left(2\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\sqrt{18}\right)^{2}.

  1. Kwadrat iloczynu to iloczyn kwadratów, więc każdy czynnik podnoszę osobno: (26)2=22⋅(6)2(2\sqrt{6})^{2}=2^{2}\cdot(\sqrt{6})^{2}.
  2. Kwadrat znosi pierwiastek: (6)2=6(\sqrt{6})^{2}=6, więc (26)2=4⋅6=24(2\sqrt{6})^{2}=4\cdot 6=24.
  3. Tak samo z ułamkiem: (1318)2=19⋅18=2\left(\frac{1}{3}\sqrt{18}\right)^{2}=\frac{1}{9}\cdot 18=2 — nie muszę wcześniej upraszczać 18\sqrt{18}.
  4. Odejmuję: 24−2=2224-2=22.

Odpowiedź: 2222

Przykład 6 Kwadrat sumy i różnicy z pierwiastkiem

Rozwijasz (x ± y) do potęgi 2 = x do potęgi 2 ± 2xy + y do potęgi 2 dla wyrażeń z pierwiastkami, a podwojony iloczyn upraszczasz przez wyłączenie czynnika przed pierwiastek.

Zadanie Liczba (32−6)2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^{2} jest równa:

  1. To kwadrat różnicy, więc stosuję (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} z x=32x=3\sqrt{2}, y=6y=\sqrt{6} — nie wolno podnieść składników osobno.
  2. Kwadraty skrajne: (32)2=9⋅2=18(3\sqrt{2})^{2}=9\cdot 2=18 oraz (6)2=6(\sqrt{6})^{2}=6.
  3. Podwojony iloczyn łączę pod jednym pierwiastkiem: 2⋅32⋅6=6122\cdot 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=6\sqrt{12}, a 12=23\sqrt{12}=2\sqrt{3}, więc 612=1236\sqrt{12}=12\sqrt{3}.
  4. Składam ze znakiem minus przy środkowym wyrazie: 18−123+6=24−12318-12\sqrt{3}+6=24-12\sqrt{3}.

Odpowiedź: 24−12324-12\sqrt{3}

Najczęstsze błędy

  • Dodawanie liczb pod pierwiastkiem: a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}. Najpierw wyłącz czynnik i dodaj liczby przed tym samym pierwiastkiem: 212+27=43+33=732\sqrt{12}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}.
  • Podnoszenie każdego składnika osobno do kwadratu. Stosujemy wzór (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}: (5−1)2=5−25+1=6−25(\sqrt{5}-1)^{2}=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}.
  • Zgubiony minus przy pierwiastku nieparzystego stopnia z liczby ujemnej. Wynik jest ujemny: −1253=−5\sqrt[3]{-125}=-5.
  • Opuszczenie wartości bezwzględnej bez sprawdzenia znaku. ∣6−3∣=3−6|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}, bo 6<3\sqrt{6}<3, więc pod modułem jest liczba ujemna.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba 200\sqrt{200} jest równa:

Zadanie 2

Liczba −2163⋅−15\sqrt[3]{-216}\cdot\sqrt[5]{-1} jest równa:

Zadanie 3

Liczba 4912⋅3\sqrt{\frac{49}{12}}\cdot\sqrt{3} jest równa:

Zadanie 4

Liczba 312+1083\sqrt{12}+\sqrt{108} jest równa:

Zadanie 5

Liczba (−35)2−(211)2\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{11}\right)^{2} jest równa:

Zadanie 6

Liczba (18+2)2\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^{2} jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba −27163⋅23\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2} jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Działania na pierwiastkach (kurs) Matemaks
Działania na pierwiastkach — wzory i zadania Mateusz Lester

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć pierwiastki?

Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy pod jednym znakiem: a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}, np. 32⋅6=9=3\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{9}=3. Tak samo dzielimy: a:b=ab\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}.

Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?

Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na największy kwadrat i resztę, a pierwiastek z kwadratu wyciągnij przed znak: 63=9⋅7=37\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}. Przy pierwiastku trzeciego stopnia szukamy sześcianu: 403=8⋅53=253\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\cdot 5}=2\sqrt[3]{5}.

Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko takie same: a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}. Najpierw sprowadź składniki do tego samego pierwiastka przez wyłączenie czynnika, a potem dodaj liczby przed nim: 212+27=43+33=732\sqrt{12}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}.

Czy istnieje pierwiastek z liczby ujemnej?

Tak, gdy stopień pierwiastka jest nieparzysty — wtedy wynik jest ujemny, np. −8273=−23\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}, bo (−23)3=−827\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}.

Jak podnieść do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem?

Wzorem skróconego mnożenia, a nie przez kwadrat każdego składnika: (5−1)2=5−25+1=6−25(\sqrt{5}-1)^{2}=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}. Kwadrat znosi pierwiastek: (a)2=a(\sqrt{a})^{2}=a.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę