Ciąg geometryczny — wzory, iloraz, suma, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

aₙ=a₁· qⁿ⁻¹, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a q — iloraz. Dla a₁=3 i q=-2: a₅=3·(-2)⁴=48.

Q: Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego?

Dzielimy wyraz przez poprzedni: q=(aₙ₊₁)/aₙ. Gdy dane są dwa odległe wyrazy, np. a₂=6 i a₅=48, dzielimy je: q³=48/6=8, więc q=2.

Q: Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

Dla q≠1: Sₙ=a₁·(1-qⁿ)/(1-q). Dla a₁=5 i q=2: S₄=5·(1-2⁴)/(1-2)=75.

Q: Jaki warunek spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego?

Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich: b²=a· c. Dla ciągu (2, x, 18): x²=36, więc x=6 lub x=-6.

Q: Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny?

Tak. Ujemny iloraz nie zmienia wartości bezwzględnej wyrazów, tylko ich znak — wyrazy na przemian są dodatnie i ujemne, np. dla a₁=3 i q=-2: 3, -6, 12.

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz to poprzedni razy stały iloraz $q$ : $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$ . Iloraz to wyraz podzielony przez poprzedni, $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , a suma dla $q\neq1$ to $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ .

Ciągi · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Wzór na n-ty wyraz $a_1$ — pierwszy wyraz, $q$ — iloraz ciągu, $n$ — numer wyrazu: $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$
Suma n początkowych wyrazów (q ≠ 1): $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$
Iloraz ciągu wyraz podzielony przez poprzedni: $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$
Trzy kolejne wyrazy $a$ , $b$ , $c$ — trzy kolejne wyrazy, $b$ — środkowy: $b^2=a\cdot c$

Ciąg geometryczny — wzory na wyraz, sumę i iloraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz to poprzedni razy stały iloraz $q$ : $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$ , a suma $n$ początkowych wyrazów (dla $q\neq1$ ) to $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Iloraz znajdę, dzieląc wyraz przez poprzedni: $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , a trzy kolejne wyrazy $a,b,c$ spełniają $b^2=a\cdot c$ .

Przykłady: n-ty wyraz, iloraz i suma ciągu

$a_1=3$ , $q=-2$ : $a_5=3\cdot(-2)^{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{48}}$ .
$a_2=6$ , $a_5=48$ : $q^3=\tfrac{48}{6}=8$ , więc $q=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .
Ciąg $(2,\,x,\,18)$ jest geometryczny: $x^2=36$ , więc $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-6}}$ .
$a_1=5$ , $q=2$ : $S_4=5\cdot\dfrac{1-2^4}{1-2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{75}}$ .

Ciąg geometryczny na maturze — na co uważać

Na maturze: wzory na $a_n$ i $S_n$ są na karcie wzorów CKE — pilnuj tylko, że wykładnik to $n-1$ , nie $n$ . Gdy dane są dwa odległe wyrazy, podziel je: $\dfrac{a_5}{a_2}=q^{3}$ (wykładnik = różnica numerów). Ujemny iloraz nie zmienia wartości bezwzględnej wyrazów, tylko znak: parzysta potęga daje plus, nieparzysta minus.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Dowolny wyraz z pierwszego wyrazu i ilorazu

Liczysz dowolny wyraz z aₙ = a₁·q^(n−1), także dla ujemnego lub ułamkowego q, i określasz znak wyrazu z parzystości wykładnika.

Zadanie Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_1=-6$ oraz $q=-\frac{1}{2}$ . Wyraz $a_5$ jest równy

Wybieram wzór na wyraz ogólny: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ — dla $a_5$ wykładnik to $5-1=4$ , a nie $5$ .
Najpierw potęga ilorazu: $\left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$ — parzysty wykładnik, więc wynik jest dodatni.
Mnożę przez pierwszy wyraz: $a_5=-6\cdot\frac{1}{16}=-\frac{6}{16}=-\frac{3}{8}$ .
Znak sprawdzam osobno: $a_1<0$ , potęga dodatnia, więc $a_5<0$ . Odpowiedź: $a_5=-\frac{3}{8}$ .

Odpowiedź: $a_5=-\frac{3}{8}$

Przykład 2 Iloraz z dwóch kolejnych wyrazów

Dzielisz wyraz przez poprzedni, żeby dostać q, a potem z q liczysz dalsze wyrazy, sumę kilku z nich lub niewiadomą w trzecim wyrazie.

Zadanie Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_1=-2{,}5$ oraz $a_2=7{,}5$ . Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Iloraz to wyraz podzielony przez poprzedni: $q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{7{,}5}{-2{,}5}=-3$ — zmiana znaku między wyrazami od razu mówi, że $q<0$ .
Od pierwszego do czwartego wyrazu są trzy mnożenia przez $q$ , więc $a_4=a_1\cdot q^{3}$ , a $q^3=(-3)^3=-27$ .
$a_4=-2{,}5\cdot(-27)=67{,}5$ .
Kontrola po kolei: $a_3=7{,}5\cdot(-3)=-22{,}5$ , $a_4=-22{,}5\cdot(-3)=67{,}5$ . Odpowiedź: $a_4=67{,}5$ .

Odpowiedź: $a_4=67{,}5$

Przykład 3 Niewiadoma z warunku b^{do potęgi 2} = a·c

Dla trzech kolejnych wyrazów układasz równanie b^{do potęgi 2} = a·c i rozwiązujesz je, także gdy niewiadoma jest w dwóch wyrazach i wychodzi równanie kwadratowe.

Zadanie Trzywyrazowy ciąg $(x,\ x+3,\ 4x)$ jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Liczba $x$ jest równa

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich: $(x+3)^2=x\cdot4x$ — to jedyna zależność, bo $q$ nie jest znane.
Rozwijam i porządkuję: $x^2+6x+9=4x^2$ , czyli $3x^2-6x-9=0$ , a po podzieleniu przez $3$ : $x^2-2x-3=0$ .
Rozwiązuję: $\Delta=4+12=16$ , $x=\dfrac{2\pm4}{2}$ , więc $x=3$ lub $x=-1$ .
Warunek dodatnich wyrazów odrzuca $x=-1$ (wtedy pierwszy wyraz byłby ujemny). Dla $x=3$ ciąg to $(3,6,12)$ z $q=2$ . Odpowiedź: $x=3$ .

Odpowiedź: $x=3$

Przykład 4 Iloraz z dwóch odległych wyrazów

Z zależności aₘ = aₖ·q^(m−k) wyznaczasz q z dwóch niesąsiednich wyrazów, także gdy jeden jest podany jako wielokrotność drugiego.

Zadanie Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_2=-3$ oraz $a_5=81$ . Iloraz tego ciągu jest równy

Między drugim a piątym wyrazem są trzy mnożenia przez $q$ , więc $a_5=a_2\cdot q^{3}$ — wykładnik to różnica numerów $5-2$ , nie $5$ .
Dzielę odległe wyrazy: $q^3=\dfrac{a_5}{a_2}=\dfrac{81}{-3}=-27$ .
Szukam liczby, której sześcian to $-27$ : $q=-3$ — nieparzysta potęga zachowuje znak, więc $q$ musi być ujemne.
Kontrola: $a_3=9$ , $a_4=-27$ , $a_5=81$ . Odpowiedź: $q=-3$ .

Odpowiedź: $q=-3$

Przykład 5 Iloczyn wyrazów ciągu bez znajomości ilorazu

Korzystasz z tego, że aₖ·aₘ zależy tylko od k+m (a₁·a₅ = a₂·a₄ = a₃^{do potęgi 2}), więc iloczyn wyrazów liczysz bez znajomości q.

Zadanie Siedmiowyrazowy ciąg $(a_1,\ a_2,\ a_3,\ 3,\ a_5,\ a_6,\ a_7)$ jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy

Wyrazy zapisuję przez środkowy $a_4=3$ : $a_3=\dfrac{3}{q}$ i $a_5=3q$ , $a_2=\dfrac{3}{q^2}$ i $a_6=3q^2$ , $a_1=\dfrac{3}{q^3}$ i $a_7=3q^3$ — bo $q$ nie jest dane i nie może zostać w wyniku.
Pary wyrazów równooddalonych od środka mają stały iloczyn: $a_3\cdot a_5=\dfrac{3}{q}\cdot3q=9$ , tak samo $a_2\cdot a_6=9$ i $a_1\cdot a_7=9$ — $q$ się skraca.
Iloczyn wszystkich wyrazów to trzy takie pary razy wyraz środkowy: $9\cdot9\cdot9\cdot3=3^{7}=2187$ .
Ogólnie $a_k\cdot a_m$ zależy tylko od $k+m$ , więc iloczyn ciągu o nieparzystej liczbie wyrazów to środkowy wyraz do potęgi równej liczbie wyrazów. Odpowiedź: $2187$ .

Odpowiedź: $2187$

Przykład 6 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Liczysz Sₙ ze wzoru Sₙ = a₁·(1 − q^{do potęgi n})/(1 − q) dla q ≠ 1, a gdy dana jest suma, wracasz do n, q lub a₁.

Zadanie Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_2=-6$ oraz $a_3=18$ . Suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Do wzoru na sumę potrzebuję $a_1$ i $q$ : $q=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{18}{-6}=-3$ , a $a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{-6}{-3}=2$ .
Wzór z karty CKE dla $q\neq1$ : $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Dla $n=5$ : $S_5=2\cdot\dfrac{1-(-3)^5}{1-(-3)}$ .
Potęga: $(-3)^5=-243$ , więc licznik to $1-(-243)=244$ , a mianownik $1+3=4$ .
$S_5=2\cdot\dfrac{244}{4}=2\cdot61=122$ . Kontrola: $2-6+18-54+162=122$ . Odpowiedź: $S_5=122$ .

Odpowiedź: $S_5=122$

Najczęstsze błędy

Wykładnik $n$ zamiast $n-1$ : $a_5=a_1\cdot q^{4}$ , nie $a_1\cdot q^{5}$ .
Zły wykładnik przy dwóch odległych wyrazach: $\dfrac{a_5}{a_2}=q^{3}$ — wykładnik to różnica numerów.
Gubienie znaku przy ujemnym ilorazie: parzysta potęga daje plus, nieparzysta minus, np. $(-2)^{4}=16$ .
Zgubienie drugiego rozwiązania z $b^2=a\cdot c$ : z $x^2=36$ wychodzi $x=6$ lub $x=-6$ ; jedno odrzucamy dopiero przy dodatkowym warunku, np. dodatnich wyrazów.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_1=96$ oraz $q=\frac{1}{4}$ . Wyraz $a_4$ jest równy

Zadanie 2

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ , w którym $a_1=64$ oraz $a_2=16$ . Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 3

Trzywyrazowy ciąg $(1,\ m,\ 4m-4)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

Zadanie 4

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . W tym ciągu $a_1=250$ oraz $a_4=2$ . Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 5

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ . Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_1\cdot a_{10}=-6$ . Iloczyn $a_4\cdot a_7$ jest równy

Zadanie 6

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_1=2$ oraz $q=3$ . Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $242$ . Liczba $n$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 18

Trzywyrazowy ciąg $(27, 9, a - 1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Ciąg geometryczny — teoria MiedzianyFsor

Ciąg geometryczny — wzór ogólny, suma, sąsiedzi A po co MI ta MATMA?

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$ , gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $q$ — iloraz. Dla $a_1=3$ i $q=-2$ : $a_5=3\cdot(-2)^{4}=48$ .

Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego?

Dzielimy wyraz przez poprzedni: $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ . Gdy dane są dwa odległe wyrazy, np. $a_2=6$ i $a_5=48$ , dzielimy je: $q^3=\tfrac{48}{6}=8$ , więc $q=2$ .

Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

Dla $q\neq1$ : $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Dla $a_1=5$ i $q=2$ : $S_4=5\cdot\dfrac{1-2^4}{1-2}=75$ .

Jaki warunek spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego?

Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich: $b^2=a\cdot c$ . Dla ciągu $(2,\,x,\,18)$ : $x^2=36$ , więc $x=6$ lub $x=-6$ .

Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny?

Tak. Ujemny iloraz nie zmienia wartości bezwzględnej wyrazów, tylko ich znak — wyrazy na przemian są dodatnie i ujemne, np. dla $a_1=3$ i $q=-2$ : $3$ , $-6$ , $12$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Monotoniczność ciągu Ciągi Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi Własności ciągów w zastosowaniach Ciągi Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę

Ciąg geometryczny — wzory, iloraz, suma, przykłady i zadania

Ciąg geometryczny — wzory na wyraz, sumę i iloraz

Przykłady: n-ty wyraz, iloraz i suma ciągu

Ciąg geometryczny na maturze — na co uważać

Przykłady krok po kroku

Przykład 1 Dowolny wyraz z pierwszego wyrazu i ilorazu

Przykład 2 Iloraz z dwóch kolejnych wyrazów

Przykład 3 Niewiadoma z warunku b do potęgi 2 = a·c

Przykład 4 Iloraz z dwóch odległych wyrazów

Przykład 5 Iloczyn wyrazów ciągu bez znajomości ilorazu

Przykład 6 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Najczęstsze błędy

Sprawdź się na zadaniach

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Filmy, które pomogą

Najczęstsze pytania

Powiązane tematy

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Przykład 3 Niewiadoma z warunku b^{do potęgi 2} = a·c