Monotoniczność potęgowania — jak porównać potęgi

Q: Jak porównać potęgi o różnych podstawach?

Sprowadź je do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki: 8⁵=2¹⁵ i 32³=2¹⁵, więc są równe. Gdy się nie da, sprowadź do wspólnego wykładnika i porównaj podstawy: 3¹⁵=27⁵, 5¹⁰=25⁵, więc większe jest 3¹⁵.

Q: Kiedy potęga jest większa od 1?

Gdy podstawa jest większa od 1, a wykładnik dodatni, albo gdy podstawa leży w przedziale (0,1), a wykładnik jest ujemny. Np. (1/3)⁻²=3²=9>1.

Dla podstawy $a>1$ większy wykładnik daje większą potęgę: gdy $x<y$ , to $a^{x}<a^{y}$ . Dla podstawy $0<a<1$ kolejność się odwraca: $a^{x}>a^{y}$ . Potęgi o różnych podstawach sprowadzamy do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika.

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Podstawa większa od 1 gdy $a>1$ i $x<y$ — kolejność wykładników się zachowuje: $a^{x}<a^{y}$
Podstawa z przedziału (0, 1) gdy $0<a<1$ i $x<y$ — kolejność się odwraca: $a^{x}>a^{y}$

Jak porównać potęgi o tej samej podstawie

Potęgowanie o podstawie większej od 1 zachowuje kolejność wykładników: jeśli $a>1$ i $x<y$ , to $a^{x}<a^{y}$ . Dla podstawy z przedziału $(0,1)$ kolejność się odwraca: jeśli $0<a<1$ i $x<y$ , to $a^{x}>a^{y}$ . Potęgi o różnych podstawach sprowadzasz do wspólnej podstawy (porównujesz wykładniki) albo do wspólnego wykładnika (porównujesz podstawy).

$3^{-2}$ czy $3^{-4}$ : podstawa $3>1$ , a $-2>-4$ , więc większe jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3^{-2}}}$ .
$\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}$ czy $\left(\tfrac{2}{5}\right)^{5}$ : podstawa z $(0,1)$ , większy wykładnik daje mniej — większe jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}}}$ .
$8^{5}$ czy $32^{3}$ : $8^{5}=2^{15}$ i $32^{3}=2^{15}$ , więc liczby są $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{równe}}$ .
$\sqrt[3]{2}$ czy $\sqrt[4]{2}$ : to $2^{\frac{1}{3}}$ i $2^{\frac{1}{4}}$ , a $\tfrac{1}{3}>\tfrac{1}{4}$ , więc większy jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt[3]{2}}}$ .
$3^{15}$ czy $5^{10}$ : $27^{5}$ i $25^{5}$ — ten sam wykładnik, wygrywa większa podstawa: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3^{15}}}$ .

Porównywanie potęg w zadaniach maturalnych

Na maturze: karta wzorów CKE nie podaje reguły monotoniczności — tylko prawa działań na potęgach ( $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ , $a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}$ , $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ ) i właśnie nimi sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy. Zadanie za 1 pkt to zwykle „która liczba jest większa/najmniejsza” przy podstawach $2,4,8$ lub $3,9,27$ , ułamkach $\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}$ albo pierwiastkach różnych stopni z tej samej liczby. Pułapka: podstawa $\tfrac{1}{2}$ z ujemnym wykładnikiem to już potęga dwójki — najpierw zamień podstawę na liczbę większą od $1$ , dopiero potem porównuj wykładniki.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Potęgi o tej samej podstawie większej od 1

Porównujesz potęgi o wspólnej podstawie a > 1, porównując same wykładniki — także ujemne, ułamkowe i niewymierne.

Zadanie Uporządkuj rosnąco liczby $a = 5^{-3}$ , $b = 5^{\frac{1}{2}}$ , $c = 5^{0{,}4}$ , $d = 5^{-2}$ .

Wszystkie potęgi mają podstawę $5>1$ , więc ich kolejność jest taka sama jak kolejność wykładników — nie liczę wartości, porównuję wykładniki $-3,\ \tfrac{1}{2},\ 0{,}4,\ -2$ .
Wykładniki ujemne: $-3<-2$ , więc $a<d$ ; obie te liczby są mniejsze od $1=5^{0}$ .
Wykładniki dodatnie: $\tfrac{1}{2}=0{,}5>0{,}4$ , więc $c<b$ .
Zatem $5^{-3}<5^{-2}<5^{0{,}4}<5^{\frac{1}{2}}$ , czyli $a<d<c<b$ .

Odpowiedź: $a < d < c < b$

Przykład 2 Potęgi o tej samej podstawie z przedziału (0, 1)

Porównujesz potęgi o wspólnej podstawie z przedziału (0, 1): większy wykładnik daje mniejszą potęgę — również przy wykładnikach ujemnych i ułamkowych.

Zadanie Uporządkuj malejąco liczby $a = \left(\frac{2}{3}\right)^{4}$ , $b = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ , $c = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ , $d = \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$ .

Podstawa $\tfrac{2}{3}\in(0,1)$ , więc potęgowanie odwraca kolejność: im mniejszy wykładnik, tym większa potęga. Porównuję wykładniki $4,\ -2,\ \tfrac{1}{2},\ -5$ .
Najmniejszy wykładnik to $-5$ , więc największa jest $d$ ; następny jest $-2$ , czyli $b$ . Kontrola: $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-5}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{5}>\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2}$ .
Wykładniki dodatnie $\tfrac{1}{2}<4$ dają $c>a$ ; obie te liczby są mniejsze od $1$ , bo dodatnia potęga ułamka z $(0,1)$ jest mniejsza od $1$ .
Malejąco: $d>b>c>a$ .

Odpowiedź: $d > b > c > a$

Przykład 3 Czy potęga jest większa od 1

Rozstrzygasz, czy potęga jest większa czy mniejsza od 1, patrząc na podstawę (większa od 1 czy z przedziału (0, 1)) i na znak wykładnika.

Zadanie Wskaż, które z liczb $a = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3}$ , $b = 1{,}2^{-2}$ , $c = 0{,}9^{6}$ , $d = \left(\frac{7}{6}\right)^{\frac{1}{2}}$ są większe od $1$ .

Liczba $1$ to każda podstawa do potęgi $0$ , więc porównuję każdą potęgę z $a^{0}$ : dla podstawy $>1$ potęga jest większa od $1$ dokładnie wtedy, gdy wykładnik jest dodatni; dla podstawy z $(0,1)$ — gdy wykładnik jest ujemny.
$a$ : podstawa $\tfrac{4}{5}<1$ , wykładnik $-3<0$ — potęga większa od $1$ . Kontrola: $\left(\tfrac{4}{5}\right)^{-3}=\left(\tfrac{5}{4}\right)^{3}>1$ .
$b$ : podstawa $1{,}2>1$ , wykładnik $-2<0$ — potęga mniejsza od $1$ , bo $1{,}2^{-2}=\tfrac{1}{1{,}44}$ .
$c$ : podstawa $0{,}9<1$ , wykładnik $6>0$ — mniejsza od $1$ . $d$ : podstawa $\tfrac{7}{6}>1$ , wykładnik $\tfrac{1}{2}>0$ — większa od $1$ .
Większe od $1$ są $a$ i $d$ .

Odpowiedź: $a$ i $d$

Przykład 4 Porównywanie potęg po sprowadzeniu do wspólnej podstawy

Zapisujesz obie potęgi w tej samej podstawie (np. 4 = 2^{do potęgi 2}, 1/8 = 2^{do potęgi −3}), mnożysz wykładniki i dopiero wtedy porównujesz.

Zadanie Uporządkuj rosnąco liczby $a = 27^{2}$ , $b = 9^{-1}$ , $c = \left(\frac{1}{3}\right)^{-5}$ , $d = 3^{7}$ .

Wszystkie podstawy są potęgami trójki: $27=3^{3}$ , $9=3^{2}$ , $\tfrac{1}{3}=3^{-1}$ — zapisuję każdą liczbę w podstawie $3$ , bo wtedy wystarczy porównać wykładniki.
$a=27^{2}=(3^{3})^{2}=3^{6}$ oraz $b=9^{-1}=(3^{2})^{-1}=3^{-2}$ (potęga potęgi: mnożę wykładniki).
$c=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-5}=(3^{-1})^{-5}=3^{5}$ — dwa minusy dają plus; $d=3^{7}$ zostaje bez zmian.
Podstawa $3>1$ zachowuje kolejność wykładników: $-2<5<6<7$ , więc $b<c<a<d$ .

Odpowiedź: $b < c < a < d$

Przykład 5 Porównywanie pierwiastków różnych stopni

Zamieniasz pierwiastki na potęgi o wykładniku ułamkowym (^{do potęgi n}√a^{do potęgi m} = a^(m/n)) i porównujesz ułamki w wykładnikach.

Zadanie Uporządkuj rosnąco liczby $\sqrt{2}$ , $\sqrt[3]{4}$ , $\sqrt[4]{8}$ , $\sqrt[6]{2}$ .

Liczby pod pierwiastkami to potęgi dwójki, więc zapisuję każdą jako potęgę o podstawie $2$ i wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ .
$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^{2}}=2^{\frac{2}{3}}$ , $\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2^{3}}=2^{\frac{3}{4}}$ , $\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}$ .
Porównuję wykładniki, sprowadzając do wspólnego mianownika $12$ : $\tfrac{6}{12},\ \tfrac{8}{12},\ \tfrac{9}{12},\ \tfrac{2}{12}$ .
Podstawa $2>1$ zachowuje kolejność wykładników: $\tfrac{2}{12}<\tfrac{6}{12}<\tfrac{8}{12}<\tfrac{9}{12}$ , więc $\sqrt[6]{2}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{4}<\sqrt[4]{8}$ .

Odpowiedź: $\sqrt[6]{2} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[4]{8}$

Przykład 6 Porównywanie potęg przez wspólny wykładnik

Gdy potęgi nie mają wspólnej podstawy, sprowadzasz je do wspólnego wykładnika (np. 2^{do potęgi 40} = 16^{do potęgi 10}, 3^{do potęgi 30} = 27^{do potęgi 10}) i porównujesz podstawy.

Zadanie Która z liczb jest największa: $a = 2^{40}$ , $b = 3^{30}$ , $c = 7^{20}$ ?

Podstaw $2,\ 3,\ 7$ nie da się sprowadzić do wspólnej podstawy, ale wykładniki $40,\ 30,\ 20$ mają wspólny dzielnik $10$ — sprowadzam potęgi do wspólnego wykładnika $10$ .
$a=2^{40}=(2^{4})^{10}=16^{10}$ , $b=3^{30}=(3^{3})^{10}=27^{10}$ , $c=7^{20}=(7^{2})^{10}=49^{10}$ .
Przy tym samym dodatnim wykładniku większa podstawa daje większą potęgę: $16<27<49$ , więc $16^{10}<27^{10}<49^{10}$ .
Największa jest $c=7^{20}$ .

Odpowiedź: $c = 7^{20}$

Najczęstsze błędy

Porównywanie wykładników przy podstawie z przedziału $(0,1)$ tak jak przy $a>1$ . Tu większy wykładnik daje mniejszą potęgę: $\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}>\left(\tfrac{2}{5}\right)^{5}$ .
Porównywanie wykładników potęg o różnych podstawach. Najpierw sprowadź je do wspólnej podstawy ( $8^{5}=2^{15}$ , $32^{3}=2^{15}$ ) albo do wspólnego wykładnika ( $3^{15}=27^{5}$ , $5^{10}=25^{5}$ ).
Porównywanie wykładników przy podstawie $\tfrac{1}{2}$ i ujemnym wykładniku bez zamiany podstawy. To potęga dwójki, np. $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}$ — najpierw zamień podstawę na liczbę większą od $1$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dane są liczby $x = 2^{-5}$ oraz $y = 2^{-3}$ . Wtedy

Zadanie 2

Dane są liczby $x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ oraz $y = \left(\frac{3}{5}\right)^{-4}$ . Wtedy

Zadanie 3

Liczba $0{,}85^{-7}$ jest

Zadanie 4

Liczba $\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}$ w porównaniu z liczbą $8^{2}$ jest

Zadanie 5

Która z liczb jest największa?

Zadanie 6

Która z liczb jest najmniejsza?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Monotoniczność potęgowania Pi-stacja Matematyka

Monotoniczność potęgowania — matura podstawowa Math Dream

Najczęstsze pytania

Co to jest monotoniczność potęgowania?

To zasada, która mówi, jak kolejność wykładników przekłada się na kolejność potęg. Dla podstawy $a>1$ : gdy $x<y$ , to $a^{x}<a^{y}$ . Dla podstawy $0<a<1$ kolejność się odwraca: $a^{x}>a^{y}$ .

Jak porównać potęgi o różnych podstawach?

Sprowadź je do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki: $8^{5}=2^{15}$ i $32^{3}=2^{15}$ , więc są równe. Gdy się nie da, sprowadź do wspólnego wykładnika i porównaj podstawy: $3^{15}=27^{5}$ , $5^{10}=25^{5}$ , więc większe jest $3^{15}$ .

Jak porównać pierwiastki różnych stopni?

Zamień je na potęgi o wykładniku ułamkowym i porównaj wykładniki: $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$ , $\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}$ , a $\tfrac{1}{3}>\tfrac{1}{4}$ , więc większy jest $\sqrt[3]{2}$ .

Kiedy potęga jest większa od 1?

Gdy podstawa jest większa od $1$ , a wykładnik dodatni, albo gdy podstawa leży w przedziale $(0,1)$ , a wykładnik jest ujemny. Np. $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9>1$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę