Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO →

Monotoniczność potęgowania — wytłumaczenie, wzór i zadania

Q: Uporządkuj rosnąco liczby a = 5^-3, b = 5¹/2, c = 5⁰,4, d = 5^-2.

Odpowiedź: a < d < c < b. Wszystkie potęgi mają podstawę 51, więc ich kolejność jest taka sama jak kolejność wykładników — nie liczę wartości, porównuję wykładniki -3, 1/2, 0,4, -2. Wykładniki ujemne: -3<-2, więc a<d; obie te liczby są mniejsze od 1=5⁰. Wykładniki dodatnie: 1/2=0,50,4, więc c<b. Zatem 5^-3<5^-2<5⁰,4<5¹/2, czyli a<d<c<b.

Potęgowanie o podstawie większej od 1 zachowuje kolejność wykładników: jeśli $a>1$ i $x<y$ , to $a^{x}<a^{y}$ . Dla podstawy z przedziału $(0,1)$ kolejność się odwraca: jeśli $0<a<1$ i $x<y$ , to $a^{x}>a^{y}$ . Potęgi o różnych podstawach sprowadzasz do wspólnej podstawy (porównujesz wykładniki) albo do wspólnego wykładnika (porównujesz podstawy).

$3^{-2}$ czy $3^{-4}$ : podstawa $3>1$ , a $-2>-4$ , więc większe jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3^{-2}}}$ .
$\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}$ czy $\left(\tfrac{2}{5}\right)^{5}$ : podstawa z $(0,1)$ , większy wykładnik daje mniej — większe jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}}}$ .
$8^{5}$ czy $32^{3}$ : $8^{5}=2^{15}$ i $32^{3}=2^{15}$ , więc liczby są $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{równe}}$ .
$\sqrt[3]{2}$ czy $\sqrt[4]{2}$ : to $2^{\frac{1}{3}}$ i $2^{\frac{1}{4}}$ , a $\tfrac{1}{3}>\tfrac{1}{4}$ , więc większy jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt[3]{2}}}$ .
$3^{15}$ czy $5^{10}$ : $27^{5}$ i $25^{5}$ — ten sam wykładnik, wygrywa większa podstawa: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3^{15}}}$ .

Na maturze: karta wzorów CKE nie podaje reguły monotoniczności — tylko prawa działań na potęgach ( $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ , $a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}$ , $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ ) i właśnie nimi sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy. Zadanie za 1 pkt to zwykle „która liczba jest większa/najmniejsza” przy podstawach $2,4,8$ lub $3,9,27$ , ułamkach $\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}$ albo pierwiastkach różnych stopni z tej samej liczby. Pułapka: podstawa $\tfrac{1}{2}$ z ujemnym wykładnikiem to już potęga dwójki — najpierw zamień podstawę na liczbę większą od $1$ , dopiero potem porównuj wykładniki.

Przykład krok po kroku

Uporządkuj rosnąco liczby $a = 5^{-3}$ , $b = 5^{\frac{1}{2}}$ , $c = 5^{0{,}4}$ , $d = 5^{-2}$ .

1 Wszystkie potęgi mają podstawę $5>1$ , więc ich kolejność jest taka sama jak kolejność wykładników — nie liczę wartości, porównuję wykładniki $-3,\ \tfrac{1}{2},\ 0{,}4,\ -2$ .
2 Wykładniki ujemne: $-3<-2$ , więc $a<d$ ; obie te liczby są mniejsze od $1=5^{0}$ .
3 Wykładniki dodatnie: $\tfrac{1}{2}=0{,}5>0{,}4$ , więc $c<b$ .
4 Zatem $5^{-3}<5^{-2}<5^{0{,}4}<5^{\frac{1}{2}}$ , czyli $a<d<c<b$ .

Odpowiedź: $a < d < c < b$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Monotoniczność potęgowania Pi-stacja Matematyka

Monotoniczność potęgowania — matura podstawowa Math Dream

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Dane są liczby $x = 2^{-5}$ oraz $y = 2^{-3}$ . Wtedy

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Monotoniczność potęgowania" w aplikacji Compass

Opanuj „Monotoniczność potęgowania" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

Uporządkuj rosnąco liczby a = 5^-3, b = 5¹/2, c = 5⁰,4, d = 5^-2. +

Odpowiedź: a < d < c < b. Wszystkie potęgi mają podstawę 51, więc ich kolejność jest taka sama jak kolejność wykładników — nie liczę wartości, porównuję wykładniki -3, 1/2, 0,4, -2. Wykładniki ujemne: -3<-2, więc a<d; obie te liczby są mniejsze od 1=5⁰. Wykładniki dodatnie: 1/2=0,50,4, więc c<b. Zatem 5^-3<5^-2<5⁰,4<5¹/2, czyli a<d<c<b.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →