Objętości i pola powierzchni brył — wytłumaczenie, wzór i zadania

Objętość graniastosłupa i walca to pole podstawy razy wysokość: $V=P_p\cdot H$; dla ostrosłupa i stożka bierzesz $\tfrac{1}{3}$ tego, dla kuli $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian: podstaw i ścian bocznych. Większość zadań to najpierw wyznaczenie brakującego wymiaru (z warunku, z trójkąta prostokątnego albo z tangensa kąta), a dopiero potem wzór.

• graniastosłup prawidłowy sześciokątny, $a=\mathbf{4}$, $H=\mathbf{3}$: $P_p=6\cdot\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=24\sqrt{3}$, $V=24\sqrt{3}\cdot 3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{72\sqrt{3}}}$
• ostrosłup, kwadrat o boku $\mathbf{6}$, krawędź boczna $\mathbf{9}$ prostopadła do podstawy (to jest wysokość!): $V=\tfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 9=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{108}}$
• walec, $r=\mathbf{2}$, $V=\mathbf{20\pi}$: $\pi\cdot 2^2\cdot H=20\pi\Rightarrow H=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$
• sześcian o objętości $\mathbf{64}$: $a=4$, przekątna $d=a\sqrt{3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\sqrt{3}}}$

Na maturze: wzory na objętości i pola brył, pole trójkąta równobocznego $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ i przekątną sześcianu $a\sqrt{3}$ masz w karcie wzorów — ucz się nie wzorów, tylko tego, KTÓREGO wymiaru brakuje i z jakiego trójkąta go wyciągnąć. Sześciokąt foremny o boku $a$ to sześć trójkątów równobocznych o boku $a$. Pułapka: wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej to różne odcinki; w stożku promień, wysokość i tworząca zawsze tworzą trójkąt prostokątny ($r^2+H^2=l^2$).