Równanie okręgu — wzór, środek i promień, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na równanie okręgu?

(x-a)²+(y-b)²=r², gdzie (a,b) to środek okręgu, a r — promień. Dla S=(2,-3) i r=4: (x-2)²+(y+3)²=16.

Q: Jak odczytać środek i promień okręgu z równania?

Środek ma współrzędne o znakach przeciwnych niż w nawiasach, a promień to pierwiastek z prawej strony. Z (x+1)²+(y-5)²=7: środek (-1,5), promień √7.

Q: Jak wyznaczyć równanie okręgu, gdy dana jest średnica?

Środek okręgu to środek średnicy, a r² to kwadrat odległości środka od końca średnicy. Dla A=(-1,0) i B=(3,4): S=(1,2), r²=8, więc (x-1)²+(y-2)²=8.

Q: Jak wyznaczyć równanie okręgu ze środka i punktu?

Liczymy r²=|SP|² z różnic współrzędnych: dla S=(1,2) i P=(4,6) mamy r²=3²+4²=25, więc równanie to (x-1)²+(y-2)²=25.

Q: Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?

Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy wynik z r². Punkt (3,0) leży na okręgu (x-1)²+(y+2)²=8, bo 2²+2²=8.

Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ : współrzędne środka wchodzą do nawiasów ze znakami przeciwnymi, a po prawej stronie stoi kwadrat promienia.

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Równanie okręgu $S=(a,b)$ — środek okręgu, $r$ — promień: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Kwadrat promienia ze środka i punktu na okręgu $S$ — środek, $P$ — punkt leżący na okręgu; do równania wystarczy $r^2$ , bez pierwiastkowania: $r^2=|SP|^2$

Wzór na równanie okręgu

Okrąg o środku $S=(\textcolor{#0284c7}{a},\textcolor{#0284c7}{b})$ i promieniu $\textcolor{#d97706}{r}$ ma równanie $(x-\textcolor{#0284c7}{a})^2+(y-\textcolor{#0284c7}{b})^2=\textcolor{#d97706}{r}^2$ : współrzędne środka wchodzą do nawiasów ze znakami przeciwnymi, a po prawej stronie stoi kwadrat promienia. Każde zadanie z okręgiem sprowadza się do trzech ruchów: odczytać $S$ i $r$ , znaleźć brakujące $r^2$ jako kwadrat odległości, podstawić punkt.

Jak wyznaczyć równanie okręgu — przykłady

$S=(2,-3)$ , $r=4$ : $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(x-2)^2+(y+3)^2=16}}$
$(x+1)^2+(y-5)^2=7$ : środek $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,5)}}$ , promień $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt7}}$ (nie $7$ )
środek $S=(1,2)$ , punkt $P=(4,6)$ na okręgu: $r^2=|SP|^2=3^2+4^2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{25}}$
średnica $AB$ , $A=(-1,0)$ , $B=(3,4)$ : $S=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(1,2)}}$ , $r^2=|SA|^2=4+4=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$
czy $(3,0)$ leży na $(x-1)^2+(y+2)^2=8$ ? $2^2+2^2=8$ — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{tak}}$

Równanie okręgu na maturze — pułapki

Na maturze: równanie okręgu jest na karcie wzorów — pilnuj znaków w nawiasach i tego, że po prawej stronie jest $r^2$ (typowa pułapka w zadaniach P/F: „promień jest równy $5$ ”, gdy równanie kończy się $=5$ ). Gdy dana jest średnica albo środek i punkt, nie pierwiastkuj — do równania wystarczy $r^2$ . O liczbie punktów wspólnych z osią decyduje porównanie odległości środka od osi ( $|b|$ dla $Ox$ , $|a|$ dla $Oy$ ) z promieniem, a środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Równanie okręgu ze środka i promienia

Podstawiasz środek (a, b) ze znakami przeciwnymi i kwadrat promienia r^{do potęgi 2} do wzoru (x − a)^{do potęgi 2} + (y − b)^{do potęgi 2} = r^{do potęgi 2}.

Zadanie Okrąg $\mathcal{O}$ ma środek $S=(-4,1)$ i promień $3$ . Zapisz równanie okręgu $\mathcal{O}$ .

Wzór $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ wymaga środka $(a,b)$ i promienia: $a=-4$ , $b=1$ , $r=3$ .
Współrzędne środka wchodzą ze znakiem przeciwnym: $a=-4$ daje $(x-(-4))^2=(x+4)^2$ , a $b=1$ daje $(y-1)^2$ .
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia, nie promień: $r^2=3^2=9$ .
Równanie: $(x+4)^2+(y-1)^2=9$ .

Odpowiedź: $(x+4)^2+(y-1)^2=9$

Przykład 2 Środek i promień okręgu z równania

Z równania (x − a)^{do potęgi 2} + (y − b)^{do potęgi 2} = r^{do potęgi 2} odczytujesz środek (a, b) ze znakami przeciwnymi i promień r = $\sqrt{prawa strona}$ , także gdy nie jest ona kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x+3)^2+(y-1)^2=18$ . Podaj środek i promień okręgu $\mathcal{O}$ .

Porównuję z $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ : $(x+3)=(x-(-3))$ , więc $a=-3$ ; $(y-1)$ daje $b=1$ . Środek $S=(-3,1)$ .
Prawa strona to $r^2=18$ , więc $r=\sqrt{18}$ — nie $18$ .
Upraszczam pierwiastek: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$ .
Środek $S=(-3,1)$ , promień $r=3\sqrt2$ .

Odpowiedź: $S=(-3,1)$ , $r=3\sqrt2$

Przykład 3 Równanie okręgu ze średnicy

Środek okręgu to środek średnicy AB, a r^{do potęgi 2} to kwadrat odległości środka od A — bez pierwiastkowania.

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(-2,5)$ i $B=(4,-3)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$ . Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$ .

Środek okręgu to środek średnicy: $S=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{5+(-3)}{2}\right)=(1,1)$ .
Promień to odległość $S$ od $A$ , ale do równania potrzebny jest tylko $r^2$ : $r^2=|SA|^2=(-2-1)^2+(5-1)^2=9+16=25$ .
Sprawdzenie inną drogą: $|AB|^2=6^2+8^2=100$ , więc $r^2=\frac{100}{4}=25$ — zgadza się.
Równanie: $(x-1)^2+(y-1)^2=25$ .

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-1)^2=25$

Przykład 4 Równanie okręgu ze środka i punktu na okręgu

Gdy znasz środek S i punkt P na okręgu, liczysz r^{do potęgi 2} = |SP|^{do potęgi 2} z różnic współrzędnych i od razu wstawiasz je do równania.

Zadanie Okrąg $\mathcal{O}$ o środku $S=(3,-2)$ przechodzi przez punkt $P=(1,1)$ . Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$ .

Środek jest dany, brakuje promienia. Promień to odległość $|SP|$ , ale w równaniu potrzebny jest tylko $r^2$ — pierwiastkowanie jest zbędne.
$r^2=|SP|^2=(1-3)^2+(1-(-2))^2=(-2)^2+3^2=4+9=13$ .
Podstawiam $a=3$ , $b=-2$ ze znakami przeciwnymi i $r^2=13$ : $(x-3)^2+(y+2)^2=13$ .
Sprawdzenie: dla $P=(1,1)$ lewa strona to $(1-3)^2+(1+2)^2=4+9=13$ — punkt spełnia równanie.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y+2)^2=13$

Przykład 5 Czy punkt leży na okręgu

Podstawiasz współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujesz wynik z r^{do potęgi 2}: równe — punkt leży na okręgu, inne — nie.

Zadanie Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ : $(x+2)^2+(y-1)^2=25$ oraz punkty $A=(1,5)$ i $B=(3,-1)$ . Który z tych punktów leży na okręgu $\mathcal{O}$ ?

Punkt leży na okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie — podstawiam je do lewej strony i porównuję z $r^2=25$ .
Dla $A=(1,5)$ : $(1+2)^2+(5-1)^2=9+16=25$ — równe $25$ , więc $A$ leży na okręgu.
Dla $B=(3,-1)$ : $(3+2)^2+(-1-1)^2=25+4=29\neq25$ — $B$ nie leży na okręgu ( $29>25$ , więc $B$ jest na zewnątrz koła).
Na okręgu leży tylko punkt $A$ .

Odpowiedź: tylko $A$

Przykład 6 Punkty wspólne okręgu z osiami układu

Porównujesz odległość środka od osi (|b| dla Ox, |a| dla Oy) z promieniem: mniejsza — 2 punkty wspólne, równa — styczność, większa — brak.

Zadanie Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ : $(x-3)^2+(y+2)^2=9$ . Ile punktów wspólnych ma okrąg $\mathcal{O}$ z osią $Ox$ , a ile z osią $Oy$ ?

Odczytuję środek $S=(3,-2)$ i promień $r=\sqrt9=3$ .
Odległość środka od osi $Ox$ to $|b|=|-2|=2$ . Ponieważ $2<3=r$ , oś $Ox$ przecina okrąg w dwóch punktach.
Odległość środka od osi $Oy$ to $|a|=3$ . Ponieważ $3=r$ , okrąg jest styczny do osi $Oy$ — dokładnie jeden punkt wspólny, $(0,-2)$ .
Z osią $Ox$ : 2 punkty wspólne, z osią $Oy$ : 1 punkt wspólny.

Odpowiedź: $Ox$ : 2 punkty, $Oy$ : 1 punkt (styczność)

Najczęstsze błędy

Promień równy prawej stronie równania: z $(x+1)^2+(y-5)^2=7$ wychodzi $r=\sqrt7$ , nie $7$ .
Złe znaki środka. Współrzędne środka wchodzą do nawiasów ze znakami przeciwnymi: $(x+1)^2$ oznacza pierwszą współrzędną $-1$ .
Wpisanie $r$ zamiast $r^2$ po prawej stronie: okrąg o promieniu $3$ ma po prawej stronie $9$ .
Niepotrzebne pierwiastkowanie. Gdy dana jest średnica albo środek i punkt, do równania wystarczy $r^2$ policzone jako kwadrat odległości.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku $S=(-2,5)$ i promieniu $4$ . Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Zadanie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x+2)^2+(y-6)^2=13$ . Promień okręgu $\mathcal{O}$ jest równy

Zadanie 3

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(2,-3)$ oraz $B=(8,5)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$ . Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Zadanie 4

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(1,-1)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(-3,1)$ . Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Zadanie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x+3)^2+(y-4)^2=10$ . Do okręgu $\mathcal{O}$ należy punkt

Zadanie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x+4)^2+(y-1)^2=16$ . Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 28

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku $S = (-1, 2)$ i promieniu $3$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Równanie okręgu — wyznaczanie środka Matemaks

Równanie okręgu — geometria analityczna Matfix

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na równanie okręgu?

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , gdzie $(a,b)$ to środek okręgu, a $r$ — promień. Dla $S=(2,-3)$ i $r=4$ : $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ .

Jak odczytać środek i promień okręgu z równania?

Środek ma współrzędne o znakach przeciwnych niż w nawiasach, a promień to pierwiastek z prawej strony. Z $(x+1)^2+(y-5)^2=7$ : środek $(-1,5)$ , promień $\sqrt7$ .

Jak wyznaczyć równanie okręgu, gdy dana jest średnica?

Środek okręgu to środek średnicy, a $r^2$ to kwadrat odległości środka od końca średnicy. Dla $A=(-1,0)$ i $B=(3,4)$ : $S=(1,2)$ , $r^2=8$ , więc $(x-1)^2+(y-2)^2=8$ .

Jak wyznaczyć równanie okręgu ze środka i punktu?

Liczymy $r^2=|SP|^2$ z różnic współrzędnych: dla $S=(1,2)$ i $P=(4,6)$ mamy $r^2=3^2+4^2=25$ , więc równanie to $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ .

Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?

Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy wynik z $r^2$ . Punkt $(3,0)$ leży na okręgu $(x-1)^2+(y+2)^2=8$ , bo $2^2+2^2=8$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Symetrie w układzie współrzędnych Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Odległość punktów w układzie współrzędnych Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Równania prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę