Objętości brył podobnych — wytłumaczenie, wzór i zadania

Bryły są podobne, gdy jedna powstaje z drugiej przez pomnożenie wszystkich wymiarów przez tę samą liczbę — skalę $\textcolor{#0284c7}{k}$. Objętości brył podobnych są wtedy w stosunku $\textcolor{#059669}{k^3}$: $\frac{V_2}{V_1}=k^3$, a skalę odzyskujesz ze stosunku objętości pierwiastkiem sześciennym.

• Krawędź sześcianu rośnie $3$ razy $\Rightarrow$ objętość rośnie $3^3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{27}}$ razy.
• Objętości kul: $V_1=16$, $V_2=54$ $\Rightarrow$ $k^3=\frac{54}{16}=\frac{27}{8}$, więc $k=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{2}}}$ — promień większej kuli jest $1{,}5$ razy dłuższy.
• Krawędź zwiększono o $10\%$: $k=1{,}1$, $k^3=1{,}331$ $\Rightarrow$ objętość wzrosła o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{33{,}1\%}}$, nie o $30\%$.
• Bryły o powiązanych wymiarach (niepodobne): stożek i walec o tej samej podstawie i wysokości — $V_{s}:V_{w}=\frac{1}{3}\pi r^2h:\pi r^2h=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1:3}}$.

Na maturze: wzory na objętość walca, stożka, kuli i ostrosłupa masz na karcie wzorów — zadanie o „stosunku objętości” rozwiązujesz, wypisując oba wzory, podstawiając zależność między wymiarami i skracając wspólne czynniki. Gdy bryły są podobne, nie licz objętości: wystarczy $k^3$. Pułapka: $k$ to stosunek długości; jeśli znasz stosunek objętości, najpierw wyciągnij pierwiastek sześcienny, a dopiero potem przeliczaj krawędzie i wysokości.