Wzajemne położenie prostych w przestrzeni — wytłumaczenie, przykłady i zadania

Dwie proste w przestrzeni są równoległe (leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktu wspólnego), przecinają się (dokładnie jeden punkt wspólny) albo są skośne — nie mają punktu wspólnego i nie leżą w żadnej wspólnej płaszczyźnie. O prostopadłości decyduje wyłącznie kąt między kierunkami prostych, więc prostopadłe mogą być także proste skośne. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych tej płaszczyzny — wtedy jest prostopadła do każdej prostej w niej leżącej.

W sześcianie $ABCDEFGH$ ($E$ nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$, $H$ nad $D$):

• $AB$ i $HG$: ten sam kierunek, brak punktu wspólnego — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{AB \parallel HG}}$
• $AB$ i $CG$: brak punktu wspólnego, różne kierunki — $\textcolor{#4f46e5}{\textbf{skośne}}$, a przy tym $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{AB \perp CG}}$, bo $CG \parallel BF$ i $BF \perp AB$
• $AE \perp AB$ i $AE \perp AD$, więc $AE \perp$ płaszczyzna $ABCD$ — stąd także $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{AE \perp BD}}$, choć $AE$ i $BD$ się nie przecinają
• $AF$ i $AB$: przekątna i bok kwadratu $ABFE$ — kąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{45^\circ}}$, proste nie są prostopadłe

Na maturze: zadanie brzmi zwykle „proste zawierające krawędzie … i … są: równoległe / przecinające się / skośne / prostopadłe” — sprawdzaj po kolei: wspólny wierzchołek? ten sam kierunek? Jeśli ani jedno, ani drugie — skośne. Prostopadłość prostych skośnych sprawdzasz, przesuwając jedną z nich równolegle do wspólnego punktu; najczęściej wystarcza fakt, że krawędź boczna jest prostopadła do każdej prostej leżącej w podstawie. Pułapka: przekątne ściany są prostopadłe tylko wtedy, gdy ściana jest kwadratem — w prostopadłościanie zwykle nim nie jest.