Własności ciągów w zastosowaniach — zadania tekstowe krok po kroku

Q: Jak rozpoznać, czy w zadaniu jest ciąg arytmetyczny czy geometryczny?

Stała liczba dodawana lub odejmowana co krok to ciąg arytmetyczny, a stały procent zmiany — czyli stały mnożnik q — to ciąg geometryczny.

Q: Kiedy liczyć n-ty wyraz, a kiedy sumę ciągu?

Wzór na n-ty wyraz bierzemy, gdy pytanie dotyczy jednego kroku (raty, rzędu, roku), a wzór na sumę Sₙ — gdy dotyczy wszystkiego razem (stosu, łącznej spłaty, łącznej produkcji).

Q: Jak obliczyć wyraz ciągu, gdy dany jest wzór na sumę?

Z różnicy aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁. Dla Sₙ = n² + 4n: a₅ = S₅ - S₄ = 45 - 32 = 13. Pierwszy wyraz to a₁ = S₁.

Q: Jak obliczyć wartość po kilku latach przy stałym procencie?

Zamieniamy procent na mnożnik q i mnożymy przez niego tyle razy, ile jest lat. Kapitał 3000 zł rosnący o 5% rocznie ma q = 1,05, więc po dwóch latach: 3000· 1,05² = 3307,5 zł.

Q: Jak obliczyć liczbę rur w stosie?

Liczby rur w warstwach tworzą ciąg arytmetyczny. Przy 20 rurach na dole, o 1 mniej w każdej wyższej warstwie i 11 na górze jest 10 warstw, więc S₁₀ = (20 + 11)/2· 10 = 155 rur.

Stała liczba dodawana lub odejmowana co krok oznacza ciąg arytmetyczny, a stały procent zmiany — ciąg geometryczny o mnożniku $q$ . Gdy pytanie dotyczy jednego kroku (raty, rzędu, roku), liczymy $n$ -ty wyraz, a gdy wszystkiego razem — sumę $S_n$ .

Ciągi · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Wyraz ciągu z sumy $S_n$ — suma $n$ początkowych wyrazów; dla $n = 1$ : $a_1 = S_1$: $a_n = S_n - S_{n-1}$
Mnożnik przy spadku o p% przy wzroście o $p\%$ mnożnik to $q = 1 + \frac{p}{100}$: $1 - \frac{p}{100}$

Ciąg arytmetyczny czy geometryczny — jak rozpoznać w zadaniu

W zadaniach z treścią najpierw rozpoznajesz typ ciągu po sposobie zmiany: stała liczba dodawana (lub odejmowana) co krok to ciąg arytmetyczny, stały procent — czyli stały mnożnik $q$ — to ciąg geometryczny. Potem wybierasz wzór: na $n$ -ty wyraz, gdy pytają o jeden krok (rata, rząd, rok), na sumę $S_n$ , gdy pytają o wszystko razem (stos, łączna spłata, łączna produkcja), a gdy dany jest wzór na $S_n$ — wyraz odzyskujesz z różnicy $a_n = S_n - S_{n-1}$ .

Przykłady: raty, stos rur, wyraz z sumy, lokata

Raty malejące: pierwsza 900 zł, każda następna o 40 zł mniejsza — dziesiąta rata to $a_{10} = 900 + 9\cdot(-40) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{540}}$ zł.
Stos rur: 20 w dolnej warstwie, w każdej wyższej o 1 mniej, 11 w górnej — warstw jest $20 - 11 + 1 = 10$ , a rur $S_{10} = \frac{20 + 11}{2}\cdot 10 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{155}}$ .
Dany wzór $S_n = n^2 + 4n$ : piąty wyraz to $a_5 = S_5 - S_4 = 45 - 32 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{13}}$ .
Kapitał 3000 zł rośnie o $5\%$ rocznie, więc $q = 1{,}05$ — po dwóch latach $3000\cdot 1{,}05^2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3307{,}5}}$ zł.

Zadania z ciągami na maturze — co zapisać

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $a_n$ , $S_n$ i związek środkowego wyrazu z sąsiadami dla obu ciągów, ale sam musisz ustalić $a_1$ , $r$ lub $q$ oraz liczbę wyrazów $n$ (od 20 do 11 jest 10 warstw, nie 9). W zadaniu otwartym za 2–3 pkt zapisz jawnie $a_1$ , $r$ lub $q$ i wzór, z którego korzystasz — to punkt za metodę. Spadek o $p\%$ to mnożnik $1 - \frac{p}{100}$ , a $S_n$ ze wzoru to suma wyrazów, nie $n$ -ty wyraz.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Rata o danym numerze — ciąg arytmetyczny w praktyce

Rozpoznajesz stałą zmianę co krok, zapisujesz a₁ i r (ujemne, gdy wielkość maleje), liczysz n-ty wyraz albo numer n, dla którego wyraz ma daną wartość.

Zadanie Pan Kowalski spłaca pożyczkę w ratach malejących. Pierwsza rata wynosi 850 zł, a każda następna jest o 30 zł mniejsza od poprzedniej. Ile wynosi dwunasta rata i którą z kolei ratą jest rata równa 400 zł?

Każda rata jest o tę samą kwotę mniejsza od poprzedniej, więc raty tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1 = 850$ , $r = -30$ (minus, bo raty maleją).
Dwunasta rata to dwunasty wyraz: $a_{12} = a_1 + 11r = 850 + 11\cdot(-30) = 850 - 330 = 520$ zł.
Rata 400 zł to wyraz o nieznanym numerze $n$ : $850 + (n - 1)\cdot(-30) = 400$ , czyli $(n - 1)\cdot 30 = 450$ , więc $n - 1 = 15$ i $n = 16$ .
Sprawdzenie: $a_{16} = 850 - 15\cdot 30 = 400$ . Rata 400 zł jest szesnastą ratą.

Odpowiedź: a₁₂ = 520 zł; rata 400 zł to szesnasta rata

Przykład 2 Liczba rur w stosie — suma ciągu arytmetycznego

Liczysz łączną liczbę elementów (rur w stosie, miejsc, spłaconych rat) ze wzoru Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n, a gdy dana jest suma — wracasz do n lub r.

Zadanie Rury ułożono w stos: w najniższej warstwie leży 31 rur, w każdej wyższej warstwie o 2 rury mniej niż w warstwie pod nią, a w najwyższej warstwie leżą 3 rury. Ile rur jest w całym stosie?

Liczby rur w kolejnych warstwach (od dołu) tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1 = 31$ , $r = -2$ , a ostatni wyraz to $a_n = 3$ . Pytanie „ile rur w całym stosie” to pytanie o sumę $S_n$ .
Do wzoru na sumę potrzebna jest liczba warstw $n$ — liczę ją ze wzoru na $n$ -ty wyraz: $31 + (n - 1)\cdot(-2) = 3$ , czyli $(n - 1)\cdot 2 = 28$ , więc $n = 15$ .
Suma: $S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2}\cdot 15 = \frac{31 + 3}{2}\cdot 15 = 17\cdot 15 = 255$ .
Kontrola sensu: średnio 17 rur w warstwie razy 15 warstw — w stosie jest 255 rur.

Odpowiedź: 255 rur

Przykład 3 Wyraz ciągu z różnicy sum

Gdy dany jest wzór na sumę Sₙ, liczysz aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ dla n ≥ 2 oraz a₁ = S₁, a z a₁ i a₂ odzyskujesz r i wzór na aₙ.

Zadanie Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ wyraża się wzorem $S_n = 2n^2 - 5n$ dla każdego $n \geq 1$ . Oblicz pierwszy i piąty wyraz tego ciągu.

$S_5$ to suma pięciu pierwszych wyrazów, a $S_4$ — czterech; różnią się dokładnie o piąty wyraz, więc $a_5 = S_5 - S_4$ .
$S_5 = 2\cdot 25 - 5\cdot 5 = 50 - 25 = 25$ oraz $S_4 = 2\cdot 16 - 5\cdot 4 = 32 - 20 = 12$ .
$a_5 = 25 - 12 = 13$ .
Pierwszy wyraz to suma jednego wyrazu: $a_1 = S_1 = 2 - 5 = -3$ . (Kontrola: $a_2 = S_2 - S_1 = -2 - (-3) = 1$ , więc $r = 4$ i $a_5 = -3 + 4\cdot 4 = 13$ .)

Odpowiedź: a₁ = −3, a₅ = 13

Przykład 4 Stały procent zmiany jako ciąg geometryczny

Stały procent zmiany zamieniasz na mnożnik q (wzrost o p% → q = 1 + p/100, spadek → q = 1 − p/100) i liczysz wartość po n okresach jako stan początkowy · q^{do potęgi n}, albo odzyskujesz q lub stan początkowy.

Zadanie Samochód kupiono za 80 000 zł. Co roku jego wartość spada o 10% w stosunku do wartości z poprzedniego roku. Ile będzie wart samochód po trzech latach i o ile procent łącznie spadnie jego wartość w ciągu tych trzech lat?

Spadek o 10% co roku oznacza, że każda kolejna wartość to 90% poprzedniej — kolejne wartości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = 0{,}9$ .
Trzy lata to trzy mnożenia przez $q$ : wartość po trzech latach to $80\,000\cdot 0{,}9^3 = 80\,000\cdot 0{,}729 = 58\,320$ zł.
Łączny spadek to różnica między 1 a łącznym mnożnikiem: $1 - 0{,}729 = 0{,}271$ , czyli $27{,}1\%$ .
To mniej niż $3\cdot 10\% = 30\%$ , bo każdy kolejny spadek liczy się od coraz mniejszej kwoty — procentów z kolejnych okresów nie dodaje się.

Odpowiedź: 58 320 zł; łączny spadek o 27,1%

Przykład 5 Łączna produkcja — suma ciągu geometrycznego

Łączną wielkość z n okresów, gdy co okres rośnie lub maleje o stały procent, liczysz ze wzoru Sₙ = a₁·(1 − q^{do potęgi n})/(1 − q), a z danej sumy odzyskujesz a₁.

Zadanie Firma w pierwszym roku działalności wyprodukowała 4000 sztuk, a w każdym następnym roku produkcja była o 20% większa niż w roku poprzednim. Ile sztuk firma wyprodukowała łącznie w ciągu pierwszych czterech lat?

Roczne produkcje tworzą ciąg geometryczny: $a_1 = 4000$ , $q = 1{,}2$ . Pytanie „łącznie w ciągu czterech lat” to pytanie o sumę $S_4$ , nie o czwarty wyraz.
Potrzebna jest potęga ilorazu: $q^4 = 1{,}2^4 = 1{,}44^2 = 2{,}0736$ .
Ze wzoru z karty: $S_4 = a_1\cdot\frac{1 - q^4}{1 - q} = 4000\cdot\frac{1 - 2{,}0736}{1 - 1{,}2} = 4000\cdot\frac{-1{,}0736}{-0{,}2} = 4000\cdot 5{,}368 = 21\,472$ .
Kontrola przez dodanie wyrazów: $4000 + 4800 + 5760 + 6912 = 21\,472$ sztuk.

Odpowiedź: 21 472 sztuki

Przykład 6 Trzy liczby z dwoma warunkami

Zapisujesz warunek środkowego wyrazu (2b = a + c albo b^{do potęgi 2} = a·c), dokładasz drugi warunek z treści (suma, drugi ciąg) i rozwiązujesz układ.

Zadanie Liczby $x$ , $y$ , $21$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym $x + y = 6$ . Oblicz $x$ i $y$ .

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego to średnia sąsiadów, więc pierwsze równanie to $2y = x + 21$ .
Drugie równanie daje treść: $x + y = 6$ , czyli $y = 6 - x$ — podstawiam je do pierwszego, żeby zostać z jedną niewiadomą.
$2(6 - x) = x + 21$ , czyli $12 - 2x = x + 21$ , stąd $-3x = 9$ i $x = -3$ .
$y = 6 - (-3) = 9$ . Sprawdzenie: $(-3, 9, 21)$ ma $r = 12$ — jest arytmetyczny, a $-3 + 9 = 6$ .

Odpowiedź: x = −3, y = 9

Najczęstsze błędy

Zła liczba wyrazów: od warstwy z $20$ rurami do warstwy z $11$ rurami jest $20 - 11 + 1 = 10$ warstw, nie $9$ .
Pomylenie $S_n$ z $n$ -tym wyrazem. Gdy dany jest wzór na $S_n$ , wyraz liczymy z różnicy: $a_5 = S_5 - S_4$ .
Zły mnożnik przy spadku: spadek o $p\%$ to $q = 1 - \frac{p}{100}$ , np. spadek o $10\%$ daje $q = 0{,}9$ .
Dodawanie procentów z kolejnych lat. Trzy spadki o $10\%$ dają łącznie $1 - 0{,}9^3 = 0{,}271$ , czyli $27{,}1\%$ , a nie $30\%$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wartość księgowa maszyny maleje co roku o tę samą kwotę. Po pierwszym roku użytkowania maszyna była warta 54 000 zł, a po czwartym roku 39 000 zł. Po siódmym roku użytkowania wartość maszyny będzie równa:

Zadanie 2

Kłody drewna ułożono w stos tak, że w najniższej warstwie leży 20 kłód, w każdej wyższej warstwie o jedną kłodę mniej niż w warstwie pod nią, a w najwyższej warstwie leży 8 kłód. Ile kłód jest w stosie?

Zadanie 3

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_n = n^2 - 4n$ . Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy:

Zadanie 4

Liczba bakterii w hodowli rośnie co godzinę o ten sam procent. O godzinie 8:00 w hodowli było 2000 bakterii, a o godzinie 10:00 — 2420. O ile procent rośnie liczba bakterii co godzinę?

Zadanie 5

Firma w pierwszym roku działalności wyprodukowała 6000 sztuk, a w każdym następnym roku o 10% więcej niż w roku poprzednim. Łączna produkcja firmy w ciągu pierwszych trzech lat jest równa:

Zadanie 6

Trzywyrazowy ciąg $(2,\ x,\ 18)$ jest geometryczny, przy czym $x < 0$ . Wtedy $x$ jest równe:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 17

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_{n} = n^{2} + 2n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zadanie otwarte za 5 punktów — ciąg arytmetyczny Matemaks

Procent składany jako ciąg geometryczny PATOMATMA

Najczęstsze pytania

Jak rozpoznać, czy w zadaniu jest ciąg arytmetyczny czy geometryczny?

Stała liczba dodawana lub odejmowana co krok to ciąg arytmetyczny, a stały procent zmiany — czyli stały mnożnik $q$ — to ciąg geometryczny.

Kiedy liczyć n-ty wyraz, a kiedy sumę ciągu?

Wzór na $n$ -ty wyraz bierzemy, gdy pytanie dotyczy jednego kroku (raty, rzędu, roku), a wzór na sumę $S_n$ — gdy dotyczy wszystkiego razem (stosu, łącznej spłaty, łącznej produkcji).

Jak obliczyć wyraz ciągu, gdy dany jest wzór na sumę?

Z różnicy $a_n = S_n - S_{n-1}$ . Dla $S_n = n^2 + 4n$ : $a_5 = S_5 - S_4 = 45 - 32 = 13$ . Pierwszy wyraz to $a_1 = S_1$ .

Jak obliczyć wartość po kilku latach przy stałym procencie?

Zamieniamy procent na mnożnik $q$ i mnożymy przez niego tyle razy, ile jest lat. Kapitał $3000$ zł rosnący o $5\%$ rocznie ma $q = 1{,}05$ , więc po dwóch latach: $3000\cdot 1{,}05^2 = 3307{,}5$ zł.

Jak obliczyć liczbę rur w stosie?

Liczby rur w warstwach tworzą ciąg arytmetyczny. Przy $20$ rurach na dole, o $1$ mniej w każdej wyższej warstwie i $11$ na górze jest $10$ warstw, więc $S_{10} = \frac{20 + 11}{2}\cdot 10 = 155$ rur.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Monotoniczność ciągu Ciągi Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę