Objętości brył podobnych — skala podobieństwa i stosunek objętości

Q: Jaki jest stosunek objętości brył podobnych?

Równy sześcianowi skali podobieństwa: V₂/V₁=k³. Gdy wszystkie wymiary rosną 3 razy, objętość rośnie 3³=27 razy.

Q: O ile procent wzrośnie objętość, gdy krawędzie wzrosną o 10%?

O 33,1%, bo skala to k=1,1, a k³=1,331. Procenty nie skalują się liniowo, więc nie wystarczy pomnożyć 10% przez 3.

Q: Jaki jest stosunek objętości stożka i walca o tej samej podstawie i wysokości?

1:3, bo Vₛ=1/3 π r²h, a V_w=π r²h. Te bryły nie są podobne — stosunek liczymy ze wzorów, skracając wspólne czynniki.

Bryły podobne w skali $k$ mają objętości w stosunku $k^3$ : $\frac{V_2}{V_1}=k^3$ . Gdy krawędź sześcianu rośnie $3$ razy, objętość rośnie $27$ razy; skalę ze stosunku objętości odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym.

Stereometria · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Stosunek objętości brył podobnych $V_1$ , $V_2$ — objętości brył podobnych, $k$ — skala podobieństwa (stosunek długości): $\frac{V_2}{V_1}=k^3$

Bryły podobne — stosunek objętości

Bryły są podobne, gdy jedna powstaje z drugiej przez pomnożenie wszystkich wymiarów przez tę samą liczbę — skalę $\textcolor{#0284c7}{k}$ . Objętości brył podobnych są wtedy w stosunku $\textcolor{#059669}{k^3}$ : $\frac{V_2}{V_1}=k^3$ , a skalę odzyskujesz ze stosunku objętości pierwiastkiem sześciennym.

Przykłady: skala, objętość, zmiana procentowa

Krawędź sześcianu rośnie $3$ razy $\Rightarrow$ objętość rośnie $3^3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{27}}$ razy.
Objętości kul: $V_1=16$ , $V_2=54$ $\Rightarrow$ $k^3=\frac{54}{16}=\frac{27}{8}$ , więc $k=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{2}}}$ — promień większej kuli jest $1{,}5$ razy dłuższy.
Krawędź zwiększono o $10\%$ : $k=1{,}1$ , $k^3=1{,}331$ $\Rightarrow$ objętość wzrosła o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{33{,}1\%}}$ , nie o $30\%$ .
Bryły o powiązanych wymiarach (niepodobne): stożek i walec o tej samej podstawie i wysokości — $V_{s}:V_{w}=\frac{1}{3}\pi r^2h:\pi r^2h=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1:3}}$ .

Stosunek objętości brył na maturze

Na maturze: wzory na objętość walca, stożka, kuli i ostrosłupa masz na karcie wzorów — zadanie o „stosunku objętości” rozwiązujesz, wypisując oba wzory, podstawiając zależność między wymiarami i skracając wspólne czynniki. Gdy bryły są podobne, nie licz objętości: wystarczy $k^3$ . Pułapka: $k$ to stosunek długości; jeśli znasz stosunek objętości, najpierw wyciągnij pierwiastek sześcienny, a dopiero potem przeliczaj krawędzie i wysokości.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Skala podobieństwa brył z wymiarów

Wyznaczasz skalę k jako iloraz odpowiadających sobie wymiarów dwóch brył podobnych i przeliczasz nią brakującą krawędź, promień lub wysokość.

Zadanie Dwa walce są podobne. Mniejszy ma promień podstawy $4$ i wysokość $6$ , większy ma wysokość $15$ . Oblicz skalę podobieństwa większego walca do mniejszego oraz promień podstawy większego walca.

Bryły podobne mają wszystkie odpowiednie wymiary w tej samej skali, więc skalę liczę z tej pary wymiarów, którą znam w obu bryłach: wysokości $15$ i $6$ .
Skala większego do mniejszego ma większą długość w liczniku: $k=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5$ .
Ta sama skala wiąże promienie podstaw: $R=k\cdot r=2{,}5\cdot 4=10$ .
Sprawdzenie proporcji: $\frac{R}{r}=\frac{10}{4}=2{,}5=\frac{15}{6}$ . Skala $k=2{,}5$ , promień większego walca $R=10$ .

Odpowiedź: k = 2,5; R = 10

Przykład 2 Objętość bryły podobnej ze skali

Podnosisz skalę do sześcianu: objętości brył podobnych są w stosunku k^{do potęgi 3}, więc objętość drugiej bryły to k^{do potęgi 3} razy objętość pierwszej.

Zadanie Dwa ostrosłupy są podobne w skali $k=\frac{3}{2}$ (większy do mniejszego). Objętość mniejszego ostrosłupa wynosi $24$ . Oblicz objętość większego ostrosłupa.

Objętości brył podobnych są w stosunku sześcianu skali, a nie samej skali: $\frac{V_2}{V_1}=k^3$ .
Liczę sześcian skali: $k^3=\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}$ .
Mnożę objętość mniejszego ostrosłupa: $V_2=\frac{27}{8}\cdot 24=27\cdot 3=81$ .
Kontrola sensu: skala $1{,}5$ to mniej niż podwojenie wymiarów, a objętość wzrosła $3{,}375$ razy — zgadza się z $81:24$ . Objętość większego ostrosłupa: $81$ .

Odpowiedź: V = 81

Przykład 3 Skala i wymiar ze stosunku objętości

Z ilorazu objętości brył podobnych wyciągasz pierwiastek sześcienny, dostajesz skalę k i przeliczasz nią krawędź, promień lub wysokość.

Zadanie Dwa stożki są podobne. Objętość większego stożka wynosi $250$ , a mniejszego $16$ . Wysokość mniejszego stożka jest równa $6$ . Oblicz wysokość większego stożka.

Objętości brył podobnych są w stosunku $k^3$ , więc najpierw liczę iloraz objętości: $k^3=\frac{250}{16}=\frac{125}{8}$ .
Skala to pierwiastek sześcienny z tego ilorazu (nie kwadratowy): $k=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}$ .
Wysokości, jako długości, są w skali $k$ : $H=\frac{5}{2}\cdot 6=15$ .
Sprawdzenie: $\left(\frac{15}{6}\right)^3=\left(\frac{5}{2}\right)^3=\frac{125}{8}=\frac{250}{16}$ — zgadza się. Wysokość większego stożka: $15$ .

Odpowiedź: H = 15

Przykład 4 Objętość po procentowej zmianie wymiarów

Zamieniasz zmianę o p% na skalę k = 1 ± p/100, podnosisz ją do sześcianu i odczytujesz, o ile procent zmieniła się objętość — albo odwrotnie, ze zmiany objętości wracasz do zmiany wymiaru.

Zadanie Każdą krawędź prostopadłościanu zwiększono o $30\%$ . O ile procent wzrosła objętość prostopadłościanu?

Zwiększenie każdego wymiaru o $30\%$ oznacza, że nowa bryła jest podobna do starej w skali $k=1+0{,}3=1{,}3$ .
Objętość skaluje się jak $k^3$ : $1{,}3^3=1{,}69\cdot 1{,}3=2{,}197$ .
Nowa objętość to $219{,}7\%$ starej, więc wzrost wynosi $2{,}197-1=1{,}197$ , czyli $119{,}7\%$ — a nie $3\cdot 30\%=90\%$ , bo procenty nie skalują się liniowo.

Odpowiedź: o 119,7%

Przykład 5 Stosunek objętości kuli i walca ze wzorów

Zapisujesz objętości obu brył wzorami z karty, podstawiasz zależność między wymiarami i skracasz wspólne czynniki — bez liczenia objętości.

Zadanie Kula i walec mają równe promienie $r$ . Wysokość walca jest równa $3r$ . Stosunek objętości kuli do objętości walca jest równy:

Wypisuję oba wzory z karty: $V_k=\frac{4}{3}\pi r^3$ , $V_w=\pi r^2 h$ .
Podstawiam zależność między wymiarami, żeby oba wzory były w tej samej zmiennej: $h=3r$ , więc $V_w=\pi r^2\cdot 3r=3\pi r^3$ .
Dzielę i skracam wspólne czynniki $\pi r^3$ : $\frac{V_k}{V_w}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{3\pi r^3}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$ .
Wynik nie zależy od $r$ — tak ma być, bo pytanie jest o stosunek, nie o konkretną objętość. Stosunek $V_k:V_w=4:9$ .

Odpowiedź: 4/9

Przykład 6 Objętość ostrosłupa ściętego z podobieństwa brył

Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina przy wierzchołku ostrosłup (stożek) podobny do całego w skali k = h₁/H; objętość odciętej części to k^{do potęgi 3}·V, a części ściętej (1 − k^{do potęgi 3})·V.

Zadanie Ostrosłup o objętości $V=96$ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, która dzieli jego wysokość w stosunku $1:3$ , licząc od wierzchołka. Oblicz objętość bryły powstałej między płaszczyzną a podstawą (ostrosłupa ściętego).

Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina przy wierzchołku mały ostrosłup podobny do całego; skala to stosunek wysokości: $k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ .
Objętość małego ostrosłupa to sześcian skali razy objętość całego: $V_1=k^3\cdot V=\frac{1}{64}\cdot 96=1{,}5$ .
Ostrosłup ścięty to reszta całości: $V-V_1=96-1{,}5=94{,}5$ .
Kontrola: choć płaszczyzna jest w $\frac{1}{4}$ wysokości, odcięta część to tylko $\frac{1}{64}$ objętości — objętość maleje z sześcianem skali. Objętość ostrosłupa ściętego: $94{,}5$ .

Odpowiedź: 94,5

Najczęstsze błędy

Mnożenie objętości przez $k$ zamiast przez $k^3$ . Objętości brył podobnych są w stosunku sześcianu skali.
Przeliczanie wymiarów stosunkiem objętości. $k$ to stosunek długości, więc ze stosunku objętości najpierw wyciągamy pierwiastek sześcienny (nie kwadratowy): $\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}$ .
Dodawanie procentów: krawędzie większe o $10\%$ dają objętość większą o $33{,}1\%$ , nie o $30\%$ , bo $1{,}1^3=1{,}331$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dwa stożki są podobne. Mniejszy stożek ma promień podstawy $3$ i wysokość $4$ , a większy ma wysokość $10$ . Promień podstawy większego stożka jest równy:

Zadanie 2

Promień kuli $K_2$ jest trzy razy dłuższy od promienia kuli $K_1$ . Objętość kuli $K_1$ jest równa $12\pi$ . Objętość kuli $K_2$ jest równa:

Zadanie 3

Objętości dwóch kul wynoszą $36\pi$ i $288\pi$ . Promień mniejszej kuli jest równy $3$ . Promień większej kuli jest równy:

Zadanie 4

Wysokość walca i promień jego podstawy zwiększono o $20\%$ . Objętość walca wzrosła o:

Zadanie 5

Walce $W_1$ i $W_2$ mają równe wysokości. Promień podstawy walca $W_1$ jest trzy razy dłuższy od promienia podstawy walca $W_2$ . Stosunek objętości walca $W_1$ do objętości walca $W_2$ jest równy:

Zadanie 6

Stożek o objętości $54$ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Wysokość odciętego małego stożka stanowi $\frac{2}{3}$ wysokości całego stożka. Objętość małego stożka jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 31

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Stosunek objętości brył podobnych Marek Duda

Pole figur podobnych — najprostszy sposób Wzorowanie

Najczęstsze pytania

Jaki jest stosunek objętości brył podobnych?

Równy sześcianowi skali podobieństwa: $\frac{V_2}{V_1}=k^3$ . Gdy wszystkie wymiary rosną $3$ razy, objętość rośnie $3^3=27$ razy.

Jak obliczyć skalę podobieństwa ze stosunku objętości?

Wyciągamy pierwiastek sześcienny z ilorazu objętości. Dla kul o objętościach $16$ i $54$ : $k^3=\frac{54}{16}=\frac{27}{8}$ , więc $k=\frac{3}{2}$ .

O ile procent wzrośnie objętość, gdy krawędzie wzrosną o 10%?

O $33{,}1\%$ , bo skala to $k=1{,}1$ , a $k^3=1{,}331$ . Procenty nie skalują się liniowo, więc nie wystarczy pomnożyć $10\%$ przez $3$ .

Jaki jest stosunek objętości stożka i walca o tej samej podstawie i wysokości?

$1:3$ , bo $V_s=\frac{1}{3}\pi r^2h$ , a $V_w=\pi r^2h$ . Te bryły nie są podobne — stosunek liczymy ze wzorów, skracając wspólne czynniki.

Jaką objętość ma ostrosłup odcięty płaszczyzną równoległą do podstawy?

Odcięty przy wierzchołku ostrosłup jest podobny do całego w skali $k$ równej stosunkowi wysokości, więc ma objętość $k^3\cdot V$ . Reszta, czyli ostrosłup ścięty, ma objętość $(1-k^3)\cdot V$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny Stereometria Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę