Przejdź do treści
Poznaj Compass

Reguła mnożenia i reguła dodawania — jak zliczać możliwości krok po kroku

Gdy wybór składa się z kilku etapów wykonywanych po kolei, liczby możliwości na etapach mnożymy: 44 koszulki i 33 pary spodni dają 4⋅3=124\cdot 3=12 strojów. Gdy obiekty dzielą się na rozłączne przypadki, liczby obiektów w przypadkach dodajemy.

Kombinatoryka · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Reguła mnożenia i reguła dodawania — kiedy mnożyć, a kiedy dodawać

Gdy wybór składa się z kilku etapów wykonywanych po kolei (pierwszy element i drugi, i trzeci…), liczby możliwości na etapach mnożę; gdy obiekty dzielą się na rozłączne przypadki (albo jeden, albo drugi), liczby obiektów w przypadkach dodaję. Przy zliczaniu liczb zaczynam od pozycji z najsilniejszym warunkiem: pierwsza cyfra nie może być zerem, ostatnia decyduje o parzystości.

Przykłady: stroje, liczby z podanych cyfr, kody

  • 44 koszulki i 33 pary spodni: 4⋅3=124\cdot 3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}} strojów.
  • Liczby trzycyfrowe z cyfr 0,1,2,30,1,2,3 (cyfry mogą się powtarzać): pierwsza cyfra ≠0\neq 0, więc 3⋅4⋅4=483\cdot 4\cdot 4=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{48}}.
  • Liczby trzycyfrowe parzyste z cyfr 1,3,61,3,6: ostatnia cyfra tylko 66, więc 3⋅3⋅1=93\cdot 3\cdot 1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}.
  • Kody z cyfr 2,5,92,5,9, każda dokładnie raz: 3⋅2⋅1=63\cdot 2\cdot 1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}.
  • Liczby dwucyfrowe albo trzycyfrowe z cyfr 1,2,31,2,3: 3⋅3+3⋅3⋅3=9+27=363\cdot 3+3\cdot 3\cdot 3=9+27=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}}.

Zliczanie liczb na maturze — pułapka z zerem

Na maturze: zadanie brzmi zwykle „Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym … jest” i jest za 1 pkt; odpowiedzi bywają podane jako iloczyny (2⋅342\cdot 3^{4}, 9⋅9⋅8⋅79\cdot 9\cdot 8\cdot 7), więc nie zawsze trzeba mnożyć do końca — wystarczy dobrze rozpisać pozycje. Pułapka numer jeden: gdy zero jest w dozwolonym zbiorze cyfr, pierwsza pozycja ma o jedną możliwość mniej niż pozostałe. Gdy warunków jest kilka (np. parzysta i cyfry różne), zacznij od najbardziej ograniczonej pozycji; gdy jednym iloczynem się nie da (np. „dokładnie jedna cyfra 0”), rozbij na rozłączne przypadki według miejsca tej cyfry i dodaj wyniki.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Reguła mnożenia dla kilku etapów: hasła

Rozbijasz wybór na kolejne niezależne etapy (zestaw, strój, kod z liter i cyfr) i mnożysz liczby możliwości każdego etapu.

Zadanie Hasło składa się z dwóch liter wybranych spośród A, B, C, D (litery mogą się powtarzać), po których następuje jedna cyfra parzysta. Ile jest wszystkich takich haseł?

  1. Hasło powstaje w trzech etapach wykonywanych po kolei: pierwsza litera, druga litera, cyfra — dla każdego etapu liczę możliwości osobno.
  2. Pierwsza litera: 4 możliwości. Druga litera: znów 4, bo litery mogą się powtarzać.
  3. Cyfra parzysta to jedna z 0, 2, 4, 6, 8 — 5 możliwości (zero się liczy: to znak hasła, a nie pierwsza cyfra liczby).
  4. Etapy są niezależne, więc mnożę: 4 · 4 · 5 = 80.

Odpowiedź: 80 haseł

Przykład 2 Liczby z podanych cyfr — pierwsza cyfra różna od zera

Zliczasz liczby wielocyfrowe z ograniczonego zbioru cyfr (z powtórzeniami): na pierwszej pozycji odrzucasz zero, na pozostałych bierzesz cały zbiór i mnożysz.

Zadanie Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 3, 8 (np. 3008, 8888)?

  1. Cyfry mogą się powtarzać (widać to po przykładzie 8888), więc każdą pozycję rozpatruję osobno i mnożę liczby możliwości.
  2. Cyfra tysięcy nie może być zerem — zostają 3 i 8: 2 możliwości.
  3. Na każdej z trzech pozostałych pozycji może stać dowolna z cyfr 0, 3, 8: po 3 możliwości.
  4. Reguła mnożenia: 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 27 = 54.

Odpowiedź: 54 (czyli 2⋅332\cdot 3^{3})

Przykład 3 Liczby parzyste i nieparzyste z podanych cyfr

Zaczynasz od pozycji, którą warunek ogranicza (ostatnia cyfra dla parzystości, pierwsza dla „większe od”, pozycja powiązana z inną), a potem mnożysz przez możliwości pozostałych pozycji.

Zadanie Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 2, 5, 9 (np. 2009, 5555)?

  1. Warunek „nieparzysta” dotyczy cyfry jedności — zaczynam od niej: ze zbioru {0, 2, 5, 9} nieparzyste są 5 i 9, czyli 2 możliwości.
  2. Cyfra tysięcy nie może być zerem: 2, 5 lub 9 — 3 możliwości.
  3. Cyfry setek i dziesiątek nie mają żadnych ograniczeń: po 4 możliwości.
  4. Mnożę możliwości wszystkich pozycji: 3 · 4 · 4 · 2 = 96.

Odpowiedź: 96

Przykład 4 Liczby o cyfrach, które się nie powtarzają

Gdy elementy nie mogą się powtarzać, każda kolejna pozycja ma o jedną możliwość mniej (przy cyfrach zero wraca do puli na drugiej pozycji); ustawienie wszystkich elementów to iloczyn malejący.

Zadanie Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5, 7, 9, przy czym cyfry się nie powtarzają. Ile jest takich liczb?

  1. Cyfry się nie powtarzają, więc po każdym wyborze pula maleje o jeden — ale zaczynam od pozycji z dodatkowym warunkiem: cyfra tysięcy nie może być zerem.
  2. Cyfra tysięcy: 1, 3, 5, 7 lub 9 — 5 możliwości.
  3. Cyfra setek: z sześciu cyfr jedna jest już użyta, ale zero wraca do gry — zostaje 5 możliwości.
  4. Cyfra dziesiątek: 4 możliwości, cyfra jedności: 3 możliwości.
  5. Mnożę: 5 · 5 · 4 · 3 = 300.

Odpowiedź: 300

Przykład 5 Reguła dodawania — rozłączne przypadki

Gdy warunku nie da się policzyć jednym iloczynem (np. „dokładnie jedna cyfra 0”), dzielisz zbiór na rozłączne przypadki, każdy liczysz regułą mnożenia i sumujesz.

Zadanie Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra 5 występuje dokładnie jeden raz?

  1. Piątka może stać na dokładnie jednym z trzech miejsc — to trzy rozłączne przypadki, więc liczę każdy osobno i dodaję.
  2. Piątka na miejscu setek: pozostałe dwie cyfry dowolne, ale różne od 5 — 9 · 9 = 81.
  3. Piątka na miejscu dziesiątek: cyfra setek różna od 0 i od 5 — 8 możliwości, cyfra jedności różna od 5 — 9: razem 8 · 9 = 72.
  4. Piątka na miejscu jedności: tak samo jak wyżej, 8 · 9 = 72.
  5. Reguła dodawania: 81 + 72 + 72 = 225.

Odpowiedź: 225

Najczęstsze błędy

  • Zero na pierwszej pozycji. Gdy zero jest w dozwolonym zbiorze cyfr, pierwsza pozycja ma o jedną możliwość mniej: z cyfr 0,1,2,30,1,2,3 liczb trzycyfrowych jest 3⋅4⋅4=483\cdot 4\cdot 4=48.
  • Zaczynanie od pozycji bez warunku. Najpierw rozpisujemy pozycję z najsilniejszym warunkiem: ostatnią cyfrę przy parzystości, pierwszą, gdy nie może być zerem.
  • Jeden iloczyn tam, gdzie się nie da: „dokładnie jedna cyfra 55” liczymy przypadkami według miejsca tej cyfry i dodajemy wyniki.
  • Przy cyfrach bez powtórzeń zapomnienie, że zero wraca do puli na drugiej pozycji: z cyfr 0,1,3,5,7,90,1,3,5,7,9 liczb czterocyfrowych jest 5⋅5⋅4⋅3=3005\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Kod dostępu składa się z jednej litery wybranej spośród A, B, C, D, E oraz dwóch cyfr ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} (cyfry mogą się powtarzać). Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Zadanie 2

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 4, 9 (np. 400, 949), jest

Zadanie 3

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 1, 4, 6, 7, 9 (np. 144, 976), jest

Zadanie 4

Rozważamy wszystkie kody pięcioznakowe utworzone tylko z liter K, L, M, N, P, przy czym w każdym kodzie każda z tych liter występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Zadanie 5

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 30

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 00, 55, 77 (np. 57 07557\,075, 55 55555\,555), jest

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kombinatoryka — kurs podstawowy Matemaks
Reguła mnożenia i dodawania — wstęp do kombinatoryki Wzorowanie

Najczęstsze pytania

Na czym polega reguła mnożenia?

Gdy wybór składa się z kilku etapów wykonywanych po kolei, liczby możliwości na poszczególnych etapach mnożymy. Kodów z cyfr 2,5,92,5,9, w których każda cyfra występuje dokładnie raz, jest 3⋅2⋅1=63\cdot 2\cdot 1=6.

Kiedy stosuje się regułę dodawania?

Gdy obiekty dzielą się na rozłączne przypadki (albo jeden, albo drugi). Liczb dwucyfrowych albo trzycyfrowych z cyfr 1,2,31,2,3 jest 3⋅3+3⋅3⋅3=9+27=363\cdot 3+3\cdot 3\cdot 3=9+27=36.

Jak policzyć, ile jest liczb z podanych cyfr?

Rozpisz pozycje i pomnóż liczby możliwości, pamiętając, że pierwsza cyfra nie może być zerem. Z cyfr 0,1,2,30,1,2,3 (z powtórzeniami) liczb trzycyfrowych jest 3⋅4⋅4=483\cdot 4\cdot 4=48.

Jak policzyć liczby parzyste z podanych cyfr?

Zacznij od ostatniej cyfry, bo to ona decyduje o parzystości. Liczba trzycyfrowa parzysta z cyfr 1,3,61,3,6 musi kończyć się na 66, więc takich liczb jest 3⋅3⋅1=93\cdot 3\cdot 1=9.

Co się zmienia, gdy cyfry nie mogą się powtarzać?

Każda kolejna pozycja ma o jedną możliwość mniej. Z cyfr 0,1,3,5,7,90,1,3,5,7,9 cyfra tysięcy ma 55 możliwości, cyfra setek znów 55 (zero wraca do puli), potem 44 i 33 — razem 300300 liczb.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę