Przejdź do treści
Poznaj Compass

Działania w zbiorze liczb rzeczywistych — kolejność, przykłady i zadania

Wyrażenie liczymy w ustalonej kolejności: nawiasy → potęgi, pierwiastki i logarytmy → mnożenie i dzielenie → dodawanie i odejmowanie. Najpierw każdy składnik zamieniamy na wygodną liczbę: wykładnik ujemny to odwrotność, a logarytm to wykładnik.

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Potęga o wykładniku ujemnym wykładnik ujemny oznacza odwrotność potęgi
a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}
Definicja logarytmu logarytm cc to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę aa, żeby otrzymać bb
log⁡ab=c⇔ac=b\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b

Kolejność wykonywania działań

Każde wyrażenie w zbiorze liczb rzeczywistych liczysz w jednej, ustalonej kolejności: nawiasy → potęgi, pierwiastki i logarytmy → mnożenie i dzielenie → dodawanie i odejmowanie. Zanim zaczniesz, sprowadź każdy składnik do wygodnej liczby: wykładnik ujemny to odwrotność, pierwiastek z kwadratu to liczba, logarytm to wykładnik, a ułamek dziesiętny stojący obok zwykłego zamień na zwykły.

  • −32+(−3)2=−9+9=0-3^2 + (-3)^2 = -9 + 9 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{0}} — minus przed potęgą nie jest potęgowany.
  • 12+141,5=34:32=34⋅23=12\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{1{,}5} = \frac{3}{4} : \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\frac{1}{2}}} — kreska ułamkowa to dzielenie.
  • (23)−2⋅14=94⋅12=98\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{9}{4}\cdot\frac{1}{2} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\frac{9}{8}}}.
  • log⁡216−−83⋅3−1=4−(−2)⋅13=143\log_2 16 - \sqrt[3]{-8}\cdot 3^{-1} = 4 - (-2)\cdot\frac{1}{3} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\frac{14}{3}}}.
  • Dla x=−12x=-\frac{1}{2}: 4x2−2x=4⋅14+1=24x^2 - 2x = 4\cdot\frac{1}{4} + 1 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}} — liczbę ujemną podstawiasz w nawiasie.

Typowe błędy w zadaniach „Liczba … jest równa”

Na maturze: to zwykle zadanie 1–2 arkusza za 1 pkt: „Liczba (…) jest równa”, a wśród odpowiedzi stoją wyniki typowych błędów — (−2)2(-2)^2 pomylone z −22-2^2, a−1a^{-1} policzone jako −a-a, dzielenie ułamków bez odwrócenia dzielnika. Karta wzorów CKE podaje własności potęg i logarytmów (a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}, log⁡ab=c⇔ac=b\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b), ale nie zastąpi rachunku: licz składnik po składniku i zapisuj wyniki pośrednie, zamiast robić wszystko „w głowie”.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kolejność działań z potęgami liczb ujemnych

Liczysz wartość wyrażenia z nawiasami, potęgami i liczbami ujemnymi w ustalonej kolejności, rozróżniając (−2) do potęgi 2 od −2 do potęgi 2.

Zadanie Liczba −32+(−3)2⋅2−24:(−4)-3^2 + (-3)^2\cdot 2 - 24:(-4) jest równa:

  1. Najpierw potęgi, z uwagą na zapis: w −32-3^2 minus stoi przed potęgą i nie jest potęgowany, więc −32=−9-3^2=-9; w (−3)2(-3)^2 potęgowana jest cała liczba ujemna, więc (−3)2=9(-3)^2=9.
  2. Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem: 9⋅2=189\cdot 2=18 oraz 24:(−4)=−624:(-4)=-6 (dodatnia przez ujemną daje ujemną).
  3. Zostaje −9+18−(−6)-9+18-(-6); odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: −9+18+6-9+18+6.
  4. Liczę od lewej: −9+18=9-9+18=9, 9+6=159+6=15.

Odpowiedź: 15

Przykład 2 Ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym wyrażeniu

Zamieniasz ułamki dziesiętne na zwykłe, dzielisz przez odwrotność i liczysz ułamek piętrowy jako dzielenie licznika przez mianownik.

Zadanie Liczba 34−0,51,25⋅25\dfrac{\frac{3}{4} - 0{,}5}{1{,}25\cdot\frac{2}{5}} jest równa:

  1. Ujednolicam postać liczb — skoro w wyrażeniu są ułamki zwykłe, zapisuję dziesiętne jako zwykłe: 0,5=120{,}5=\frac{1}{2}, 1,25=541{,}25=\frac{5}{4}.
  2. Licznik: 34−12=34−24=14\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}.
  3. Mianownik: 54⋅25=1020=12\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.
  4. Kreska ułamkowa to dzielenie, a dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność: 14:12=14⋅21=12\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{1}{2}.

Odpowiedź: 12\frac{1}{2}

Przykład 3 Potęgi o wykładniku ujemnym i pierwiastki

Sprowadzasz każdy składnik do liczby (wykładnik ujemny → odwrotność, pierwiastek z kwadratu lub sześcianu → liczba), a potem liczysz w zwykłej kolejności.

Zadanie Liczba (23)−2−14⋅3+−83\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} - \sqrt{\frac{1}{4}}\cdot 3 + \sqrt[3]{-8} jest równa:

  1. Wykładnik ujemny to odwrotność podstawy: (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} — odwracam ułamek, dopiero potem podnoszę do kwadratu.
  2. Pierwiastki zamieniam na liczby: 14=12\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} (bo (12)2=14\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}) oraz −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2 — pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje.
  3. Mnożenie przed odejmowaniem: 12⋅3=32\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}.
  4. Sprowadzam do wspólnego mianownika 4: 94−64−84=−54\frac{9}{4}-\frac{6}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{5}{4}.

Odpowiedź: −54-\frac{5}{4}

Przykład 4 Logarytm, potęga i pierwiastek w jednym rachunku

Zamieniasz logarytm na wykładnik (log_a b = k, bo a^k = b), pierwiastek i potęgę na liczby, i dopiero wtedy wykonujesz działania.

Zadanie Liczba log⁡232−1253⋅2−1+log⁡51\log_2 32 - \sqrt[3]{125}\cdot 2^{-1} + \log_5 1 jest równa:

  1. Logarytm to pytanie o wykładnik: 2?=322^{?}=32, więc log⁡232=5\log_2 32=5; 50=15^0=1, więc log⁡51=0\log_5 1=0.
  2. Pierwiastek i potęgę zamieniam na liczby: 1253=5\sqrt[3]{125}=5 (bo 53=1255^3=125), 2−1=122^{-1}=\frac{1}{2}.
  3. Mnożenie przed odejmowaniem: 5⋅12=525\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.
  4. Zostaje 5−52+0=102−52=52=2,55-\frac{5}{2}+0=\frac{10}{2}-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5.

Odpowiedź: 52\frac{5}{2}

Przykład 5 Wartość wyrażenia dla podanych liczb

Podstawiasz do wyrażenia liczby ujemne, ułamki i pierwiastki w nawiasach, a potem liczysz wartość w zwykłej kolejności.

Zadanie Dla x=−12x=-\frac{1}{2} i y=3y=\sqrt{3} wartość wyrażenia 4x2−2xy2+y24x^2-2xy^2+y^2 jest równa:

  1. Podstawiam każdą liczbę w nawiasie, żeby nie zgubić znaku: 4⋅(−12)2−2⋅(−12)⋅(3)2+(3)24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2.
  2. Potęgi najpierw: (−12)2=14\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} (kwadrat liczby ujemnej jest dodatni), (3)2=3(\sqrt{3})^2=3.
  3. Mnożenia: 4⋅14=14\cdot\frac{1}{4}=1 oraz −2⋅(−12)⋅3=1⋅3=3-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3=1\cdot 3=3 — dwa minusy dają plus.
  4. Suma: 1+3+3=71+3+3=7.

Odpowiedź: 7

Najczęstsze błędy

  • Pomylenie −32-3^2 z (−3)2(-3)^2. Minus przed potęgą nie jest potęgowany: −32=−9-3^2=-9, a (−3)2=9(-3)^2=9.
  • Liczenie a−1a^{-1} jako −a-a. Wykładnik ujemny to odwrotność: 3−1=133^{-1}=\frac{1}{3}, (23)−2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}.
  • Dzielenie ułamków bez odwrócenia dzielnika. Poprawnie: 34:32=34⋅23=12\frac{3}{4}:\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
  • Podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu. Dla x=−12x=-\frac{1}{2} piszemy 4⋅(−12)2=14\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2=1 — kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba (2−5)3:9−(−2)4+3⋅(−1)7(2-5)^3 : 9 - (-2)^4 + 3\cdot(-1)^7 jest równa:

Zadanie 2

Liczba (12+23):712\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right):\frac{7}{12} jest równa:

Zadanie 3

Liczba 2−3⋅42−916⋅82^{-3}\cdot 4^2-\sqrt{\frac{9}{16}}\cdot 8 jest równa:

Zadanie 4

Liczba log⁡218+(13)−2−16\log_2\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}-\sqrt{16} jest równa:

Zadanie 5

Dla a=2a=\sqrt{2} i b=−2b=-\sqrt{2} wartość wyrażenia a2−ab+2b2a^2-ab+2b^2 jest równa:

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Matura podstawowa — kurs: liczby rzeczywiste Matemaks
Działania na liczbach rzeczywistych — zadania mepiTV

Najczęstsze pytania

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Najpierw nawiasy, potem potęgi, pierwiastki i logarytmy, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie całego licznika przez cały mianownik.

Czym różni się −3 do potęgi 2 od (−3) do potęgi 2?

W −32-3^2 potęgowana jest tylko trójka, więc wynik to −9-9. W (−3)2(-3)^2 potęgowana jest cała liczba ujemna i wynik to 99; stąd −32+(−3)2=0-3^2+(-3)^2=0.

Jak obliczyć potęgę o wykładniku ujemnym?

Odwróć podstawę i podnieś ją do potęgi o wykładniku dodatnim: a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}, np. (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.

Jak obliczyć logarytm w wyrażeniu?

Zamień go na wykładnik: log⁡216=4\log_2 16=4, bo 24=162^4=16, a log⁡51=0\log_5 1=0, bo 50=15^0=1. Dopiero potem wykonaj pozostałe działania.

Ile wynosi pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej?

Istnieje i jest liczbą ujemną: −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2, bo (−2)3=−8(-2)^3=-8. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej jest zawsze określony.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę