Ciągi określone rekurencyjnie — jak obliczyć wyrazy krok po kroku

Q: Co to jest ciąg rekurencyjny?

To ciąg określony wyrazem początkowym a₁ i regułą, jak z wyrazu aₙ obliczyć następny aₙ₊₁. Kolejnych wyrazów nie odczytuje się od razu — liczy się je po kolei od a₁.

Q: Jak obliczyć wyrazy ciągu rekurencyjnego?

Podstawiamy do reguły poprzedni wyraz, zaczynając od a₁. Dla a₁ = 2 i aₙ₊₁ = 2aₙ - 1: a₂ = 2· 2 - 1 = 3, a₃ = 5, a₄ = 2· 5 - 1 = 9.

Q: Jak obliczyć pierwszy wyraz ciągu rekurencyjnego, gdy znam dalszy wyraz?

Cofamy się równaniami. Dla aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 i a₃ = 10: z 10 = 3a₂ - 2 wychodzi a₂ = 4, a z 4 = 3a₁ - 2 — a₁ = 2.

Q: Kiedy ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny lub geometryczny?

Gdy reguła ma postać aₙ₊₁ = aₙ + r, ciąg jest arytmetyczny, a gdy aₙ₊₁ = q· aₙ — geometryczny. Wtedy dalsze wyrazy można policzyć wzorami z karty wzorów CKE.

Wzór rekurencyjny podaje wyraz początkowy $a_1$ i regułę, jak z wyrazu $a_n$ obliczyć następny $a_{n+1}$ . Wyrazy liczy się po kolei od $a_1$ : dla $a_1 = 2$ i $a_{n+1} = 2a_n - 1$ wychodzi $a_2 = 3$ , $a_3 = 5$ , $a_4 = 9$ .

Ciągi · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Reguła ciągu arytmetycznego $r$ — stała różnica; dalsze wyrazy można liczyć wzorem na $n$ -ty wyraz: $a_{n+1} = a_n + r$
Reguła ciągu geometrycznego $q$ — stały iloraz: $a_{n+1} = q\cdot a_n$

Co to jest wzór rekurencyjny ciągu

Wzór rekurencyjny to przepis „krok po kroku”: dostajesz wyraz początkowy $a_1$ i regułę, jak z wyrazu $a_n$ zrobić następny $a_{n+1}$ . Kolejnych wyrazów nie odczytasz od razu — liczysz je po kolei od $a_1$ , a gdy dany jest dalszy wyraz, cofasz się równaniami aż do $a_1$ .

Jak obliczyć kolejne wyrazy ciągu rekurencyjnego

Reguła liniowa: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 2a_n - 1$ . Wtedy $a_2 = 2\cdot 2 - 1 = 3$ , $a_3 = 2\cdot 3 - 1 = 5$ , $a_4 = 2\cdot 5 - 1 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}$ .

Reguła z numerem n — co podstawić

Reguła z numerem $n$ : $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2n$ . Do $a_2$ podstawiasz $n = 1$ (bo $a_{1+1} = a_2$ ): $a_2 = 1 + 2\cdot 1 = 3$ , a do $a_3$ podstawiasz $n = 2$ : $a_3 = 3 + 2\cdot 2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$ .

Jak obliczyć pierwszy wyraz z dalszego wyrazu

Wstecz: $a_{n+1} = 3a_n - 2$ i $a_3 = 10$ . Z $10 = 3a_2 - 2$ dostajesz $a_2 = 4$ , z $4 = 3a_1 - 2$ dostajesz $a_1 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .

Ciągi rekurencyjne na maturze

Na maturze: zadanie zamknięte za 1 pkt brzmi „Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = \ldots$ , $a_{n+1} = \ldots$ dla $n \geq 1$ . Piąty wyraz ciągu jest równy…” — liczysz $a_2, a_3, a_4, a_5$ i nic więcej. Karta wzorów CKE nie zawiera nic o rekurencji; jeśli reguła to $a_{n+1} = a_n + r$ albo $a_{n+1} = q\cdot a_n$ , możesz skrócić rachunek wzorami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego z karty. Pułapka: od $a_1$ do $a_5$ to cztery zastosowania reguły, nie pięć, a ujemny wyraz podstawiaj w nawiasie: $2\cdot(-5) + 1$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kolejne wyrazy z reguły liniowej

Liczysz wyraz po wyrazie od a₁, podstawiając poprzedni wyraz do reguły typu aₙ₊₁ = 2aₙ − 3, także z liczbami ujemnymi i ułamkami.

Zadanie Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = -3$ oraz $a_{n+1} = 3a_n + 4$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Reguła $a_{n+1} = 3a_n + 4$ mówi: następny wyraz to trzy razy poprzedni plus 4. Żeby dojść do $a_4$ , muszę po kolei policzyć $a_2$ i $a_3$ — żadnego wyrazu nie da się przeskoczyć.
Dla $n = 1$ : $a_2 = 3a_1 + 4 = 3\cdot(-3) + 4 = -9 + 4 = -5$ . Ujemny wyraz podstawiam w nawiasie, żeby nie zgubić znaku.
Dla $n = 2$ : $a_3 = 3a_2 + 4 = 3\cdot(-5) + 4 = -15 + 4 = -11$ .
Dla $n = 3$ : $a_4 = 3a_3 + 4 = 3\cdot(-11) + 4 = -33 + 4 = -29$ .

Odpowiedź: $a_4 = -29$

Przykład 2 Kolejne wyrazy z reguły z numerem n

Liczysz wyrazy z reguły, w której występuje numer n (np. aₙ₊₁ = aₙ + 2n, aₙ₊₁ = n·aₙ) albo dwa poprzednie wyrazy, pilnując, jaką liczbę n podstawiasz w każdym kroku.

Zadanie Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = 3$ oraz $a_{n+1} = a_n + 2n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

W regule oprócz $a_n$ stoi $n$ — numer wyrazu, od którego przechodzę do następnego. Licząc $a_2$ podstawiam $n = 1$ (bo $a_{1+1} = a_2$ ), licząc $a_3$ podstawiam $n = 2$ , a licząc $a_4$ podstawiam $n = 3$ .
Dla $n = 1$ : $a_2 = a_1 + 2\cdot 1 - 1 = 3 + 1 = 4$ .
Dla $n = 2$ : $a_3 = a_2 + 2\cdot 2 - 1 = 4 + 3 = 7$ .
Dla $n = 3$ : $a_4 = a_3 + 2\cdot 3 - 1 = 7 + 5 = 12$ . Gdybym już przy $a_2$ podstawił $n = 2$ , każdy wyraz byłby za duży.

Odpowiedź: $a_4 = 12$

Przykład 3 Pierwszy wyraz z danego dalszego wyrazu

Znając regułę i np. a₄, cofasz się wyraz po wyrazie — z równania aₖ₊₁ = f(aₖ) wyznaczasz aₖ — aż dojdziesz do a₁ albo do parametru w regule.

Zadanie Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_{n+1} = 2a_n - 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Wiadomo, że $a_3 = 13$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Znam $a_3$ , a szukam $a_1$ — muszę cofnąć się o dwa wyrazy. Reguła wiąże sąsiednie wyrazy, więc z $a_3$ wyznaczę $a_2$ , a z $a_2$ wyznaczę $a_1$ ; za każdym razem rozwiązuję równanie z jedną niewiadomą.
Dla $n = 2$ : $a_3 = 2a_2 - 5$ , czyli $13 = 2a_2 - 5$ . Stąd $2a_2 = 18$ , $a_2 = 9$ .
Dla $n = 1$ : $a_2 = 2a_1 - 5$ , czyli $9 = 2a_1 - 5$ . Stąd $2a_1 = 14$ , $a_1 = 7$ .
Sprawdzenie w przód: $a_1 = 7$ , $a_2 = 2\cdot 7 - 5 = 9$ , $a_3 = 2\cdot 9 - 5 = 13$ . Zgadza się.

Odpowiedź: $a_1 = 7$

Najczęstsze błędy

Zła liczba kroków: od $a_1$ do $a_5$ są cztery zastosowania reguły, nie pięć.
Ujemny wyraz podstawiony bez nawiasu. Piszemy $2\cdot(-5) + 1$ , żeby nie zgubić znaku.
Złe $n$ w regule z numerem: licząc $a_2$ , podstawiamy $n = 1$ (bo $a_{1+1} = a_2$ ), licząc $a_3$ — $n = 2$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = -4$ oraz $a_{n+1} = a_n + 7$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Zadanie 2

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = -1$ oraz $a_{n+1} = a_n + 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Zadanie 3

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_{n+1} = 2a_n + 3$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $25$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 16

Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n+1} = 2a_{n} + 1 & \text{dla każdej liczby naturalnej } n \geq 1 \end{cases}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Ciąg określony rekurencyjnie — zadanie Matemaks

Czym jest wzór rekurencyjny ciągu + zadanie maturalne A po co MI ta MATMA?

Najczęstsze pytania

Co to jest ciąg rekurencyjny?

To ciąg określony wyrazem początkowym $a_1$ i regułą, jak z wyrazu $a_n$ obliczyć następny $a_{n+1}$ . Kolejnych wyrazów nie odczytuje się od razu — liczy się je po kolei od $a_1$ .

Jak obliczyć wyrazy ciągu rekurencyjnego?

Podstawiamy do reguły poprzedni wyraz, zaczynając od $a_1$ . Dla $a_1 = 2$ i $a_{n+1} = 2a_n - 1$ : $a_2 = 2\cdot 2 - 1 = 3$ , $a_3 = 5$ , $a_4 = 2\cdot 5 - 1 = 9$ .

Jak obliczyć pierwszy wyraz ciągu rekurencyjnego, gdy znam dalszy wyraz?

Cofamy się równaniami. Dla $a_{n+1} = 3a_n - 2$ i $a_3 = 10$ : z $10 = 3a_2 - 2$ wychodzi $a_2 = 4$ , a z $4 = 3a_1 - 2$ — $a_1 = 2$ .

Jak liczyć wyrazy, gdy w regule występuje n?

W każdym kroku podstawiamy numer wyrazu, od którego przechodzimy dalej. Dla $a_1 = 1$ i $a_{n+1} = a_n + 2n$ : $a_2 = 1 + 2\cdot 1 = 3$ , $a_3 = 3 + 2\cdot 2 = 7$ .

Kiedy ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny lub geometryczny?

Gdy reguła ma postać $a_{n+1} = a_n + r$ , ciąg jest arytmetyczny, a gdy $a_{n+1} = q\cdot a_n$ — geometryczny. Wtedy dalsze wyrazy można policzyć wzorami z karty wzorów CKE.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Monotoniczność ciągu Ciągi Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi Własności ciągów w zastosowaniach Ciągi Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę