Potęgowanie w praktyce — procent składany, wzór i przykłady

Q: Jaki jest wzór na procent składany?

Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, gdzie K₀ to kapitał początkowy, p — oprocentowanie w procentach na okres, a n — liczba okresów. Odsetki to Kₙ-K₀.

Przy procencie składanym kapitał w każdym okresie mnożymy przez $1+\frac{p}{100}$ , więc po $n$ okresach $K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$ . Odsetki z lokaty albo koszt kredytu to różnica $K_n-K_0$ .

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Kapitał po n okresach $K_0$ — kapitał początkowy, $p$ — oprocentowanie w procentach na okres, $n$ — liczba okresów: $K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$
Odsetki różnica kapitału końcowego i początkowego: $K_n-K_0$

Wzór na procent składany

Przy procencie składanym odsetki dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie same pracują: każdy okres to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$ , więc po $n$ okresach $K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$ . Odsetki z lokaty albo koszt kredytu to różnica $K_n-K_0$ .

$2000$ zł na $5\%$ rocznie po $3$ latach: $2000\cdot1{,}05^{3}=2000\cdot1{,}157625=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2315{,}25}}$ zł
odsetki z tej lokaty: $2315{,}25-2000=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{315{,}25}}$ zł (procent prosty dałby tylko $300$ zł)
$6\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną przez $2$ lata: $K_0\cdot\left(1+\frac{0{,}06}{4}\right)^{8}=K_0\cdot\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1{,}015^{8}}}$
kapitał urósł z $4000$ do $4840$ zł w $2$ lata: $q^{2}=1{,}21$ , $q=\sqrt{1{,}21}=1{,}1$ , oprocentowanie $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10\%}}$

Kapitał czy odsetki — procent składany na maturze

Na maturze: zdanie „bank dolicza odsetki od kwoty bieżącego kapitału” to sygnał procentu składanego — potęgi, a nie mnożenia $p\cdot n$ . Czytaj, o co pytają: o kapitał ( $K_n$ ) czy o same odsetki ( $K_n-K_0$ ) — dystraktory są zbudowane właśnie na tej różnicy. Gdy kapitalizacja jest częstsza niż roczna, dziel stopę przez liczbę okresów w roku i mnóż liczbę lat przez tę samą liczbę.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kwota na lokacie po jednym roku

Mnożysz kapitał przez 1 + p/100 przy wzroście o p% (albo przez 1 − p/100 przy spadku) i odczytujesz kwotę po jednym okresie: lokata, kredyt, utrata wartości.

Zadanie Klient wpłacił do banku $12\,000$ zł na lokatę roczną oprocentowaną $3{,}5\%$ w skali roku. Odsetki są doliczane do kapitału na koniec roku. Ile złotych będzie na lokacie po roku (bez uwzględniania podatków)?

Wzrost o $3{,}5\%$ oznacza, że po roku kapitał stanowi $100\%+3{,}5\%=103{,}5\%$ kwoty początkowej, więc mnożnik to $1+\frac{3{,}5}{100}=1{,}035$ .
Kwota po roku: $12\,000\cdot1{,}035=12\,420$ zł.
Kontrola przez odsetki: $3{,}5\%$ z $12\,000$ zł to $420$ zł, a $12\,000+420=12\,420$ zł — zgadza się.

Odpowiedź: 12 420 zł

Przykład 2 Kapitał po kilku latach — procent składany

Liczysz kapitał po n okresach jako K₀·(1 + p/100)^{do potęgi n} — ten sam mnożnik w potędze o wykładniku równym liczbie okresów (także przy spadku: (1 − p/100)^{do potęgi n}).

Zadanie Klient wpłacił $5000$ zł na lokatę trzyletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $4\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Ile złotych będzie na lokacie po trzech latach (bez uwzględniania podatków)?

„Odsetki od bieżącego kapitału” to procent składany: co roku mnożę przez ten sam mnożnik $1{,}04$ , więc po trzech latach kapitał wynosi $5000\cdot1{,}04^{3}$ .
Liczę potęgę krok po kroku: $1{,}04^{2}=1{,}0816$ , a $1{,}04^{3}=1{,}0816\cdot1{,}04=1{,}124864$ .
Kapitał: $5000\cdot1{,}124864=5624{,}32$ zł.
Kontrola: procent prosty dałby $5000\cdot1{,}12=5600$ zł — procent składany daje więcej, bo odsetki z 1. i 2. roku też pracują.

Odpowiedź: 5624,32 zł

Przykład 3 Łączne odsetki z lokaty

Liczysz kapitał końcowy K₀·(1 + p/100)^{do potęgi n} i odejmujesz wkład — różnica to łączne odsetki z lokaty albo koszt kredytu.

Zadanie Klient wpłacił do banku $20\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Ile wynosi łączna wartość odsetek doliczonych po dwóch latach (bez uwzględniania podatków)?

Pytanie dotyczy odsetek, nie kapitału — najpierw liczę kwotę końcową, potem odejmuję wkład.
Mnożnik roczny $1{,}05$ , dwa okresy: $1{,}05^{2}=1{,}1025$ , więc po dwóch latach $20\,000\cdot1{,}1025=22\,050$ zł.
Odsetki: $22\,050-20\,000=2050$ zł.
Pułapka: $2\cdot5\%=10\%$ dałoby $2000$ zł — to zła odpowiedź, bo pomija $5\%$ od odsetek z pierwszego roku ( $50$ zł).

Odpowiedź: 2050 zł

Przykład 4 Kapitalizacja półroczna, kwartalna i miesięczna

Przy k kapitalizacjach w roku dzielisz roczną stopę przez k i mnożysz liczbę lat przez k: K₀·(1 + p/(100k))^(k·n).

Zadanie Klient wpłacił $4000$ zł na lokatę dwuletnią oprocentowaną $6\%$ w skali roku. Odsetki są doliczane do kapitału co pół roku (kapitalizacja półroczna). Ile złotych będzie na lokacie po dwóch latach (bez uwzględniania podatków)?

Stopa $6\%$ jest roczna, a kapitalizacja półroczna — w jednym półroczu bank dolicza połowę: $6\%:2=3\%$ , więc mnożnik na okres to $1{,}03$ .
Liczba okresów to liczba półroczy w dwóch latach: $2\cdot2=4$ . Kapitał: $4000\cdot1{,}03^{4}$ .
Potęga: $1{,}03^{2}=1{,}0609$ , a $1{,}03^{4}=1{,}0609^{2}\approx1{,}1255$ .
Kapitał: $4000\cdot1{,}1255\approx4502{,}04$ zł — więcej niż przy kapitalizacji rocznej ( $4000\cdot1{,}06^{2}=4494{,}40$ zł).

Odpowiedź: ≈ 4502,04 zł

Przykład 5 Oprocentowanie lokaty z kapitału końcowego

Z K_n = K₀·(1 + p/100)^{do potęgi n} wyznaczasz K₀, dzieląc przez potęgę, a stopę p — pierwiastkując iloraz K_n/K₀ (pierwiastek n-tego stopnia).

Zadanie Po dwóch latach oszczędzania na lokacie o stałym oprocentowaniu z roczną kapitalizacją odsetek kapitał $5000$ zł wzrósł do $5618$ zł. Jakie było roczne oprocentowanie tej lokaty?

Oznaczam roczny mnożnik przez $q=1+\frac{p}{100}$ . Dwa lata to dwa mnożenia: $5000\cdot q^{2}=5618$ .
Dzielę przez kapitał początkowy: $q^{2}=\frac{5618}{5000}=1{,}1236$ .
Pierwiastkuję (mnożnik jest dodatni): $q=\sqrt{1{,}1236}=1{,}06$ , bo $1{,}06^{2}=1{,}1236$ .
Zatem $1+\frac{p}{100}=1{,}06$ , czyli $p=6$ — oprocentowanie $6\%$ w skali roku (nie $12{,}36\%:2$ , bo to nie procent prosty).

Odpowiedź: 6% w skali roku

Najczęstsze błędy

Liczenie procentu składanego jak prostego, czyli mnożenie $p\cdot n$ . Przy odsetkach od bieżącego kapitału stosujemy potęgę: $2000\cdot1{,}05^{3}=2315{,}25$ zł, a nie $2000+300$ zł.
Podanie kapitału, gdy pytają o odsetki. Odsetki to $K_n-K_0$ , np. $2315{,}25-2000=315{,}25$ zł.
Niepodzielona stopa przy kapitalizacji częstszej niż roczna. Roczną stopę dzielimy przez liczbę okresów w roku, a liczbę lat mnożymy przez tę samą liczbę: $6\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną przez $2$ lata to mnożnik $1{,}015^{8}$ .
Dzielenie przyrostu przez liczbę lat przy szukaniu oprocentowania. Mnożnik wyznaczamy pierwiastkiem: z $q^{2}=1{,}21$ wychodzi $q=1{,}1$ , czyli $10\%$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Klient wpłacił do banku $8000$ zł na lokatę roczną. Po roku bank dolicza odsetki w wysokości $4{,}5\%$ od kwoty kapitału. Kwota na lokacie po roku (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadanie 2

Klient wpłacił do banku $6000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadanie 3

Klient wpłacił do banku $12\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $4\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadanie 4

Klient wpłacił do banku $10\,000$ zł na lokatę roczną oprocentowaną $4\%$ w skali roku. Odsetki są doliczane do kapitału co pół roku. Kwota na lokacie po roku (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadanie 5

Klient wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę trzyletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości $10\%$ od bieżącego kapitału. Po trzech latach na lokacie było $3993$ zł. Kwota wpłacona na początku była równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 4

Klient wpłacił do banku $30\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $7\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Procenty, podatki i zysk z lokat — kurs matura Matemaks

Procent prosty i składany, kapitalizacja, lokaty i kredyty Matma Z Pasją

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na procent składany?

$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$ , gdzie $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ — oprocentowanie w procentach na okres, a $n$ — liczba okresów. Odsetki to $K_n-K_0$ .

Czym różni się procent składany od prostego?

Przy procencie składanym odsetki dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie też pracują. Np. $2000$ zł na $5\%$ rocznie przez $3$ lata daje $315{,}25$ zł odsetek, a procent prosty dałby tylko $300$ zł.

Jak liczyć kapitalizację kwartalną lub półroczną?

Roczną stopę dzielimy przez liczbę kapitalizacji w roku, a liczbę lat mnożymy przez tę samą liczbę. Przy $6\%$ rocznie i kapitalizacji kwartalnej przez $2$ lata kapitał to $K_0\cdot1{,}015^{8}$ .

Jak obliczyć oprocentowanie, znając kapitał początkowy i końcowy?

Dzielimy kapitał końcowy przez początkowy i wyciągamy pierwiastek stopnia równego liczbie okresów. Np. wzrost z $4000$ do $4840$ zł w $2$ lata: $q^{2}=1{,}21$ , $q=1{,}1$ , czyli $10\%$ rocznie.

Jak rozpoznać procent składany w zadaniu?

Sygnałem jest zdanie „bank dolicza odsetki od kwoty bieżącego kapitału” — wtedy liczymy potęgą, a nie mnożeniem $p\cdot n$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę