Równanie okręgu — wytłumaczenie, wzór i zadania

Okrąg o środku $S=(\textcolor{#0284c7}{a},\textcolor{#0284c7}{b})$ i promieniu $\textcolor{#d97706}{r}$ ma równanie $(x-\textcolor{#0284c7}{a})^2+(y-\textcolor{#0284c7}{b})^2=\textcolor{#d97706}{r}^2$: współrzędne środka wchodzą do nawiasów ze znakami przeciwnymi, a po prawej stronie stoi kwadrat promienia. Każde zadanie z okręgiem sprowadza się do trzech ruchów: odczytać $S$ i $r$, znaleźć brakujące $r^2$ jako kwadrat odległości, podstawić punkt.

• $S=(2,-3)$, $r=4$: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(x-2)^2+(y+3)^2=16}}$
• $(x+1)^2+(y-5)^2=7$: środek $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,5)}}$, promień $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt7}}$ (nie $7$)
• środek $S=(1,2)$, punkt $P=(4,6)$ na okręgu: $r^2=|SP|^2=3^2+4^2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{25}}$
• średnica $AB$, $A=(-1,0)$, $B=(3,4)$: $S=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(1,2)}}$, $r^2=|SA|^2=4+4=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$
• czy $(3,0)$ leży na $(x-1)^2+(y+2)^2=8$? $2^2+2^2=8$ — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{tak}}$

Na maturze: równanie okręgu jest na karcie wzorów — pilnuj znaków w nawiasach i tego, że po prawej stronie jest $r^2$ (typowa pułapka w zadaniach P/F: „promień jest równy $5$”, gdy równanie kończy się $=5$). Gdy dana jest średnica albo środek i punkt, nie pierwiastkuj — do równania wystarczy $r^2$. O liczbie punktów wspólnych z osią decyduje porównanie odległości środka od osi ($|b|$ dla $Ox$, $|a|$ dla $Oy$) z promieniem, a środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej.