Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie — wytłumaczenie, wzór i zadania

Położenie dwóch prostych odczytujesz ze współczynników kierunkowych $a_1$, $a_2$ (liczby przy $x$ w postaci $y = ax + b$; postać $Ax + By + C = 0$ najpierw przekształć): równoległe, gdy $a_1 = a_2$ (a przy równych wyrazach wolnych — pokrywają się), prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$, w pozostałych przypadkach przecinają się w jednym punkcie, który znajdujesz z układu ich równań.

• $y = \tfrac{2}{3}x + 1$ i $y = -\tfrac{3}{2}x + 4$: $\tfrac{2}{3}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}$ — prostopadłe
• $2x - 4y + 1 = 0$ to $y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}$, więc jest równoległa do $y = \tfrac{1}{2}x - 3$: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{a_1 = a_2 = \tfrac{1}{2}}}$
• $y = (m - 4)x + 1$ równoległa do $y = 3x$: $m - 4 = 3 \Rightarrow \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{m = 7}}$; prostopadła: $3(m - 4) = -1 \Rightarrow \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{m = \tfrac{11}{3}}}$
• $y = 3x - 2$ i $y = -x + 6$: $3x - 2 = -x + 6 \Rightarrow x = 2$, punkt wspólny $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2, 4)}}$

Na maturze: warunki $a_1 = a_2$ i $a_1 \cdot a_2 = -1$ są na karcie wzorów CKE, ale zadanie z parametrem („proste są równoległe, gdy $m$ jest równe…”) pojawia się niemal co roku — ułóż równanie na współczynnikach kierunkowych i pilnuj znaku przy $m$; wyrazy wolne w tym równaniu nie występują. „Wykresy nie mają punktów wspólnych” znaczy: proste równoległe i różne. W zadaniach otwartych o równoległoboku wierzchołek to punkt wspólny prostych zawierających jego boki, brakującą prostą prowadzisz równolegle przez znany wierzchołek, a przekątne dzielą się na połowy.