Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym — wzór, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo klasyczne?

P(A)=|A|/|Ω|, gdzie |A| to liczba wyników sprzyjających, a |Ω| — liczba wszystkich jednakowo możliwych wyników. Ze zbioru {1,…,20} liczbę podzielną przez 4 losujemy z prawdopodobieństwem 5/20=1/4.

Q: Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy dwóch rzutach kostką?

Wszystkich wyników jest |Ω|=6· 6=36. Sumę 10 dają pary (4,6), (5,5), (6,4), więc P=3/36=1/12.

Q: Ile wynosi |Ω| przy losowaniu bez zwracania?

Przy losowaniu kolejno dwóch elementów z n bez zwracania |Ω|=n(n-1). Dla zbioru {1,2,3,4} jest to 4· 3=12, a obie liczby parzyste dają tylko (2,4) i (4,2), więc P=2/12=1/6.

Q: Jak obliczyć liczbę kul, gdy znam prawdopodobieństwo?

Zapisujemy model klasyczny jako równanie: jeśli P(czarna)=2/5, a czarnych kul jest 8, to 8/n=2/5, więc wszystkich kul jest n=20.

Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym to $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo możliwych wyników. Z urny z $5$ kulami białymi i $3$ czarnymi kulę białą losujemy z prawdopodobieństwem $\tfrac{5}{8}$ .

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Prawdopodobieństwo klasyczne $|A|$ — liczba wyników sprzyjających, $|\Omega|$ — liczba wszystkich jednakowo możliwych wyników: $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$
Dwa losowania ze zwracaniem lub z dwóch zbiorów $|\Omega|$ , gdy pierwsze losowanie ma $n$ wyników, a drugie $m$: $n\cdot m$
Dwa losowania bez zwracania $|\Omega|$ przy losowaniu kolejno dwóch elementów ze zbioru $n$ -elementowego: $n(n-1)$

Wzór na prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym to $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo możliwych wyników. Cała praca to poprawne policzenie obu liczb, zwłaszcza gdy losujemy dwa razy.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo — przykłady

Urna: $5$ kul białych i $3$ czarne, losujemy jedną. $|\Omega|=8$ , sprzyja $5$ : $P(\text{biała})=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{5}{8}}}$ .
Ze zbioru $\{1,\dots,20\}$ liczba podzielna przez $4$ : $20:4=5$ sprzyjających, $P=\tfrac{5}{20}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{1}{4}}}$ .
Dwa rzuty kostką: $|\Omega|=6\cdot 6=36$ ; sumę $10$ dają pary $(4,6),(5,5),(6,4)$ , więc $P=\tfrac{3}{36}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{1}{12}}}$ .
Dwie liczby ze zbioru $\{1,2,3,4\}$ bez zwracania: $|\Omega|=4\cdot 3=12$ ; obie parzyste to $(2,4)$ i $(4,2)$ , $P=\tfrac{2}{12}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{1}{6}}}$ .
Z prawdopodobieństwa do liczności: jeśli $P(\text{czarna})=\tfrac{2}{5}$ , a czarnych jest $8$ , to $\tfrac{8}{n}=\tfrac{2}{5}$ i $n=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$ kul.

Prawdopodobieństwo na maturze podstawowej — dwa losowania

Na maturze: zadanie otwarte za 2 pkt to prawie zawsze dwa losowania — najpierw zapisz $|\Omega|$ ( $n\cdot m$ przy losowaniu ze zwracaniem lub z dwóch zbiorów, $n(n-1)$ bez zwracania), potem wypisz pary sprzyjające tabelą albo przypadkami; $(2,5)$ i $(5,2)$ to dwa różne wyniki. Uważaj na nierówności ostre („większa od”) i na to, że bez zwracania pary $(k,k)$ nie istnieją. Wynik podaj jako ułamek nieskracalny — w schemacie oceniania punkt daje już poprawne $|\Omega|$ i $|A|$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli danego koloru

Liczysz wszystkie jednakowo możliwe wyniki, wyniki sprzyjające i dzielisz, skracając ułamek do postaci nieskracalnej.

Zadanie W pudełku jest $12$ kul: $5$ czerwonych, $4$ zielone i $3$ niebieskie. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula nie jest zielona.

Każdą kulę losuje się tak samo prawdopodobnie, więc $|\Omega|$ to liczba kul: $5+4+3=12$ .
Zdarzeniu „kula nie jest zielona” sprzyjają kule czerwone i niebieskie: $|A|=5+3=8$ (to samo co $12-4$ ).
$P(A)=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ — skracam, bo w takiej postaci podaje się wynik w arkuszu.

Odpowiedź: P(A) = 2/3

Przykład 2 Liczba podzielna przez 4 lub przez 5 — wyniki sprzyjające

Dla zbioru {1, 2, …, n} liczysz, ile liczb spełnia warunek (podzielność, liczby pierwsze, dwa warunki naraz albo „lub”), zamiast wypisywać wszystkie.

Zadanie Ze zbioru liczb naturalnych od $1$ do $30$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez $4$ lub przez $5$ .

$|\Omega|=30$ — każda liczba jest jednakowo prawdopodobna.
Podzielnych przez $4$ jest tyle, ile wielokrotności $4$ do $30$ : $30:4=7$ (reszta nieważna), czyli $4,8,\dots,28$ . Podzielnych przez $5$ : $30:5=6$ .
Liczbę podzielną przez obie (czyli przez $20$ ) — jest jedna, $20$ — policzyłbym dwa razy, więc ją odejmuję: $|A|=7+6-1=12$ .
$P(A)=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$ .

Odpowiedź: P(A) = 2/5

Przykład 3 Liczba kul z danego prawdopodobieństwa

Z prawdopodobieństwa zapisanego jako ułamek i znanej liczby wyników jednego rodzaju wyznaczasz liczbę wszystkich wyników albo pozostałych.

Zadanie W pudełku są wyłącznie kule zielone i żółte. Kul zielonych jest $14$ . Losujemy jedną kulę; prawdopodobieństwo wylosowania kuli żółtej jest równe $\dfrac{3}{10}$ . Ile kul żółtych jest w pudełku?

Są tylko dwa kolory, więc prawdopodobieństwo kuli zielonej to $1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$ — i właśnie o zielonych wiem, ile ich jest.
Oznaczam liczbę wszystkich kul przez $n$ i zapisuję model klasyczny: $\dfrac{14}{n}=\dfrac{7}{10}$ , stąd $7n=140$ , $n=20$ .
Żółtych jest $20-14=6$ . Sprawdzenie: $\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ .

Odpowiedź: 6 kul żółtych

Przykład 4 Dwa losowania z dwóch zbiorów — tabela par

c \ d	2	5	7
1	3	6	8
3	5	8	10
4	6	9	11
6	8	11	13

Sumy c + d — które są większe od 8?

Dla dwóch niezależnych losowań (dwa rzuty, ze zwracaniem, z dwóch zbiorów) liczysz |Ω| = n·m i zliczasz pary spełniające warunek na sumę albo porównanie.

Zadanie Dane są zbiory $C=\{1,3,4,6\}$ oraz $D=\{2,5,7\}$ . Losujemy jedną liczbę ze zbioru $C$ , a następnie jedną liczbę ze zbioru $D$ . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ : suma wylosowanych liczb jest większa od $8$ .

Losowania są niezależne, więc wynikiem jest uporządkowana para $(c,d)$ i $|\Omega|=4\cdot 3=12$ .
Sprawdzam pary wierszami według $c$ : dla $c=1$ największa suma to $1+7=8$ — nie jest większa od $8$ , zero par; dla $c=3$ tylko $(3,7)$ .
Dla $c=4$ : $(4,5)$ i $(4,7)$ ; dla $c=6$ : $(6,5)$ i $(6,7)$ — para $(6,2)$ daje dokładnie $8$ i odpada, bo nierówność jest ostra.
$|A|=0+1+2+2=5$ , więc $P(A)=\dfrac{5}{12}$ .

Odpowiedź: P(A) = 5/12

Przykład 5 Iloczyn wylosowanych liczb podzielny przez 10

·	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

Iloczyny w dwóch losowaniach — które dzielą się przez 10?

Warunek o podzielności lub znaku iloczynu albo o utworzonej liczbie dwucyfrowej rozbijasz na przypadki i zliczasz pary w tabeli n·m.

Zadanie Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ : iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $10$ .

Losowanie ze zwracaniem, więc $|\Omega|=6\cdot 6=36$ par uporządkowanych.
Iloczyn dzieli się przez $10$ , gdy zawiera czynnik $5$ i czynnik $2$ . Czynnik $5$ daje w tym zbiorze tylko liczba $5$ — więc jedna z wylosowanych liczb musi być piątką.
Druga liczba musi dać czynnik $2$ , czyli być parzysta: $2$ , $4$ lub $6$ . Para $(5,5)$ odpada, bo $25$ nie dzieli się przez $10$ .
Piątka może być pierwsza albo druga: $(5,2),(5,4),(5,6)$ oraz $(2,5),(4,5),(6,5)$ — $6$ par. $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ .

Odpowiedź: P(A) = 1/6

Przykład 6 Dwa losowania bez zwracania

Przy losowaniu kolejno bez zwracania liczysz pary uporządkowane o różnych elementach, |Ω| = n·(n−1), i zliczasz sprzyjające pary bez powtórzeń.

Zadanie Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ : suma wylosowanych liczb jest równa $8$ .

Pierwszą liczbę losuję na $6$ sposobów, drugą na $5$ — wylosowana nie wraca do zbioru. $|\Omega|=6\cdot 5=30$ .
Wypisuję pary uporządkowane o sumie $8$ : $(2,6)$ , $(3,5)$ i w odwrotnej kolejności $(6,2)$ , $(5,3)$ .
Para $(4,4)$ też ma sumę $8$ , ale bez zwracania nie może wystąpić — czwórki nie da się wylosować dwa razy. $|A|=4$ .
$P(A)=\dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15}$ .

Odpowiedź: P(A) = 2/15

Najczęstsze błędy

Traktowanie $(2,5)$ i $(5,2)$ jako jednego wyniku. W dwóch losowaniach to dwa różne wyniki.
Pary $(k,k)$ przy losowaniu bez zwracania — takie pary nie istnieją, a $|\Omega|=n(n-1)$ .
Liczenie wyniku z granicy przy nierówności ostrej: suma $8$ nie jest „większa od $8$ ”.
Liczba podzielna przez oba dzielniki policzona dwa razy. Przy warunku „podzielna przez $4$ lub przez $5$ ” w zbiorze $\{1,\dots,30\}$ liczbę $20$ odejmujemy raz: $|A|=7+6-1=12$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W pudełku jest $20$ losów loterii, z których $6$ jest wygrywających. Kupujemy losowo jeden los. Prawdopodobieństwo, że będzie to los przegrywający, jest równe:

Zadanie 2

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez $9$ , jest równe:

Zadanie 3

W pudełku znajdują się wyłącznie kule zielone i niebieskie. Kul zielonych jest $15$ . Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest równe $\frac{5}{8}$ . Liczba kul niebieskich w pudełku jest równa:

Zadanie 4

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Sumy oczek w dwóch rzutach — policz, ile razy występuje 4

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma wyrzuconych oczek jest równa $4$ . Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:

Zadanie 5

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga — cyfrą jedności liczby dwucyfrowej. Prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba jest podzielna przez $4$ , wynosi:

Zadanie 6

Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Prawdopodobieństwo, że obie wylosowane liczby są parzyste, wynosi:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 34

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest $18$ . Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe $\frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Prawdopodobieństwo — kurs podstawowy Matemaks

Co to jest prawdopodobieństwo klasyczne i jak je liczyć Wzorowanie

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo klasyczne?

$P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ , gdzie $|A|$ to liczba wyników sprzyjających, a $|\Omega|$ — liczba wszystkich jednakowo możliwych wyników. Ze zbioru $\{1,\dots,20\}$ liczbę podzielną przez $4$ losujemy z prawdopodobieństwem $\tfrac{5}{20}=\tfrac{1}{4}$ .

Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy dwóch rzutach kostką?

Wszystkich wyników jest $|\Omega|=6\cdot 6=36$ . Sumę $10$ dają pary $(4,6)$ , $(5,5)$ , $(6,4)$ , więc $P=\tfrac{3}{36}=\tfrac{1}{12}$ .

Ile wynosi |Ω| przy losowaniu bez zwracania?

Przy losowaniu kolejno dwóch elementów z $n$ bez zwracania $|\Omega|=n(n-1)$ . Dla zbioru $\{1,2,3,4\}$ jest to $4\cdot 3=12$ , a obie liczby parzyste dają tylko $(2,4)$ i $(4,2)$ , więc $P=\tfrac{2}{12}=\tfrac{1}{6}$ .

Jak obliczyć liczbę kul, gdy znam prawdopodobieństwo?

Zapisujemy model klasyczny jako równanie: jeśli $P(\text{czarna})=\tfrac{2}{5}$ , a czarnych kul jest $8$ , to $\tfrac{8}{n}=\tfrac{2}{5}$ , więc wszystkich kul jest $n=20$ .

Jak wyglądają zadania z prawdopodobieństwa na maturze podstawowej?

Zadanie otwarte za 2 pkt to prawie zawsze dwa losowania: najpierw zapisz $|\Omega|$ , potem wypisz pary sprzyjające tabelą albo przypadkami. Wynik podaj jako ułamek nieskracalny.

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Średnia, mediana i dominanta Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę

·	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

·	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

·	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36