Własności ciągów w zastosowaniach — wytłumaczenie, wzór i zadania

W zadaniach z treścią najpierw rozpoznajesz typ ciągu po sposobie zmiany: stała liczba dodawana (lub odejmowana) co krok to ciąg arytmetyczny, stały procent — czyli stały mnożnik $q$ — to ciąg geometryczny. Potem wybierasz wzór: na $n$-ty wyraz, gdy pytają o jeden krok (rata, rząd, rok), na sumę $S_n$, gdy pytają o wszystko razem (stos, łączna spłata, łączna produkcja), a gdy dany jest wzór na $S_n$ — wyraz odzyskujesz z różnicy $a_n = S_n - S_{n-1}$.

• Raty malejące: pierwsza 900 zł, każda następna o 40 zł mniejsza — dziesiąta rata to $a_{10} = 900 + 9\cdot(-40) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{540}}$ zł.
• Stos rur: 20 w dolnej warstwie, w każdej wyższej o 1 mniej, 11 w górnej — warstw jest $20 - 11 + 1 = 10$, a rur $S_{10} = \frac{20 + 11}{2}\cdot 10 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{155}}$.
• Dany wzór $S_n = n^2 + 4n$: piąty wyraz to $a_5 = S_5 - S_4 = 45 - 32 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{13}}$.
• Kapitał 3000 zł rośnie o $5\%$ rocznie, więc $q = 1{,}05$ — po dwóch latach $3000\cdot 1{,}05^2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3307{,}5}}$ zł.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $a_n$, $S_n$ i związek środkowego wyrazu z sąsiadami dla obu ciągów, ale sam musisz ustalić $a_1$, $r$ lub $q$ oraz liczbę wyrazów $n$ (od 20 do 11 jest 10 warstw, nie 9). W zadaniu otwartym za 2–3 pkt zapisz jawnie $a_1$, $r$ lub $q$ i wzór, z którego korzystasz — to punkt za metodę. Spadek o $p\%$ to mnożnik $1 - \frac{p}{100}$, a $S_n$ ze wzoru to suma wyrazów, nie $n$-ty wyraz.