Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — wytłumaczenie, wzór i zadania

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^{x}$ ($a>0$, $a\neq1$) ma zmienną w wykładniku: dla $a>1$ rośnie, dla $0<a<1$ maleje, zawsze przechodzi przez $(0,1)$ i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja logarytmiczna $g(x)=\log_a x$ jest do niej odwrotna: $\log_a x$ to wykładnik, do którego podnosisz $a$, by dostać $x$ — określona tylko dla $x>0$, przechodzi przez $(1,0)$. Wielkość zmieniającą się o stały procent opisuje model $N(t)=N_0\cdot a^{t}$.

• $f(x)=\left(\tfrac13\right)^{x}$: $f(-2)=3^{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}$ — ujemny wykładnik odwraca podstawę, nie zmienia znaku.
• Punkt $(2,25)$ leży na wykresie $y=a^{x}$: $a^{2}=25$, więc $a=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$.
• $\log_2\tfrac{1}{16}$: skoro $2^{-4}=\tfrac{1}{16}$, wynik to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}$.
• Lokata $1000$ zł na $3\%$ rocznie: po $2$ latach $1000\cdot1{,}03^{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1060{,}90}}$ zł. Bakterie podwajające się co $4$ h, z $100$ do $1600$: $2^{k}=16$, $k=4$ podwojenia, czyli $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{16}}$ h.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje definicję logarytmu i wzory na $\log_a(x\cdot y)$, $\log_a\tfrac{x}{y}$, $\log_a x^{r}$ — nie podaje własności wykresów, więc monotoniczność, punkt $(0,1)$ i dodatniość $a^{x}$ musisz pamiętać. Zadanie zamknięte to zwykle „punkt należy do wykresu $y=a^{x}$, wyznacz $a$” albo wartość $f(-2)$ dla podstawy ułamkowej — pułapka: $\left(\tfrac12\right)^{-3}=8$, nie $-8$. W zadaniach praktycznych (lokata, populacja, rozpad) mnożnik to $1+\tfrac{p}{100}$ przy wzroście i $1-\tfrac{p}{100}$ przy spadku, a czas wyznaczasz, zapisując iloraz $\tfrac{N}{N_0}$ jako potęgę podstawy.