Ciągi określone rekurencyjnie — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wzór rekurencyjny to przepis „krok po kroku”: dostajesz wyraz początkowy $a_1$ i regułę, jak z wyrazu $a_n$ zrobić następny $a_{n+1}$. Kolejnych wyrazów nie odczytasz od razu — liczysz je po kolei od $a_1$, a gdy dany jest dalszy wyraz, cofasz się równaniami aż do $a_1$.

Reguła liniowa: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$. Wtedy $a_2 = 2\cdot 2 - 1 = 3$, $a_3 = 2\cdot 3 - 1 = 5$, $a_4 = 2\cdot 5 - 1 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}$.

Reguła z numerem $n$: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n$. Do $a_2$ podstawiasz $n = 1$ (bo $a_{1+1} = a_2$): $a_2 = 1 + 2\cdot 1 = 3$, a do $a_3$ podstawiasz $n = 2$: $a_3 = 3 + 2\cdot 2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$.

Wstecz: $a_{n+1} = 3a_n - 2$ i $a_3 = 10$. Z $10 = 3a_2 - 2$ dostajesz $a_2 = 4$, z $4 = 3a_1 - 2$ dostajesz $a_1 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$.

Na maturze: zadanie zamknięte za 1 pkt brzmi „Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = \ldots$, $a_{n+1} = \ldots$ dla $n \geq 1$. Piąty wyraz ciągu jest równy…” — liczysz $a_2, a_3, a_4, a_5$ i nic więcej. Karta wzorów CKE nie zawiera nic o rekurencji; jeśli reguła to $a_{n+1} = a_n + r$ albo $a_{n+1} = q\cdot a_n$, możesz skrócić rachunek wzorami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego z karty. Pułapka: od $a_1$ do $a_5$ to cztery zastosowania reguły, nie pięć, a ujemny wyraz podstawiaj w nawiasie: $2\cdot(-5) + 1$.