Dowody geometryczne (2 LO) — wytłumaczenie, wzór i zadania

Dowód geometryczny to łańcuch kilku pewnych faktów: suma kątów trójkąta to $180^\circ$, kąt zewnętrzny trójkąta równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych, w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, przy prostych równoległych kąty naprzemianległe są równe, dwa trójkąty o trzech odpowiednio równych elementach są przystające (BBB, BKB, KBK), a w okręgu promienie są równe i kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Kąt zewnętrzny: w trójkącie o kątach $\alpha$ i $2\alpha$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma miarę $\alpha + 2\alpha = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\alpha}}$.

Trójkąt równoramienny: gdy $|AC| = |BC|$ i $\angle ACB = 180^\circ - 2\alpha$, to $\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\alpha}}$.

Okrąg: gdy $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$, to $M$ jest środkiem okręgu opisanego i $|MA| = |MB| = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{|MC|}}$ — trójkąty $AMC$ i $BMC$ są równoramienne.

Przystawanie: gdy w trójkącie równobocznym $ABC$ punkty $D \in AB$ i $E \in BC$ spełniają $|AD| = |BE|$, to $\triangle ADC \equiv \triangle BEA$ (BKB: $|AD| = |BE|$, $\angle A = \angle B = 60^\circ$, $|AC| = |BA|$), więc $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{|CD| = |AE|}}$.

Na maturze: dowód geometryczny to zadanie otwarte za 2 pkt typu „wykaż, że…”. Oznacz jeden kąt przez $\alpha$ i zapisuj każdy kolejny kąt z uzasadnieniem (skąd równość: równe ramiona, kąt zewnętrzny, proste równoległe, promienie), aż obie strony tezy będą wyrażone przez $\alpha$. Karta wzorów CKE nie zawiera cech przystawania ani twierdzeń o kątach — trzeba je znać. Typowa pułapka: powołanie się na tezę (np. „bo trójkąt jest równoramienny”), zanim została udowodniona.