Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach — wytłumaczenie, wzór i zadania

Kąt w bryle to zawsze kąt w trójkącie prostokątnym ukrytym w tej bryle: jedna przyprostokątna leży w podstawie (rzut odcinka), druga jest wysokością, a przeciwprostokątna to badany odcinek. Znajdź ten trójkąt, wypisz jego boki i użyj $\operatorname{tg}$, $\sin$ lub $\cos$.

• przekątna prostopadłościanu $\mathbf{3},\mathbf{4},\mathbf{12}$: $d=\sqrt{9+16+144}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{13}}$
• przekątna podstawy $\mathbf{6}$, wysokość $\mathbf{8}$: $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{8}{6}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{4}{3}}}$, $\cos\alpha=\tfrac{6}{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{5}}}$
• ostrosłup prawidłowy czworokątny, krawędź podstawy $\mathbf{6}$, krawędź boczna pod $\mathbf{45^\circ}$: rzut $=3\sqrt{2}$, więc $H=3\sqrt2\cdot\operatorname{tg}45^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{2}}}$
• ściana boczna pod $\mathbf{60^\circ}$, krawędź podstawy $\mathbf{4}$: rzut $=2$, $H=2\cdot\sqrt3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\sqrt{3}}}$

Na maturze: kąt „do płaszczyzny podstawy” mierzysz między odcinkiem a jego rzutem — dla przekątnej graniastosłupa rzutem jest przekątna podstawy, dla krawędzi bocznej ostrosłupa połowa przekątnej, dla ściany bocznej połowa krawędzi podstawy. Karta wzorów daje $\operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, przekątną kwadratu $a\sqrt2$, wysokość trójkąta równobocznego $\tfrac{a\sqrt3}{2}$ oraz $R=\tfrac{a\sqrt3}{3}$, $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}$. W zadaniu otwartym za 4 pkt wyznaczone $H$ prawie zawsze idzie dalej do objętości i pola całkowitego — nie zatrzymuj się na wysokości.