Prawa działań na potęgach i pierwiastkach — wzory i przykłady

Q: Jak zamienić pierwiastek na potęgę?

Ze wzoru a^(m/n)=ⁿ√aᵐ: stopień pierwiastka to mianownik wykładnika, a potęga pod pierwiastkiem — licznik. Np. √x·⁶√x=x^(1/2+1/6)=x^(2/3).

Q: Czy można dodać wykładniki w sumie potęg?

Nie. Wykładniki dodajemy tylko przy mnożeniu potęg, więc 5¹²+5¹³≠ 5²⁵. Z sumy wyłączamy wspólny czynnik, np. (3⁹+3¹⁰)/3⁹=1+3=4.

Q: Jak sprowadzić potęgi do wspólnej podstawy?

Zapisz liczby jako potęgi tej samej liczby: 4, 8, 16, 32 jako potęgi 2, 9, 27, 81 jako potęgi 3, 25, 125 jako potęgi 5. Np. (1/8)⁴· 4⁵=2⁻¹²· 2¹⁰=2⁻².

Potęgi o tej samej podstawie łączymy na wykładnikach: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ , $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ , $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ . Wykładnik ujemny odwraca podstawę, a ułamkowy oznacza pierwiastek: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ .

Liczby rzeczywiste · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Potęga o wykładniku ułamkowym $n$ — stopień pierwiastka (mianownik wykładnika), $m$ — potęga pod pierwiastkiem (licznik wykładnika): $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Wzory na działania na potęgach

Potęgi o tej samej podstawie łączysz na wykładnikach: przy mnożeniu dodajesz, przy dzieleniu odejmujesz, w potędze potęgi mnożysz; wykładnik ujemny odwraca podstawę, a ułamkowy to pierwiastek: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ .

$\dfrac{2^{-3}\cdot 2^{8}}{2^{2}}=2^{-3+8-2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2^{3}}}$
$\left(\tfrac{1}{8}\right)^{4}\cdot 4^{5}=2^{-12}\cdot 2^{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2^{-2}}}$
$\left(\tfrac{9}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\tfrac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{2}{3}}}$
$\sqrt{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^{\frac{2}{3}}}}$
$\dfrac{3^{9}+3^{10}}{3^{9}}=1+3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$

Wspólna podstawa i suma potęg w zadaniach maturalnych

Na maturze: wzory na potęgi i pierwiastki są na karcie wzorów CKE, ale zadanie zawsze wymaga najpierw sprowadzenia do wspólnej podstawy ( $4, 8, 16, 32 \to 2$ ; $9, 27, 81 \to 3$ ; $25, 125 \to 5$ ; $\tfrac{1}{16}=2^{-4}$ ). Odpowiedzi w arkuszu są zwykle w postaci $2^{k}$ lub $5^{k}$ — nie licz wartości, zostań przy wykładnikach. Pułapka: $5^{12}+5^{13}\neq 5^{25}$ — z sumy potęg nie skracasz wykładników, tylko wyłączasz wspólny czynnik.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

Przy tej samej podstawie wykładniki dodajesz (mnożenie) lub odejmujesz (dzielenie), także gdy są ujemne.

Zadanie Zapisz w postaci jednej potęgi liczbę $\dfrac{7^{-3}\cdot 7^{8}}{7^{2}}$ .

Wszystkie podstawy są równe $7$ , więc pracuję tylko na wykładnikach — podstawy nie zmieniam.
Licznik to iloczyn, więc wykładniki dodaję (minus zostaje przy $3$ ): $7^{-3}\cdot 7^{8}=7^{-3+8}=7^{5}$ .
Dzielenie przez $7^{2}$ to odejmowanie wykładnika: $7^{5-2}=7^{3}$ .
Kontrola skrótem: jeden rachunek na wykładnikach $-3+8-2=3$ . Wynik: $7^{3}$ (czyli $343$ ).

Odpowiedź: $7^{3}$

Przykład 2 Potęga o wykładniku ujemnym lub ułamkowym

Obliczasz wartość liczby typu (8/27)^(−2/3): ujemny wykładnik odwraca ułamek, mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, licznik to potęga.

Zadanie Oblicz wartość liczby $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$ .

Ujemny wykładnik odwraca podstawę (nie zmienia znaku liczby): $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}$ .
Wykładnik $\dfrac{2}{3}$ czytam jako „pierwiastek trzeciego stopnia, potem druga potęga”. Najpierw pierwiastkuję, bo liczby są mniejsze: $\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$ .
Podnoszę do kwadratu: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$ .
Wynik: $\dfrac{9}{4}=2{,}25$ .

Odpowiedź: $\dfrac{9}{4}$

Przykład 3 Sprowadzanie potęg do wspólnej podstawy

Zapisujesz 4, 8, 16, 1/9, 25, 125 jako potęgi liczby 2, 3 lub 5, mnożysz wykładniki w potędze potęgi i łączysz wszystko w jedną potęgę.

Zadanie Liczba $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{6}\cdot 27^{5}$ jest równa: $3^{-1}$ , $3$ , $27$ czy $3^{27}$ ?

Obie podstawy są potęgami $3$ : $\dfrac{1}{9}=3^{-2}$ oraz $27=3^{3}$ — wybieram wspólną podstawę $3$ , bo dopiero wtedy działają wzory.
Potęga potęgi — mnożę wykładniki: $\left(3^{-2}\right)^{6}=3^{-12}$ oraz $\left(3^{3}\right)^{5}=3^{15}$ .
Iloczyn potęg o tej samej podstawie — dodaję wykładniki: $3^{-12+15}=3^{3}$ .
Wynik: $3^{3}=27$ .

Odpowiedź: $27$ (czyli $3^{3}$ )

Przykład 4 Pierwiastek zapisany jako potęga

Zamieniasz ^{do potęgi n} $\sqrt{aᵐ}$ na a^(m/n), żeby pomnożyć pierwiastki różnych stopni, policzyć pierwiastek z pierwiastka albo zapisać liczbę jako jedną potęgę.

Zadanie Zapisz liczbę $\sqrt{2\sqrt[3]{2}}$ w postaci potęgi liczby $2$ .

Zaczynam od środka: $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$ , więc pod zewnętrznym pierwiastkiem stoi iloczyn potęg o podstawie $2$ : $2\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{1+\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ .
Pierwiastek kwadratowy to wykładnik $\frac{1}{2}$ : $\sqrt{2^{\frac{4}{3}}}=\left(2^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ .
Potęga potęgi — mnożę wykładniki: $\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .
Wynik: $2^{\frac{2}{3}}$ (czyli $\sqrt[3]{4}$ ).

Odpowiedź: $2^{\frac{2}{3}}$

Przykład 5 Suma potęg — wyłączanie wspólnego czynnika

Z sumy typu 3^{do potęgi n} + 3^{do potęgi n+1} wyłączasz najmniejszą potęgę (albo dzielisz każdy składnik osobno), zamiast liczyć ogromne liczby.

Zadanie Liczba $\dfrac{3^{15}+3^{16}}{3^{14}}$ jest równa: $3$ , $12$ , $3^{17}$ czy $3^{31}$ ?

W liczniku jest suma, a nie iloczyn — wykładników nie wolno dodać ani skrócić „na oko”. Wyłączam wspólny czynnik, najmniejszą potęgę $3^{15}$ : $3^{15}+3^{16}=3^{15}\left(1+3\right)=3^{15}\cdot 4$ .
Teraz to już iloczyn, więc dzielę potęgi o tej samej podstawie: $\dfrac{3^{15}}{3^{14}}=3^{1}=3$ .
Zostaje $3\cdot 4=12$ .
Kontrola drugą metodą — dzielę każdy składnik osobno: $\dfrac{3^{15}}{3^{14}}+\dfrac{3^{16}}{3^{14}}=3+9=12$ . Wynik: $12$ .

Odpowiedź: $12$

Przykład 6 Liczba cyfr iloczynu potęg 2 i 5

Zapisujesz liczbę typu 4ᵃ·5ᵇ jako k·10^{do potęgi n}, żeby odczytać liczbę cyfr i sprawdzić podzielność bez obliczania jej wartości.

Zadanie Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba $8^{5}\cdot 5^{17}$ ?

Cel: wyłuskać potęgę $10$ , bo $2\cdot 5=10$ — najpierw zapisuję $8^{5}=\left(2^{3}\right)^{5}=2^{15}$ .
Paruję dwójki z piątkami: mam $2^{15}$ i $5^{17}$ , więc rozbijam $5^{17}=5^{15}\cdot 5^{2}$ i łączę $2^{15}\cdot 5^{15}=10^{15}$ .
Liczba to $5^{2}\cdot 10^{15}=25\cdot 10^{15}$ : cyfry $2$ , $5$ i piętnaście zer na końcu.
Liczba cyfr: $2+15=17$ . Przy okazji: kończy się dwoma zerami, więc jest podzielna np. przez $100$ i przez $50$ .

Odpowiedź: $17$ cyfr

Najczęstsze błędy

Dodawanie wykładników w sumie potęg: $5^{12}+5^{13}\neq 5^{25}$ . Z sumy wyłączamy wspólny czynnik, np. $3^{15}+3^{16}=3^{15}\cdot 4$ .
Zmiana znaku liczby przy wykładniku ujemnym. Ujemny wykładnik odwraca podstawę, a nie zmienia znaku: $\left(\tfrac{9}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\tfrac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\tfrac{2}{3}$ .
Łączenie potęg o różnych podstawach bez sprowadzenia do wspólnej. Najpierw zapisz np. $4, 8, 16$ jako potęgi $2$ , a $9, 27$ jako potęgi $3$ — dopiero wtedy działają wzory.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba $\dfrac{3^{7}\cdot 3^{-2}}{3^{4}}$ jest równa:

Zadanie 2

Liczba $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}$ jest równa:

Zadanie 3

Liczba $\dfrac{8^{5}}{4^{6}}$ jest równa:

Zadanie 4

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[4]{x}\cdot\sqrt[12]{x^{5}}$ jest równy:

Zadanie 5

Liczba $\dfrac{7^{10}+7^{11}}{7^{10}}$ jest równa:

Zadanie 6

Liczba $8^{6}\cdot 5^{18}$ ma w zapisie dziesiętnym:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x}$ jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Potęga o wykładniku wymiernym — prawa działań na potęgach Lernado

Działania na potęgach o wykładniku ujemnym Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jakie są prawa działań na potęgach?

Przy tej samej podstawie: mnożąc potęgi, dodajemy wykładniki ( $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ ), dzieląc — odejmujemy ( $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ ), a w potędze potęgi mnożymy ( $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ ).

Co oznacza potęga o wykładniku ujemnym?

Ujemny wykładnik odwraca podstawę, a nie zmienia znaku liczby, np. $\tfrac{1}{16}=2^{-4}$ oraz $\left(\tfrac{9}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\tfrac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\tfrac{2}{3}$ .

Jak zamienić pierwiastek na potęgę?

Ze wzoru $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ : stopień pierwiastka to mianownik wykładnika, a potęga pod pierwiastkiem — licznik. Np. $\sqrt{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}=x^{\frac{2}{3}}$ .

Czy można dodać wykładniki w sumie potęg?

Nie. Wykładniki dodajemy tylko przy mnożeniu potęg, więc $5^{12}+5^{13}\neq 5^{25}$ . Z sumy wyłączamy wspólny czynnik, np. $\dfrac{3^{9}+3^{10}}{3^{9}}=1+3=4$ .

Jak sprowadzić potęgi do wspólnej podstawy?

Zapisz liczby jako potęgi tej samej liczby: $4, 8, 16, 32$ jako potęgi $2$ , $9, 27, 81$ jako potęgi $3$ , $25, 125$ jako potęgi $5$ . Np. $\left(\tfrac{1}{8}\right)^{4}\cdot 4^{5}=2^{-12}\cdot 2^{10}=2^{-2}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Logarytmy Liczby rzeczywiste Monotoniczność potęgowania Liczby rzeczywiste Potęgowanie w sytuacjach praktycznych Liczby rzeczywiste Przedziały liczbowe Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna — równania Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę