Kąty w walcach i stożkach — wytłumaczenie, wzór i zadania

Kąty w walcu i stożku widzisz w przekroju osiowym: dla stożka to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$, wysokości $H$ i ramionach równych tworzącej $l$; dla walca — prostokąt o bokach $2r$ i $h$. Wysokość dzieli przekrój stożka na dwa trójkąty prostokątne $r$–$H$–$l$, a przekątna dzieli przekrój walca na dwa trójkąty $2r$–$h$–$d$. Każdy kąt z tej lekcji leży w jednym z tych trójkątów.

Trójkąt $r$–$H$–$l$: $l^2 = r^2 + H^2$. Dla $r = 9$ i $H = 12$: $l = \sqrt{81 + 144} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$.

Kąt nachylenia tworzącej do podstawy leży przy podstawie trójkąta: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$, $\sin\alpha = \frac{H}{l}$, $\cos\alpha = \frac{r}{l}$. Dla $l = 10$ i $\alpha = 30^\circ$: $H = 10 \cdot \sin 30^\circ = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$.

Kąt rozwarcia stożka leży przy wierzchołku i wysokość dzieli go na pół: przy kącie rozwarcia $120^\circ$ w trójkącie $r$–$H$–$l$ masz kąt $60^\circ$ między tworzącą a wysokością, więc $r = l \sin 60^\circ$, $H = l \cos 60^\circ$. Dla $l = 4$: $H = 4 \cdot \tfrac{1}{2} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$.

W walcu przekątna przekroju osiowego tworzy z podstawą kąt $\beta$, dla którego $\operatorname{tg}\beta = \frac{h}{2r}$. Dla $r = 2$ i $h = 4$: $\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{4} = 1$, więc $\beta = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{45^\circ}}$.

Na maturze: zadanie zwykle podaje tworzącą (lub przekątną) i kąt, a pyta o wysokość, promień, objętość albo pole powierzchni — najpierw wyznacz $r$ i $H$ z trójkąta prostokątnego, dopiero potem podstawiaj do wzorów z karty CKE ($V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, $P_b = \pi r l$, $V = \pi r^2 h$, $P_b = 2\pi r h$). Wartości $\sin$, $\cos$ i $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ są w tablicach na karcie wzorów. Typowa pułapka: kąt rozwarcia trzeba najpierw podzielić na pół, a w walcu do trójkąta wchodzi średnica $2r$, nie promień.