Ciąg arytmetyczny — wzory, przykłady i zadania maturalne

Q: Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

aₙ=a₁+(n-1)r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r — różnica. Dla a₁=5 i r=4: a₁₀=5+9·4=41.

Q: Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?

Ze wzoru Sₙ=(a₁+aₙ)/2· n albo, gdy nie znamy aₙ, Sₙ=(2a₁+(n-1)r)/2· n. Dla a₁=4 i r=3: a₂₀=61, więc S₂₀=(4+61)/2·20=650.

Q: Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Odejmujemy od wyrazu poprzedni: r=a₂-a₁. Gdy dane są dwa odległe wyrazy, dzielimy zmianę wartości przez liczbę kroków: dla a₂=8 i a₈=-10 mamy r=(-18)/6=-3.

Q: Jaki warunek spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego?

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów: 2b=a+c. Dla ciągu (3x, 8, x+4): 2·8=3x+x+4, więc x=3.

Q: Kiedy ciąg arytmetyczny jest rosnący, a kiedy malejący?

Gdy r>0, ciąg jest rosnący, gdy r<0 — malejący, a gdy r=0 — stały. Na przykład ciąg (9,8,7) ma r=-1, więc jest malejący.

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$ : $a_n=a_1+(n-1)r$ . Suma $n$ początkowych wyrazów to $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ , a środkowy z trzech kolejnych wyrazów jest średnią sąsiadów.

Ciągi · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Wzór na n-ty wyraz $a_1$ — pierwszy wyraz, $r$ — różnica ciągu, $n$ — numer wyrazu: $a_n=a_1+(n-1)r$
Suma n początkowych wyrazów $a_n$ — ostatni z sumowanych wyrazów; drugą postać stosujemy, gdy nie znamy $a_n$: $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$
Trzy kolejne wyrazy $a$ , $b$ , $c$ — trzy kolejne wyrazy ciągu, $b$ — środkowy: $2b=a+c$

Ciąg arytmetyczny — wzór na n-ty wyraz i sumę

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$ : $a_n=a_1+(n-1)r$ . Suma $n$ początkowych wyrazów to $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$ , a środkowy z trzech kolejnych wyrazów jest średnią sąsiadów: $2b=a+c$ .

Przykłady: różnica, n-ty wyraz i suma ciągu

$a_1=5$ , $a_2=9$ : $r=4$ , więc $a_{10}=5+9\cdot4=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{41}}$ (od $a_1$ do $a_{10}$ jest $9$ kroków, nie $10$ ).
$a_2=8$ , $a_8=-10$ : $6$ kroków daje zmianę $-18$ , więc $r=\tfrac{-18}{6}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-3}}$ .
$a_1=4$ , $r=3$ : $a_{20}=4+19\cdot3=61$ , $S_{20}=\tfrac{4+61}{2}\cdot20=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{650}}$ .
$(3x,\ 8,\ x+4)$ arytmetyczny: $2\cdot8=3x+x+4$ , więc $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$ — ciąg $(9,8,7)$ jest malejący, bo $r=-1<0$ .

Ciąg arytmetyczny na maturze — który wzór wybrać

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $a_n$ , obie postacie $S_n$ i warunek $a_n=\tfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — zadanie polega na wyborze właściwego wzoru: gdy nie znasz $a_n$ , bierz $S_n$ z $r$ . Zadanie zamknięte za 1 pkt to zwykle dwa dane wyrazy i pytanie o $r$ lub inny wyraz — licz kroki jako różnicę numerów ( $k-m$ ), a różnica bywa ułamkiem. Zadania otwarte za 2–3 pkt to suma plus jeden wyraz (układ dwóch równań) albo trójka z parametrem (równanie kwadratowe i warunek „malejący” — sprawdź oba pierwiastki, jeden zwykle odpada).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Dowolny wyraz z pierwszego wyrazu i różnicy

Liczysz dowolny wyraz z aₙ = a₁ + (n − 1)·r, a gdy dane są a₁ i a₂, najpierw wyznaczasz r = a₂ − a₁; z danego wyrazu i r cofasz się do wcześniejszych.

Zadanie W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy $a_1 = -5$ oraz $a_2 = -1$ . Oblicz $a_{12}$ .

Wzór na wyraz wymaga różnicy, a tę daje para sąsiednich wyrazów: $r = a_2 - a_1 = -1 - (-5) = 4$ .
Od $a_1$ do $a_{12}$ jest $12 - 1 = 11$ kroków (nie $12$ ), więc $a_{12} = a_1 + 11r$ .
$a_{12} = -5 + 11 \cdot 4 = -5 + 44 = 39$ .

Odpowiedź: $a_{12} = 39$

Przykład 2 Różnica ciągu z dwóch danych wyrazów

Z dwóch wyrazów liczysz r = (aₖ − aₘ)/(k − m) — także ułamkowe — i przechodzisz do a₁ lub dowolnego innego wyrazu.

Zadanie W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy $a_4 = 10$ oraz $a_{13} = -8$ . Oblicz $a_{20}$ .

Między $a_4$ i $a_{13}$ jest $13 - 4 = 9$ kroków, a wartość zmienia się o $-8 - 10 = -18$ , więc jeden krok to $r = \frac{-18}{9} = -2$ .
Do $a_{20}$ najkrócej jest od $a_{13}$ : to $20 - 13 = 7$ kroków, więc $a_{20} = a_{13} + 7r$ (nie trzeba wracać do $a_1$ ).
$a_{20} = -8 + 7 \cdot (-2) = -8 - 14 = -22$ .

Odpowiedź: $a_{20} = -22$

Przykład 3 Suma n początkowych wyrazów

Liczysz Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n, a gdy aₙ nie jest dany, wyznaczasz go wcześniej z a₁ i r; dla liczb „od–do” najpierw ustalasz n.

Zadanie W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy $a_1 = 35$ oraz $a_2 = 31$ . Oblicz sumę $S_{20}$ dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu.

Wzór $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ wymaga $a_{20}$ , a do niego potrzebna jest różnica: $r = 31 - 35 = -4$ .
$a_{20} = a_1 + 19r = 35 + 19 \cdot (-4) = 35 - 76 = -41$ .
$S_{20} = \frac{35 + (-41)}{2} \cdot 20 = \frac{-6}{2} \cdot 20 = -3 \cdot 20 = -60$ (suma może wyjść ujemna — wyrazy od $a_{10}$ są ujemne).
Kontrola drugim wzorem: $S_{20} = \frac{2 \cdot 35 + 19 \cdot (-4)}{2} \cdot 20 = \frac{-6}{2} \cdot 20 = -60$ .

Odpowiedź: $S_{20} = -60$

Przykład 4 Pierwszy wyraz z warunku na sumę — spłata w ratach

Zapisujesz Sₙ przez a₁ i r (albo a₁ i aₙ), podstawiasz dane i rozwiązujesz równanie lub układ — tak wyznaczasz a₁, r, n albo brakujący wyraz.

Zadanie Pewną kwotę spłacono w $12$ ratach; każda kolejna rata była większa od poprzedniej o $20$ zł. Łącznie spłacono $4920$ zł. Oblicz wysokość pierwszej raty.

Raty tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1$ to pierwsza rata, $r = 20$ , $n = 12$ , a suma $S_{12} = 4920$ — szukam $a_1$ .
Nie znam ostatniej raty, więc biorę wzór z różnicą: $S_{12} = \frac{2a_1 + 11r}{2} \cdot 12 = 6 \cdot (2a_1 + 11 \cdot 20) = 6(2a_1 + 220)$ .
Równanie: $6(2a_1 + 220) = 4920$ , czyli $2a_1 + 220 = 820$ , więc $2a_1 = 600$ .
$a_1 = 300$ zł. Sprawdzenie: ostatnia rata $300 + 11 \cdot 20 = 520$ , średnia $\frac{300 + 520}{2} = 410$ , a $410 \cdot 12 = 4920$ .

Odpowiedź: Pierwsza rata: $300$ zł

Przykład 5 Trzy kolejne wyrazy z niewiadomą: średnia sąsiadów

Dla arytmetycznej trójki (a, b, c) zapisujesz 2b = a + c, rozwiązujesz równanie liniowe i sprawdzasz po znaku r, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Zadanie Trzywyrazowy ciąg $(3x - 1,\ 7,\ x + 3)$ jest arytmetyczny. Wyznacz $x$ i rozstrzygnij, czy ten ciąg jest rosnący, czy malejący.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią sąsiadów, więc zamiast liczyć różnicę dwa razy piszę od razu: $2 \cdot 7 = (3x - 1) + (x + 3)$ .
$14 = 4x + 2$ , stąd $4x = 12$ i $x = 3$ .
Podstawiam, żeby zobaczyć ciąg: $3 \cdot 3 - 1 = 8$ , $7$ , $3 + 3 = 6$ , czyli $(8, 7, 6)$ i $r = 7 - 8 = -1$ .
$r < 0$ , więc ciąg jest malejący.

Odpowiedź: $x = 3$ ; ciąg $(8, 7, 6)$ jest malejący ( $r = -1$ )

Przykład 6 Trzy wyrazy z parametrem — równanie kwadratowe

Z warunku 2b = a + c układasz równanie kwadratowe, znajdujesz oba pierwiastki i odrzucasz ten, który łamie dodatkowy warunek (ciąg malejący, rosnący, wyrazy dodatnie).

Zadanie Wyznacz wartość $m$ , dla której trzywyrazowy ciąg $(m^2 - 1,\ 2m + 7,\ m + 11)$ jest arytmetyczny i rosnący.

Warunek na ciąg arytmetyczny: $2(2m + 7) = (m^2 - 1) + (m + 11)$ .
$4m + 14 = m^2 + m + 10$ , więc po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę: $m^2 - 3m - 4 = 0$ .
$\Delta = 9 + 16 = 25$ , $\sqrt{\Delta} = 5$ , stąd $m = \frac{3 - 5}{2} = -1$ lub $m = \frac{3 + 5}{2} = 4$ .
Warunek „rosnący” każe sprawdzić oba: dla $m = 4$ ciąg to $(15, 15, 15)$ — stały, odpada; dla $m = -1$ ciąg to $(0, 5, 10)$ i $r = 5 > 0$ .
Zatem $m = -1$ .

Odpowiedź: $m = -1$

Najczęstsze błędy

Liczenie $n$ kroków zamiast $n-1$ : od $a_1$ do $a_{10}$ jest $9$ kroków, więc $a_{10}=a_1+9r$ .
Zła liczba kroków między dwoma wyrazami. Gdy dane są $a_k$ i $a_m$ , kroków jest $k-m$ , np. od $a_2$ do $a_8$ — $6$ , a różnica może wyjść ułamkiem.
Wzór $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ bez znajomości $a_n$ . Wtedy bierzemy postać z różnicą: $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$ .
Brak sprawdzenia obu pierwiastków w zadaniu z parametrem — jeden zwykle łamie warunek „rosnący” albo „malejący”.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy $a_1 = 9$ oraz $a_2 = 4$ . Wyraz $a_{15}$ jest równy

Zadanie 2

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy $a_1 = 3$ oraz $a_{13} = 11$ . Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa

Zadanie 3

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są $a_1 = 7$ oraz $r = 3$ . Suma $S_{15}$ piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 4

Czterowyrazowy ciąg $(3,\ a_2,\ a_3,\ a_4)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $42$ . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 5

Trzywyrazowy ciąg $(5,\ 2a + 1,\ a + 9)$ jest arytmetyczny. Liczba $a$ jest równa

Zadanie 6

Trzywyrazowy ciąg $(x^2,\ 3x + 1,\ x + 8)$ jest arytmetyczny. Wtedy

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 19

Trzywyrazowy ciąg $(1, 4, a + 5)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego Matemaks

Ciąg arytmetyczny — zadania maturalne MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

$a_n=a_1+(n-1)r$ , gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ — różnica. Dla $a_1=5$ i $r=4$ : $a_{10}=5+9\cdot4=41$ .

Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?

Ze wzoru $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ albo, gdy nie znamy $a_n$ , $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$ . Dla $a_1=4$ i $r=3$ : $a_{20}=61$ , więc $S_{20}=\tfrac{4+61}{2}\cdot20=650$ .

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Odejmujemy od wyrazu poprzedni: $r=a_2-a_1$ . Gdy dane są dwa odległe wyrazy, dzielimy zmianę wartości przez liczbę kroków: dla $a_2=8$ i $a_8=-10$ mamy $r=\tfrac{-18}{6}=-3$ .

Jaki warunek spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego?

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów: $2b=a+c$ . Dla ciągu $(3x,\ 8,\ x+4)$ : $2\cdot8=3x+x+4$ , więc $x=3$ .

Kiedy ciąg arytmetyczny jest rosnący, a kiedy malejący?

Gdy $r>0$ , ciąg jest rosnący, gdy $r<0$ — malejący, a gdy $r=0$ — stały. Na przykład ciąg $(9,8,7)$ ma $r=-1$ , więc jest malejący.

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Monotoniczność ciągu Ciągi Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi Własności ciągów w zastosowaniach Ciągi Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę