Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach — wypisywanie, tabela par, pary

Q: Ile meczów rozegra n drużyn, gdy gra każda z każdą?

Każda drużyna gra n-1 meczów, a iloczyn n(n-1) dzielimy przez 2, bo mecz A–B to ten sam mecz co B–A. Dla 6 drużyn: (6· 5)/2=15 meczów.

Q: Ile przekątnych ma wielokąt?

Z każdego z n wierzchołków wychodzi n-3 przekątnych, a iloczyn n(n-3) dzielimy przez 2, bo każdą przekątną liczymy z obu końców. Siedmiokąt ma (7· 4)/2=14 przekątnych.

Q: Kiedy kolejność w parze ma znaczenie?

Gdy zamiana miejsc daje inny obiekt: kartka od A do B albo wynik dwóch rzutów kostką. Uścisk dłoni i mecz nie zależą od kolejności — wtedy dzielimy przez 2.

Q: Ile jest wyników dwóch rzutów kostką o sumie oczek 9?

Cztery: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — para (4,5) to inny wynik niż (5,4).

W prostych sytuacjach obiekty zlicza się bez wzorów: wypisuje się je w ustalonym porządku albo układa w tabelę par lub na drzewku. Pary z jednej grupy liczy się „każdy z każdym” i dzieli przez $2$ , bo para $AB$ to ta sama para co $BA$ .

Kombinatoryka · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Jak zliczać obiekty bez wzorów

W prostych sytuacjach zliczasz obiekty bez wzorów: wypisujesz je w ustalonym porządku (rosnąco, według pierwszej cyfry), układasz w tabelę par albo na drzewku, a pary z jednej grupy liczysz „każdy z każdym” i dzielisz przez $2$ , bo para $AB$ to ta sama para co $BA$ .

Przykłady: liczby, rzuty kostką, mecze, przekątne

Liczby dwucyfrowe o sumie cyfr $7$ : $16, 25, 34, 43, 52, 61, 70$ — jest ich $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$ .
Dwa rzuty kostką, suma oczek $9$ : $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ wyniki (para $(4,5)$ to inny wynik niż $(5,4)$ ).
$6$ drużyn, każda z każdą jeden mecz: każda gra $5$ meczów, $\frac{6\cdot 5}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$ meczów.
Przekątne siedmiokąta: z każdego wierzchołka $7-3=4$ , więc $\frac{7\cdot 4}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{14}}$ .

Zliczanie na maturze — czy kolejność ma znaczenie

Na maturze: zadanie z tego wymagania to zwykle 1 pkt w stylu „Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o własności … jest” — wypisz je wszystkie w porządku, nie zgaduj, i sprawdź, czy cyfra $0$ może stać na danej pozycji (na pierwszej nigdy). Przy parach zdecyduj, czy kolejność ma znaczenie: uścisk dłoni i mecz — nie (dziel przez $2$ ), kartka od $A$ do $B$ i wynik dwóch rzutów — tak. Karta wzorów CKE nie zawiera nic z tego działu, więc liczy się wyłącznie systematyczność.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wypisywanie liczb o zadanej własności cyfr

Wybierasz cyfrę, którą przebiegasz, sprawdzasz ograniczenia pozostałych cyfr (zero nie na początku, żadna cyfra nie większa niż 9) i wypisujesz liczby rosnąco, żeby żadnej nie pominąć ani nie policzyć dwa razy.

Zadanie Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o $2$ mniejsza od cyfry jedności?

Liczbę wyznacza cyfra dziesiątek $d$ : cyfra jedności to wtedy $d+2$ . Przebiegam więc $d$ zamiast zgadywać całe liczby.
Sprawdzam ograniczenia obu cyfr: $d\ge 1$ (liczba dwucyfrowa) oraz $d+2\le 9$ , czyli $d\le 7$ .
Wypisuję rosnąco: $13, 24, 35, 46, 57, 68, 79$ .
Każde $d$ od $1$ do $7$ dało dokładnie jedną liczbę — takich liczb jest $7$ .

Odpowiedź: 7

Przykład 2 Wyniki dwóch rzutów kostką — tabela par

Zapisujesz każdy wynik dwóch rzutów kostką (albo kilku rzutów monetą) jako uporządkowaną parę w tabeli lub gałąź drzewka i zliczasz tylko te wyniki, które spełniają warunek.

Zadanie Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Ile jest wszystkich wyników, w których suma wyrzuconych oczek jest równa $8$ ?

Wynik to uporządkowana para (pierwszy rzut, drugi rzut): w tabeli $6\times 6$ jest $36$ pól i para $(3,5)$ to inne pole niż $(5,3)$ .
Przebiegam pierwszy rzut $a$ od $1$ do $6$ ; drugi rzut musi wynosić $8-a$ i również mieścić się w przedziale od $1$ do $6$ .
$a=1$ dałoby $7$ oczek — odpada; $a=2,3,4,5,6$ dają $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ .
Takich wyników jest $5$ .

Odpowiedź: 5

Przykład 3 Mecze i uściski dłoni każdy z każdym

Liczysz pary w grupie n osób: każda ma n − 1 partnerów, a iloczyn n(n − 1) dzielisz przez 2, bo uścisk A z B to ten sam uścisk co B z A — chyba że kolejność ma znaczenie (kartka od A do B), wtedy nie dzielisz.

Zadanie W turnieju szachowym bierze udział $9$ zawodników i każdy z nich rozgrywa z każdym innym dokładnie jedną partię. Ile partii zostanie rozegranych w tym turnieju?

Każdy z $9$ zawodników gra z każdym z pozostałych $8$ , więc z jego punktu widzenia rozgrywa $8$ partii.
Iloczyn $9\cdot 8=72$ liczy każdą partię dwukrotnie — raz od strony jednego gracza, raz od strony drugiego, bo partia $A$ – $B$ to ta sama partia co $B$ – $A$ .
Dzielę przez $2$ : $\frac{72}{2}=36$ .
Kontrola przez wypisywanie: pierwszy gracz wnosi $8$ nowych partii, drugi $7$ , …, ósmy $1$ , czyli $8+7+6+5+4+3+2+1=36$ partii.

Odpowiedź: 36

Przykład 4 Liczba przekątnych wielokąta

Z każdego z n wierzchołków wychodzą n − 3 przekątne (nie do siebie i nie do dwóch sąsiadów), a iloczyn n(n − 3) dzielisz przez 2; odcinki łączące n punktów liczysz tak samo, ale z n − 1.

Zadanie Ile przekątnych ma dziesięciokąt wypukły?

Z jednego wierzchołka nie poprowadzę przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów (to boki), więc wychodzi z niego $10-3=7$ przekątnych.
Iloczyn $10\cdot 7=70$ liczy każdą przekątną dwa razy — z obu jej końców.
Dzielę przez $2$ : $\frac{70}{2}=35$ .
Kontrola: wszystkich odcinków między $10$ wierzchołkami jest $\frac{10\cdot 9}{2}=45$ , z czego $10$ to boki, więc przekątnych jest $45-10=35$ .

Odpowiedź: 35

Najczęstsze błędy

Zero na pierwszej pozycji liczby. Sprawdzamy, czy cyfra $0$ może stać na danej pozycji — na pierwszej nigdy.
Brak dzielenia przez $2$ przy parach bez kolejności (mecz, uścisk dłoni) — iloczyn $n(n-1)$ liczy każdą parę dwa razy.
Dzielenie przez $2$ , gdy kolejność ma znaczenie: wynik dwóch rzutów $(4,5)$ to inny wynik niż $(5,4)$ .
Zgadywanie zamiast wypisywania. Liczby wypisujemy w ustalonym porządku, np. rosnąco, żeby żadnej nie pominąć ani nie policzyć dwa razy.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ jest:

Zadanie 2

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Liczba wszystkich wyników, w których orzeł wypadł co najmniej dwa razy, jest równa:

Zadanie 3

W turnieju tenisowym bierze udział $12$ zawodników. Każdy zawodnik rozgrywa z każdym innym dokładnie jeden mecz. Liczba wszystkich meczów w tym turnieju jest równa:

Zadanie 4

Liczba wszystkich przekątnych dwunastokąta wypukłego jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 34

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $3$ jest

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Reguła mnożenia — kombinatoryka matspot

Reguła mnożenia i dodawania — 100 dni do matury Math Dream

Najczęstsze pytania

Ile meczów rozegra n drużyn, gdy gra każda z każdą?

Każda drużyna gra $n-1$ meczów, a iloczyn $n(n-1)$ dzielimy przez $2$ , bo mecz $A$ – $B$ to ten sam mecz co $B$ – $A$ . Dla $6$ drużyn: $\frac{6\cdot 5}{2}=15$ meczów.

Ile przekątnych ma wielokąt?

Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych, a iloczyn $n(n-3)$ dzielimy przez $2$ , bo każdą przekątną liczymy z obu końców. Siedmiokąt ma $\frac{7\cdot 4}{2}=14$ przekątnych.

Kiedy kolejność w parze ma znaczenie?

Gdy zamiana miejsc daje inny obiekt: kartka od $A$ do $B$ albo wynik dwóch rzutów kostką. Uścisk dłoni i mecz nie zależą od kolejności — wtedy dzielimy przez $2$ .

Ile jest wyników dwóch rzutów kostką o sumie oczek 9?

Cztery: $(3,6)$ , $(4,5)$ , $(5,4)$ , $(6,3)$ — para $(4,5)$ to inny wynik niż $(5,4)$ .

Jak policzyć liczby o danej własności cyfr?

Wypisz je w ustalonym porządku, np. według pierwszej cyfry, i sprawdź, czy zero może stać na danej pozycji. Liczby dwucyfrowe o sumie cyfr $7$ to $16, 25, 34, 43, 52, 61, 70$ — jest ich $7$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę