Objętości i pola powierzchni brył — wzory, przykłady i zadania

Q: Jakie są wzory na objętość brył?

Graniastosłup i walec: V=Pₚ· H; ostrosłup i stożek: V=1/3 Pₚ· H; kula: V=4/3 π r³. Podstawą walca jest koło, więc V=π r²H.

Q: Jak obliczyć przekątną sześcianu?

Ze wzoru d=a√3, gdzie a to krawędź. Sześcian o objętości 64 ma krawędź 4, więc jego przekątna to 4√3.

Q: Jak obliczyć wysokość walca, gdy znam objętość?

Układamy równanie ze wzoru V=π r²H. Dla r=2 i V=20π: π· 2²· H=20π, więc H=5.

Objętość graniastosłupa i walca to pole podstawy razy wysokość, $V=P_p\cdot H$ ; dla ostrosłupa i stożka bierzemy $\tfrac{1}{3}$ tego, a objętość kuli to $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian.

Stereometria · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Objętość graniastosłupa i walca $P_p$ — pole podstawy, $H$ — wysokość; dla ostrosłupa i stożka $V=\tfrac{1}{3}P_p\cdot H$: $V=P_p\cdot H$
Objętość kuli $r$ — promień kuli: $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$
Stożek: promień, wysokość i tworząca $r$ — promień podstawy, $H$ — wysokość, $l$ — tworząca: $r^2+H^2=l^2$
Przekątna sześcianu $a$ — krawędź sześcianu: $d=a\sqrt{3}$

Wzory na objętość i pole powierzchni brył

Objętość graniastosłupa i walca to pole podstawy razy wysokość: $V=P_p\cdot H$ ; dla ostrosłupa i stożka bierzesz $\tfrac{1}{3}$ tego, dla kuli $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian: podstaw i ścian bocznych. Większość zadań to najpierw wyznaczenie brakującego wymiaru (z warunku, z trójkąta prostokątnego albo z tangensa kąta), a dopiero potem wzór.

Przykłady: graniastosłup, ostrosłup, walec, sześcian

graniastosłup prawidłowy sześciokątny, $a=\mathbf{4}$ , $H=\mathbf{3}$ : $P_p=6\cdot\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=24\sqrt{3}$ , $V=24\sqrt{3}\cdot 3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{72\sqrt{3}}}$
ostrosłup, kwadrat o boku $\mathbf{6}$ , krawędź boczna $\mathbf{9}$ prostopadła do podstawy (to jest wysokość!): $V=\tfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 9=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{108}}$
walec, $r=\mathbf{2}$ , $V=\mathbf{20\pi}$ : $\pi\cdot 2^2\cdot H=20\pi\Rightarrow H=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$
sześcian o objętości $\mathbf{64}$ : $a=4$ , przekątna $d=a\sqrt{3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\sqrt{3}}}$

Bryły na maturze — skąd wziąć brakujący wymiar

Na maturze: wzory na objętości i pola brył, pole trójkąta równobocznego $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ i przekątną sześcianu $a\sqrt{3}$ masz w karcie wzorów — ucz się nie wzorów, tylko tego, KTÓREGO wymiaru brakuje i z jakiego trójkąta go wyciągnąć. Sześciokąt foremny o boku $a$ to sześć trójkątów równobocznych o boku $a$ . Pułapka: wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej to różne odcinki; w stożku promień, wysokość i tworząca zawsze tworzą trójkąt prostokątny ( $r^2+H^2=l^2$ ).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian bryły

Ostrosłup n-kątny (na rysunku n = 6)

Z liczby boków podstawy n liczysz wierzchołki, krawędzie i ściany ostrosłupa lub graniastosłupa, a z podanej liczby ścian, wierzchołków albo stosunku W/K odczytujesz n.

Zadanie Ostrosłup prawidłowy ma $30$ krawędzi. Ile ścian ma ten ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie $n$ -kątnej ma $n$ krawędzi w podstawie i $n$ krawędzi bocznych, więc $K=2n$ . Z warunku $2n=30$ , czyli $n=15$ .
Ściany to $n$ ścian bocznych (po jednej na każdy bok podstawy) plus jedna podstawa: $S=n+1$ .
$S=15+1=16$ .

Odpowiedź: 16 ścian

Przykład 2 Sześcian: krawędź, objętość, pole i przekątna

Sześcian

Z jednej wielkości sześcianu (objętość a^{do potęgi 3}, pole 6a^{do potęgi 2}, przekątna ściany a $\sqrt{2}$ lub przekątna sześcianu a $\sqrt{3}$ ) wyznaczasz krawędź a i przeliczasz ją na pozostałe.

Zadanie Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $150$ . Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

Wszystko w sześcianie wyraża się przez krawędź $a$ , więc najpierw ją wyznaczam: $6a^2=150$ , czyli $a^2=25$ i $a=5$ .
Przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych: krawędź $a$ i przekątna ściany $a\sqrt{2}$ , stąd $d^2=a^2+2a^2=3a^2$ , czyli $d=a\sqrt{3}$ (wzór z karty).
$d=5\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $5\sqrt{3}$

Przykład 3 Prostopadłościan: krawędzie z warunku

Prostopadłościan

Zapisujesz trzy krawędzie przez jedną niewiadomą (kolejne liczby, ciąg geometryczny, stosunek), układasz równanie z objętości lub pola całkowitego 2(ab + bc + ac) i liczysz szukaną wielkość.

Zadanie Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $2$ . Objętość tego prostopadłościanu jest równa $512$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

Trzy krawędzie zapisuję jedną niewiadomą: najkrótsza $x$ , kolejne $2x$ i $4x$ (każda następna to poprzednia razy iloraz).
Objętość to iloczyn krawędzi: $V=x\cdot 2x\cdot 4x=8x^3$ . Z warunku $8x^3=512$ , więc $x^3=64$ i $x=4$ .
Krawędzie mają długości $4$ , $8$ , $16$ .
Pole całkowite to dwa razy suma pól trzech różnych ścian: $P_c=2(4\cdot 8+8\cdot 16+4\cdot 16)=2(32+128+64)=2\cdot 224=448$ .

Odpowiedź: $P_c=448$

Przykład 4 Objętość graniastosłupa prawidłowego

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Liczysz pole podstawy (kwadrat a^{do potęgi 2}, trójkąt równoboczny a^{do potęgi 2} $\sqrt{3}$ /4, sześciokąt foremny 6·a^{do potęgi 2} $\sqrt{3}$ /4), mnożysz je przez wysokość i dokładasz ściany boczne o polu a·H.

Zadanie Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $4$ , a pole jednej ściany bocznej jest równe $24$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Do objętości potrzebuję wysokości $H$ . Ściana boczna to prostokąt o bokach $a=4$ i $H$ , więc $4H=24$ i $H=6$ .
Podstawa to trójkąt równoboczny o boku $4$ : $P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ (wzór z karty).
$V=P_p\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 6=24\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $V=24\sqrt{3}$

Przykład 5 Objętość ostrosłupa z wysokości ściany bocznej

Ostrosłup

Wyznaczasz wysokość ostrosłupa (z krawędzi prostopadłej do podstawy, z trójkąta prostokątnego lub z tangensa kąta), liczysz V = ⅓·P_p·H oraz pole całkowite jako podstawę plus trójkątne ściany boczne.

Zadanie Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku $6$ , a wysokość ściany bocznej ma długość $5$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Do objętości potrzebuję wysokości $H$ ostrosłupa, nie ściany. Spodek $H$ to środek kwadratu, więc $H$ , połowa boku ( $3$ ) i wysokość ściany bocznej ( $5$ ) tworzą trójkąt prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2=5^2-3^2=16$ , czyli $H=4$ .
$P_p=6^2=36$ , więc $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$ .

Odpowiedź: $V=48$

Przykład 6 Promień podstawy stożka z danej objętości

Stożek

Podstawiasz do V = πr^{do potęgi 2}H, V = ⅓πr^{do potęgi 2}H, V = 4/3πr^{do potęgi 3}, a gdy dana jest objętość — układasz równanie i wyznaczasz promień lub wysokość.

Zadanie Objętość stożka o wysokości $6$ jest równa $32\pi$ . Oblicz promień podstawy tego stożka.

Dana jest objętość, szukany promień — układam równanie ze wzoru: $V=\frac{1}{3}\pi r^2 H$ , czyli $\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 6=32\pi$ .
Lewa strona upraszcza się do $2\pi r^2$ , więc $2\pi r^2=32\pi$ ; dzielę obie strony przez $2\pi$ : $r^2=16$ .
$r=4$ (promień jest dodatni).

Odpowiedź: $r=4$

Najczęstsze błędy

Pomylenie wysokości ostrosłupa z wysokością ściany bocznej. To różne odcinki, a do objętości potrzebna jest wysokość ostrosłupa $H$ .
Wysokość stożka w miejscu tworzącej (albo odwrotnie). Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny: $r^2+H^2=l^2$ .
Brak $\tfrac{1}{3}$ przy ostrosłupie i stożku — bez niego wychodzi objętość graniastosłupa albo walca.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Graniastosłup prawidłowy ma $2026$ wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

Zadanie 2

Objętość sześcianu jest równa $216$ . Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

Zadanie 3

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Najkrótsza krawędź tego prostopadłościanu ma długość $4$ . Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe:

Zadanie 4

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $5$ , a pole jego podstawy jest równe $24\sqrt{3}$ . Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

Zadanie 5

Ostrosłup

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$ . Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $10$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa:

Zadanie 6

Walec

Objętość walca o promieniu podstawy $3$ jest równa $27\pi^2$ . Wysokość tego walca jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 29

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K} = \frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Objętość graniastosłupa MATMAG.pl

Wierzchołki i krawędzie graniastosłupa Matemaks

Ostrosłupy — zadania Pi-stacja Matematyka

Ściany, wierzchołki i krawędzie ostrosłupa Marek Duda

Najczęstsze pytania

Jakie są wzory na objętość brył?

Graniastosłup i walec: $V=P_p\cdot H$ ; ostrosłup i stożek: $V=\tfrac{1}{3}P_p\cdot H$ ; kula: $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Podstawą walca jest koło, więc $V=\pi r^2H$ .

Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej bryły?

Dodajemy pola wszystkich ścian: podstaw i ścian bocznych. Dla stożka $P_c=\pi r^2+\pi rl$ , gdzie $l$ to tworząca, a pole powierzchni kuli to $4\pi r^2$ .

Jak obliczyć przekątną sześcianu?

Ze wzoru $d=a\sqrt{3}$ , gdzie $a$ to krawędź. Sześcian o objętości $64$ ma krawędź $4$ , więc jego przekątna to $4\sqrt{3}$ .

Jak obliczyć wysokość walca, gdy znam objętość?

Układamy równanie ze wzoru $V=\pi r^2H$ . Dla $r=2$ i $V=20\pi$ : $\pi\cdot 2^2\cdot H=20\pi$ , więc $H=5$ .

Jak obliczyć tworzącą stożka?

Z twierdzenia Pitagorasa, bo promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny: $r^2+H^2=l^2$ . Dla $r=6$ i $H=8$ : $l^2=100$ , więc $l=10$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę