Kąty w walcach i stożkach — przekrój osiowy, kąt nachylenia, kąt rozwarcia

Q: Jak obliczyć wysokość stożka z kąta rozwarcia?

Dzielimy kąt rozwarcia na pół i liczymy w trójkącie r–H–l. Przy kącie rozwarcia 120° i tworzącej 4: H = 4 · cos 60° = 2.

Q: Jak obliczyć kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy?

Kąt leży przy podstawie trójkąta r–H–l: tg α = H/r, sin α = H/l, cos α = r/l. Dla l = 10 i α = 30°: H = 10 · sin 30° = 5.

Q: Jak obliczyć kąt między przekątną przekroju osiowego walca a podstawą?

Z tg β = h/(2r) — do trójkąta wchodzi średnica, nie promień. Dla r = 2 i h = 4: tg β = 4/4 = 1, więc β = 45°.

Kąty w walcu i stożku widać w przekroju osiowym: dla stożka to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach równych tworzącej $l$ , a dla walca — prostokąt o bokach $2r$ i $h$ . Każdy kąt leży w trójkącie prostokątnym $r$ – $H$ – $l$ albo $2r$ – $h$ – $d$ .

Stereometria · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Tworząca stożka $r$ — promień podstawy, $H$ — wysokość, $l$ — tworząca: $l^2 = r^2 + H^2$
Kąt nachylenia tworzącej do podstawy także $\sin\alpha = \frac{H}{l}$ , $\cos\alpha = \frac{r}{l}$: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$
Kąt przekątnej przekroju osiowego walca z podstawą $h$ — wysokość walca, $2r$ — średnica podstawy: $\operatorname{tg}\beta = \frac{h}{2r}$

Przekrój osiowy stożka i walca

Kąty w walcu i stożku widzisz w przekroju osiowym: dla stożka to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ , wysokości $H$ i ramionach równych tworzącej $l$ ; dla walca — prostokąt o bokach $2r$ i $h$ . Wysokość dzieli przekrój stożka na dwa trójkąty prostokątne $r$ – $H$ – $l$ , a przekątna dzieli przekrój walca na dwa trójkąty $2r$ – $h$ – $d$ . Każdy kąt, o który pytają zadania z walcem i stożkiem, leży w jednym z tych trójkątów.

Trójkąt $r$ – $H$ – $l$ : $l^2 = r^2 + H^2$ . Dla $r = 9$ i $H = 12$ : $l = \sqrt{81 + 144} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$ .

Kąt nachylenia tworzącej do podstawy stożka

Kąt nachylenia tworzącej do podstawy leży przy podstawie trójkąta: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$ , $\sin\alpha = \frac{H}{l}$ , $\cos\alpha = \frac{r}{l}$ . Dla $l = 10$ i $\alpha = 30^\circ$ : $H = 10 \cdot \sin 30^\circ = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ .

Kąt rozwarcia stożka

Kąt rozwarcia stożka leży przy wierzchołku i wysokość dzieli go na pół: przy kącie rozwarcia $120^\circ$ w trójkącie $r$ – $H$ – $l$ masz kąt $60^\circ$ między tworzącą a wysokością, więc $r = l \sin 60^\circ$ , $H = l \cos 60^\circ$ . Dla $l = 4$ : $H = 4 \cdot \tfrac{1}{2} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .

Kąt między przekątną przekroju walca a podstawą

W walcu przekątna przekroju osiowego tworzy z podstawą kąt $\beta$ , dla którego $\operatorname{tg}\beta = \frac{h}{2r}$ . Dla $r = 2$ i $h = 4$ : $\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{4} = 1$ , więc $\beta = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{45^\circ}}$ .

Kąty w walcu i stożku na maturze

Na maturze: zadanie zwykle podaje tworzącą (lub przekątną) i kąt, a pyta o wysokość, promień, objętość albo pole powierzchni — najpierw wyznacz $r$ i $H$ z trójkąta prostokątnego, dopiero potem podstawiaj do wzorów z karty CKE ( $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$ , $P_b = \pi r l$ , $V = \pi r^2 h$ , $P_b = 2\pi r h$ ). Wartości $\sin$ , $\cos$ i $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ są w tablicach na karcie wzorów. Typowa pułapka: kąt rozwarcia trzeba najpierw podzielić na pół, a w walcu do trójkąta wchodzi średnica $2r$ , nie promień.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wysokość i objętość stożka z przekroju osiowego

Stożek

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie promień–wysokość–tworząca wyznaczasz brakujący odcinek, a potem pole lub objętość stożka.

Zadanie Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie $24$ i ramieniu $13$ . Oblicz wysokość i objętość tego stożka.

Podstawa przekroju osiowego to średnica podstawy stożka, więc $2r = 24$ i $r = 12$ ; ramię przekroju to tworząca, więc $l = 13$ .
Wysokość $H$ dzieli przekrój na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $r$ i $H$ oraz przeciwprostokątnej $l$ , więc szukam $H$ z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 = l^2 - r^2 = 169 - 144 = 25$ .
Stąd $H = 5$ .
Objętość stożka: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi$ .

Odpowiedź: $H = 5$ , $V = 240\pi$

Przykład 2 Kąt nachylenia tworzącej do podstawy stożka

Stożek

Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy leży przy podstawie trójkąta r–H–l; z tangensa, sinusa lub cosinusa tego kąta liczysz wysokość, promień albo tworzącą.

Zadanie Tworząca stożka ma długość $12$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka.

Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy to kąt między tworzącą a promieniem poprowadzonym do jej końca — leży przy podstawie trójkąta prostokątnego $r$ – $H$ – $l$ , naprzeciw wysokości $H$ .
Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$ , a tworząca jest przeciwprostokątną, więc wybieram sinus: $\sin 60^\circ = \frac{H}{l}$ , stąd $H = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .
Promień przylega do kąta, więc wybieram cosinus: $\cos 60^\circ = \frac{r}{l}$ , stąd $r = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ .
Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2$ .

Odpowiedź: $H = 6\sqrt{3}$ , $r = 6$

Przykład 3 Kąt rozwarcia stożka — połowa kąta przy wierzchołku

Stożek

Kąt rozwarcia dzielisz wysokością na pół i w trójkącie r–H–l z sinusa, cosinusa lub tangensa połowy kąta liczysz promień i wysokość z tworzącej (albo kąt z wymiarów).

Zadanie Tworząca stożka ma długość $10$ , a kąt rozwarcia stożka ma miarę $90^\circ$ . Oblicz promień podstawy, wysokość i objętość tego stożka.

Kąt rozwarcia to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Wysokość $H$ dzieli go na pół, więc w trójkącie prostokątnym $r$ – $H$ – $l$ kąt przy wierzchołku stożka ma $45^\circ$ .
Promień leży naprzeciw tego kąta, tworząca jest przeciwprostokątną: $r = l \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ .
Wysokość przylega do kąta: $H = l \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ (trójkąt jest równoramienny, bo kąt ma $45^\circ$ ).
Objętość: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 50 \cdot 5\sqrt{2} = \frac{250\sqrt{2}}{3}\pi$ .

Odpowiedź: $r = 5\sqrt{2}$ , $H = 5\sqrt{2}$ , $V = \frac{250\sqrt{2}}{3}\pi$

Przykład 4 Przekątna przekroju osiowego walca i jej kąt z podstawą

Walec

W prostokątnym przekroju osiowym walca (boki 2r i h) przekątna tworzy z podstawą kąt β; z tg β = h/2r albo z sinusa i cosinusa liczysz h, r, a dalej objętość i pole walca.

Zadanie Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $8$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60^\circ$ . Oblicz objętość tego walca.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach $2r$ (średnica podstawy) i $h$ (wysokość). Przekątna, średnica i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, a kąt $60^\circ$ leży między przekątną a średnicą, czyli przy podstawie.
Wysokość leży naprzeciw kąta, przekątna jest przeciwprostokątną: $h = d \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ .
Średnica przylega do kąta: $2r = d \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ , więc $r = 2$ — do wzoru na objętość potrzebuję promienia, nie średnicy.
Objętość walca: $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\pi$ .

Odpowiedź: $V = 16\sqrt{3}\pi$

Najczęstsze błędy

Kąt rozwarcia wstawiony w całości. Wysokość dzieli go na pół: przy kącie rozwarcia $120^\circ$ w trójkącie $r$ – $H$ – $l$ jest kąt $60^\circ$ .
Promień zamiast średnicy w walcu. Do trójkąta z przekątną przekroju osiowego wchodzi średnica $2r$ , a do wzoru na objętość — promień.
Pomylenie kątów w stożku: kąt nachylenia tworzącej leży przy podstawie trójkąta $r$ – $H$ – $l$ , a połowa kąta rozwarcia — przy wierzchołku stożka.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Stożek

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie $30$ i wysokości $8$ . Tworząca tego stożka ma długość:

Zadanie 2

Stożek

Tworząca stożka ma długość $8$ , a kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy ma miarę $30^\circ$ . Promień podstawy tego stożka jest równy:

Zadanie 3

Stożek

Tworząca stożka ma długość $12$ , a kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$ . Wysokość tego stożka jest równa:

Zadanie 4

Walec

Walec ma promień podstawy $2$ i wysokość $4\sqrt{3}$ . Kąt między przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy tego walca ma miarę:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 29

Tworząca stożka ma długość $6$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^{\circ}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Przekrój osiowy stożka Pi-stacja Matematyka

Walec i stożek — kurs podstawowy Matemaks

Najczęstsze pytania

Co to jest kąt rozwarcia stożka?

To kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, czyli kąt przy wierzchołku stożka. Wysokość dzieli go na pół, więc w trójkącie $r$ – $H$ – $l$ pracujemy z połową tego kąta.

Jak obliczyć wysokość stożka z kąta rozwarcia?

Dzielimy kąt rozwarcia na pół i liczymy w trójkącie $r$ – $H$ – $l$ . Przy kącie rozwarcia $120^\circ$ i tworzącej $4$ : $H = 4 \cdot \cos 60^\circ = 2$ .

Jak obliczyć kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy?

Kąt leży przy podstawie trójkąta $r$ – $H$ – $l$ : $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$ , $\sin\alpha = \frac{H}{l}$ , $\cos\alpha = \frac{r}{l}$ . Dla $l = 10$ i $\alpha = 30^\circ$ : $H = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5$ .

Jak wygląda przekrój osiowy stożka i walca?

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ , wysokości $H$ i ramionach równych tworzącej $l$ , a przekrój osiowy walca — prostokąt o bokach $2r$ i $h$ .

Jak obliczyć kąt między przekątną przekroju osiowego walca a podstawą?

Z $\operatorname{tg}\beta = \frac{h}{2r}$ — do trójkąta wchodzi średnica, nie promień. Dla $r = 2$ i $h = 4$ : $\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{4} = 1$ , więc $\beta = 45^\circ$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę