Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach — kąt nachylenia do podstawy

Q: Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu?

Ze wzoru d=√(a²+b²+c²), gdzie a, b, c to krawędzie. Dla krawędzi 3, 4, 12: d=√(9+16+144)=13.

Kąt w bryle to kąt w trójkącie prostokątnym ukrytym w tej bryle: jedna przyprostokątna to rzut odcinka na podstawę, druga — wysokość, a przeciwprostokątna to badany odcinek. Po znalezieniu trójkąta używamy $\operatorname{tg}$ , $\sin$ lub $\cos$ .

Stereometria · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Przekątna kwadratu $a$ — bok kwadratu; połowa przekątnej to rzut krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: $a\sqrt2$
Wysokość trójkąta równobocznego $a$ — bok trójkąta: $\tfrac{a\sqrt3}{2}$

Jak znaleźć kąt w graniastosłupie i ostrosłupie

Kąt w bryle to zawsze kąt w trójkącie prostokątnym ukrytym w tej bryle: jedna przyprostokątna leży w podstawie (rzut odcinka), druga jest wysokością, a przeciwprostokątna to badany odcinek. Znajdź ten trójkąt, wypisz jego boki i użyj $\operatorname{tg}$ , $\sin$ lub $\cos$ .

Przykłady: przekątna, kąt nachylenia, wysokość z kąta

przekątna prostopadłościanu $\mathbf{3},\mathbf{4},\mathbf{12}$ : $d=\sqrt{9+16+144}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{13}}$
przekątna podstawy $\mathbf{6}$ , wysokość $\mathbf{8}$ : $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{8}{6}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{4}{3}}}$ , $\cos\alpha=\tfrac{6}{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{5}}}$
ostrosłup prawidłowy czworokątny, krawędź podstawy $\mathbf{6}$ , krawędź boczna pod $\mathbf{45^\circ}$ : rzut $=3\sqrt{2}$ , więc $H=3\sqrt2\cdot\operatorname{tg}45^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{2}}}$
ściana boczna pod $\mathbf{60^\circ}$ , krawędź podstawy $\mathbf{4}$ : rzut $=2$ , $H=2\cdot\sqrt3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\sqrt{3}}}$

Kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy — co jest rzutem

Na maturze: kąt „do płaszczyzny podstawy” mierzysz między odcinkiem a jego rzutem — dla przekątnej graniastosłupa rzutem jest przekątna podstawy, dla krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego połowa przekątnej podstawy, a dla jego ściany bocznej połowa krawędzi podstawy. Karta wzorów daje $\operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$ , $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ , przekątną kwadratu $a\sqrt2$ , wysokość trójkąta równobocznego $\tfrac{a\sqrt3}{2}$ oraz $R=\tfrac{a\sqrt3}{3}$ , $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}$ . W zadaniu otwartym za 4 pkt wyznaczone $H$ prawie zawsze idzie dalej do objętości i pola całkowitego — nie zatrzymuj się na wysokości.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Przekątna prostopadłościanu i brakujący wymiar

Prostopadłościan o podstawie 12 × 9 i przekątnej 17

Liczysz przekątną z d = $\sqrt{a² + b² + c²}$ (sześcian: a $\sqrt{3}$ ) i wracasz do brakującego wymiaru, gdy dana jest przekątna.

Zadanie Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach $12$ i $9$ , a przekątna tego prostopadłościanu ma długość $17$ . Oblicz wysokość prostopadłościanu.

Przekątna bryły jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne to przekątna podstawy $p$ i wysokość $H$ — najpierw więc liczę $p$ .
Z twierdzenia Pitagorasa w podstawie: $p=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ .
W trójkącie „ $p$ – $H$ – $d$ ” zapisuję Pitagorasa: $15^2+H^2=17^2$ , czyli $225+H^2=289$ .
Stąd $H^2=289-225=64$ , więc $H=8$ .

Odpowiedź: H = 8

Przykład 2 Sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa

Przekątna graniastosłupa i jej rzut — przekątna podstawy

Wskazujesz trójkąt „rzut odcinka na podstawę – wysokość – odcinek” i liczysz tangens, sinus lub cosinus kąta nachylenia odcinka do płaszczyzny podstawy.

Zadanie Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{2}$ , a wysokość jest równa $8$ . Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy to kąt między przekątną a jej rzutem na podstawę — rzutem jest przekątna podstawy $p$ . Trójkąt: $p$ , wysokość $H$ , przekątna bryły $d$ ; kąt prosty między $p$ i $H$ , kąt $\alpha$ przy końcu $p$ .
Przekątna kwadratu o boku $3\sqrt2$ : $p=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6$ .
Sinus potrzebuje przeciwprostokątnej, więc liczę $d=\sqrt{p^2+H^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .
Naprzeciw kąta $\alpha$ leży wysokość: $\sin\alpha=\dfrac{H}{d}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$ .

Odpowiedź: sin α = 4/5

Przykład 3 Przekątna graniastosłupa z tangensa kąta nachylenia

Graniastosłup prawidłowy czworokątny, tg α = 3/4

Z podanego kąta nachylenia przekątnej (tg, cos, sin albo 30°, 45°, 60°) wyznaczasz wysokość, przekątną lub pole ściany graniastosłupa.

Zadanie Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $2\sqrt{2}$ . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}$ . Oblicz długość przekątnej graniastosłupa.

Kąt $\alpha$ leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych: przekątna podstawy $p$ (przy kącie) i wysokość $H$ (naprzeciw kąta); przeciwprostokątną jest przekątna $d$ .
Przekątna kwadratu o boku $2\sqrt2$ : $p=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4$ .
Tangens wiąże obie przyprostokątne: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{H}{p}$ , więc $H=p\cdot\operatorname{tg}\alpha=4\cdot\dfrac34=3$ .
Przekątna z Pitagorasa: $d=\sqrt{p^2+H^2}=\sqrt{16+9}=5$ .

Odpowiedź: d = 5

Przykład 4 Kąt między przekątną bryły a krawędzią boczną

Prostopadłościan ABCDEFGH, kąt między BH i BF

Dla kąta między dwoma odcinkami graniastosłupa znajdujesz trójkąt, który one rozpinają, wskazujesz w nim kąt prosty i liczysz brakujący bok z tg, sin lub cos.

Zadanie Podstawą prostopadłościanu $ABCDEFGH$ jest kwadrat $ABCD$ o boku $3$ . Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu tworzy z krawędzią boczną $BF$ kąt o mierze $45^\circ$ . Oblicz długość przekątnej $BH$ .

Odcinki $BH$ i $BF$ wychodzą z wierzchołka $B$ , trzeci wierzchołek trójkąta to $H$ . Krawędź $BF$ jest prostopadła do górnej podstawy, więc $BF\perp FH$ — trójkąt $BFH$ ma kąt prosty przy $F$ , a kąt $45^\circ$ przy $B$ .
Przyprostokątna $FH$ to przekątna górnej podstawy (kwadratu o boku $3$ ): $FH=3\sqrt2$ .
Kąt $45^\circ$ leży przy $B$ , naprzeciw niego jest $FH$ : $\operatorname{tg}45^\circ=\dfrac{FH}{BF}$ , a $\operatorname{tg}45^\circ=1$ , więc $BF=3\sqrt2$ .
Przeciwprostokątna z sinusa: $\sin45^\circ=\dfrac{FH}{BH}$ , czyli $BH=\dfrac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}=3\sqrt2\cdot\dfrac{2}{\sqrt2}=6$ .

Odpowiedź: BH = 6

Przykład 5 Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa

W trójkącie „wysokość – połowa przekątnej podstawy – krawędź boczna” liczysz wysokość, krawędź lub funkcję kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Zadanie Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $6$ . Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz wysokość ostrosłupa i długość krawędzi bocznej.

Rzutem krawędzi bocznej na podstawę jest odcinek od wierzchołka podstawy do jej środka — połowa przekątnej kwadratu: $\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$ . Trójkąt: wysokość $H$ , rzut $3\sqrt2$ , krawędź boczna $b$ ; kąt $60^\circ$ przy wierzchołku podstawy.
Wysokość z tangensa (dwie przyprostokątne): $\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{H}{3\sqrt2}$ , więc $H=3\sqrt2\cdot\sqrt3=3\sqrt6$ .
Krawędź boczna z cosinusa (rzut i przeciwprostokątna): $\cos60^\circ=\dfrac{3\sqrt2}{b}$ , więc $b=\dfrac{3\sqrt2}{1/2}=6\sqrt2$ .
Kontrola Pitagorasem: $(3\sqrt2)^2+(3\sqrt6)^2=18+54=72=(6\sqrt2)^2$ .

Odpowiedź: H = $3\sqrt{6}$ , krawędź boczna $6\sqrt{2}$

Przykład 6 Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa

Kąt między ścianą boczną a podstawą mierzysz w trójkącie „wysokość – połowa krawędzi podstawy – wysokość ściany bocznej” i z niego liczysz wymiary, objętość i pole.

Zadanie Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $8$ . Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz wysokość ostrosłupa i pole jego powierzchni bocznej.

Kąt między ścianą boczną a podstawą to kąt między wysokością ściany bocznej $h$ a jej rzutem — odcinkiem od środka podstawy do środka krawędzi, czyli połową krawędzi: $\dfrac82=4$ . Trójkąt: $H$ , $4$ , $h$ ; kąt $60^\circ$ przy krawędzi podstawy.
Wysokość z tangensa: $\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{H}{4}$ , więc $H=4\sqrt3$ .
Wysokość ściany bocznej z cosinusa: $\cos60^\circ=\dfrac{4}{h}$ , więc $h=\dfrac{4}{1/2}=8$ .
Pole powierzchni bocznej to 4 trójkąty o podstawie $8$ i wysokości $8$ : $P_b=4\cdot\dfrac{8\cdot8}{2}=128$ .

Odpowiedź: H = $4\sqrt{3}$ , P_b = 128

Najczęstsze błędy

Zły rzut odcinka. Dla przekątnej graniastosłupa rzutem jest przekątna podstawy, w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dla krawędzi bocznej — połowa przekątnej podstawy, a dla ściany bocznej — połowa krawędzi podstawy.
Sinus albo cosinus bez przeciwprostokątnej. Najpierw liczymy badany odcinek, np. przekątną bryły $d=\sqrt{p^2+H^2}$ ; tangens wiąże same przyprostokątne.
Zatrzymanie się na wysokości w zadaniu otwartym — wyznaczone $H$ zwykle trzeba jeszcze wykorzystać do objętości i pola powierzchni całkowitej.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku $5$ , a jego wysokość jest równa $5\sqrt{2}$ . Przekątna tego prostopadłościanu ma długość:

Zadanie 2

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $4$ , a wysokość jest równa $6$ . Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy:

Zadanie 3

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $4$ . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$ . Długość przekątnej graniastosłupa jest równa:

Zadanie 4

Prostopadłościan ABCDEFGH o podstawie kwadratowej

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ , w którym podstawy $ABCD$ i $EFGH$ są kwadratami o boku $5$ . Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu tworzy z przekątną $AH$ ściany bocznej $ADHE$ kąt o mierze $30^\circ$ . Długość przekątnej $BH$ jest równa:

Zadanie 5

Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $8$ . Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

Zadanie 6

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $6$ . Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ . Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 27

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$ . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąty w ostrosłupie — jak radzić sobie ze stereometrią PiEduPl

Przekątne graniastosłupa i kąt między płaszczyznami PATOMATMA

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy?

Kąt mierzymy między przekątną a jej rzutem, czyli przekątną podstawy, w trójkącie „przekątna podstawy – wysokość – przekątna bryły”. Dla przekątnej podstawy $6$ i wysokości $8$ : $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{8}{6}=\tfrac{4}{3}$ , $\cos\alpha=\tfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}$ .

Jak obliczyć kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy?

Rzutem krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest połowa przekątnej podstawy. Przy krawędzi podstawy $6$ rzut ma długość $3\sqrt{2}$ , a przy kącie $45^\circ$ wysokość $H=3\sqrt2\cdot\operatorname{tg}45^\circ=3\sqrt{2}$ .

Jak obliczyć kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy?

Mierzymy go między wysokością ściany bocznej a jej rzutem — w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest to połowa krawędzi podstawy. Przy krawędzi $4$ i kącie $60^\circ$ : rzut $2$ , więc $H=2\sqrt3$ .

Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu?

Ze wzoru $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ to krawędzie. Dla krawędzi $3$ , $4$ , $12$ : $d=\sqrt{9+16+144}=13$ .

Co to jest kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny podstawy?

To kąt między odcinkiem a jego rzutem na podstawę. Odcinek, jego rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, w którym liczymy $\operatorname{tg}$ , $\sin$ lub $\cos$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę