Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — wykres, własności i zastosowania

Q: Kiedy funkcja wykładnicza jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja f(x)=aˣ jest rosnąca dla a>1 i malejąca dla 0 f(0)>f(5).

Q: Przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji wykładniczej?

Zawsze przez (0,1), bo a⁰=1. Wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX, bo funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji g(x)=logₐ x przechodzi przez (1,0).

Q: Jak wyznaczyć podstawę funkcji wykładniczej z punktu na wykresie?

Wstawiamy współrzędne punktu do wzoru y=aˣ. Punkt (2,25) daje a²=25, a ponieważ podstawa jest dodatnia, a=5.

Q: Co to jest funkcja logarytmiczna?

To funkcja g(x)=logₐ x odwrotna do wykładniczej: logₐ x to wykładnik, do którego podnosimy a, by dostać x. Jest określona tylko dla x>0, np. log₂ 1/16=-4, bo 2⁻⁴=1/16.

Q: Jak obliczyć kapitał na lokacie po kilku latach?

Kapitał mnożymy przez 1+p/100 tyle razy, ile jest lat: N(t)=N₀· aᵗ. Dla 1000 zł na 3% po 2 latach: 1000·1,03²=1060,90 zł.

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^{x}$ ( $a>0$ , $a\neq1$ ) dla $a>1$ rośnie, dla $0<a<1$ maleje, przechodzi przez $(0,1)$ i ma tylko wartości dodatnie. Funkcja logarytmiczna $g(x)=\log_a x$ jest do niej odwrotna: jest określona dla $x>0$ i przechodzi przez $(1,0)$ .

Funkcje · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Funkcja wykładnicza $a$ — podstawa, $a>0$ , $a\neq1$ ; dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0<a<1$ maleje: $f(x)=a^{x}$
Funkcja logarytmiczna określona dla $x>0$ ; $\log_a x$ to wykładnik, do którego podnosimy $a$ , by dostać $x$: $g(x)=\log_a x$
Model zmiany o stały procent $N_0$ — wartość początkowa, $a$ — mnożnik ( $1+\tfrac{p}{100}$ przy wzroście, $1-\tfrac{p}{100}$ przy spadku), $t$ — liczba okresów: $N(t)=N_0\cdot a^{t}$

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — definicja i własności

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^{x}$ ( $a>0$ , $a\neq1$ ) ma zmienną w wykładniku: dla $a>1$ rośnie, dla $0<a<1$ maleje, zawsze przechodzi przez $(0,1)$ i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja logarytmiczna $g(x)=\log_a x$ jest do niej odwrotna: $\log_a x$ to wykładnik, do którego podnosisz $a$ , by dostać $x$ — określona tylko dla $x>0$ , przechodzi przez $(1,0)$ . Wielkość zmieniającą się o stały procent opisuje model $N(t)=N_0\cdot a^{t}$ .

Przykłady: wartość funkcji, podstawa z punktu, lokata, podwajanie

$f(x)=\left(\tfrac13\right)^{x}$ : $f(-2)=3^{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{9}}$ — ujemny wykładnik odwraca podstawę, nie zmienia znaku.
Punkt $(2,25)$ leży na wykresie $y=a^{x}$ : $a^{2}=25$ , więc $a=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ .
$\log_2\tfrac{1}{16}$ : skoro $2^{-4}=\tfrac{1}{16}$ , wynik to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}$ .
Lokata $1000$ zł na $3\%$ rocznie: po $2$ latach $1000\cdot1{,}03^{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1060{,}90}}$ zł. Bakterie podwajające się co $4$ h, z $100$ do $1600$ : $2^{k}=16$ , $k=4$ podwojenia, czyli $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{16}}$ h.

Funkcja wykładnicza na maturze — pułapki

Na maturze: karta wzorów CKE podaje definicję logarytmu i wzory na $\log_a(x\cdot y)$ , $\log_a\tfrac{x}{y}$ , $\log_a x^{r}$ — nie podaje własności wykresów, więc monotoniczność, punkt $(0,1)$ i dodatniość $a^{x}$ musisz pamiętać. Zadanie zamknięte to zwykle „punkt należy do wykresu $y=a^{x}$ , wyznacz $a$ ” albo wartość $f(-2)$ dla podstawy ułamkowej — pułapka: $\left(\tfrac12\right)^{-3}=8$ , nie $-8$ . W zadaniach praktycznych (lokata, populacja, rozpad) mnożnik to $1+\tfrac{p}{100}$ przy wzroście i $1-\tfrac{p}{100}$ przy spadku, a czas wyznaczasz, zapisując iloraz $\tfrac{N}{N_0}$ jako potęgę podstawy.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość funkcji wykładniczej dla ujemnego wykładnika

Podstawiasz argument do wzoru y = aˣ i liczysz potęgę, także dla wykładnika ujemnego lub ułamkowego oraz podstawy będącej ułamkiem.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\left(\tfrac23\right)^{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Oblicz $f(-2)\cdot f(3)$ .

Ujemny wykładnik odwraca podstawę (znak wyniku zostaje dodatni): $f(-2)=\left(\tfrac23\right)^{-2}=\left(\tfrac32\right)^{2}=\tfrac94$ .
Wykładnik dodatni to zwykła potęga ułamka — potęgujesz licznik i mianownik osobno: $f(3)=\left(\tfrac23\right)^{3}=\tfrac{8}{27}$ .
Mnożysz wyniki: $\tfrac94\cdot\tfrac{8}{27}=\tfrac{72}{108}=\tfrac23$ .
Kontrola bez rachunku na ułamkach: potęgi o tej samej podstawie mnożysz, dodając wykładniki, $\left(\tfrac23\right)^{-2+3}=\left(\tfrac23\right)^{1}=\tfrac23$ — zgadza się.

Odpowiedź: $f(-2)\cdot f(3)=\tfrac23$

Przykład 2 Podstawa funkcji wykładniczej z punktu na wykresie

Z punktu (x₀, y₀) należącego do wykresu y = aˣ układasz równanie a^x₀ = y₀, wyznaczasz podstawę a i liczysz z niej inne wartości funkcji.

Zadanie Punkt $A=(-2,16)$ należy do wykresu funkcji wykładniczej $f(x)=a^{x}$ , gdzie $a>0$ . Wyznacz $a$ i oblicz $f(3)$ .

Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór: $a^{-2}=16$ .
Ujemny wykładnik zamieniasz na ułamek: $\tfrac{1}{a^{2}}=16$ , stąd $a^{2}=\tfrac{1}{16}$ .
Podstawa jest dodatnia, więc z dwóch pierwiastków bierzesz $a=\tfrac14$ (sprawdzenie: $\left(\tfrac14\right)^{-2}=4^{2}=16$ ).
Znając wzór $f(x)=\left(\tfrac14\right)^{x}$ , liczysz $f(3)=\left(\tfrac14\right)^{3}=\tfrac{1}{64}$ .

Odpowiedź: $a=\tfrac14$ , $f(3)=\tfrac{1}{64}$

Przykład 3 Monotoniczność i własności wykresu funkcji wykładniczej

Z podstawy odczytujesz, czy y = aˣ rośnie, czy maleje, korzystasz z punktu (0, 1), dodatniości wartości i asymptoty y = 0, by porównywać wartości i wskazywać zbiór wartości.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\left(\tfrac34\right)^{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Która z liczb $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(5)$ jest największa? Czy wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $OX$ ?

Podstawa $\tfrac34$ leży w przedziale $(0,1)$ , więc $f$ jest malejąca: im większy argument, tym mniejsza wartość.
Z monotoniczności od razu wynika kolejność: $f(-2)>f(0)>f(5)$ , więc największa jest $f(-2)$ ; dla kontroli $f(-2)=\left(\tfrac43\right)^{2}=\tfrac{16}{9}>1=f(0)$ .
Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $f(x)>0$ dla każdego $x$ — wykres nie ma punktu wspólnego z osią $OX$ .
Dla dużych $x$ wartości $\left(\tfrac34\right)^{x}$ są coraz bliższe zera: wykres zbliża się do osi $OX$ (prosta $y=0$ jest asymptotą), ale jej nie dotyka.

Odpowiedź: Największa jest $f(-2)=\tfrac{16}{9}$ ; wykres nie ma punktów wspólnych z osią $OX$ .

Przykład 4 Wartości funkcji logarytmicznej

Liczysz wartość y = log_a x, pytając, do której potęgi podnieść a, by dostać x (także dla x < 1 lub x = √a), wyznaczasz dziedzinę z warunku „argument logarytmu dodatni” i argument z danej wartości.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\log_{3}x$ dla każdego $x>0$ . Oblicz $f(81)-f\!\left(\tfrac19\right)$ .

$f(81)=\log_3 81$ to pytanie: do której potęgi podnieść $3$ , by dostać $81$ ? Ponieważ $3^{4}=81$ , to $f(81)=4$ .
Argument mniejszy od $1$ daje ujemny logarytm: $\tfrac19=\tfrac{1}{3^{2}}=3^{-2}$ , więc $f\!\left(\tfrac19\right)=-2$ .
Odejmujesz, pilnując znaku: $4-(-2)=6$ .
Kontrola przez wzór z karty CKE: $\log_3 81-\log_3\tfrac19=\log_3\left(81\cdot9\right)=\log_3 729=6$ , bo $3^{6}=729$ .

Odpowiedź: $f(81)-f\!\left(\tfrac19\right)=6$

Przykład 5 Lokata i zmiana procentowa — model wykładniczy

Zapisujesz zmianę o p procent jako mnożnik 1 + p/100 lub 1 − p/100 i liczysz wartość po t okresach ze wzoru N(t) = N₀ · aᵗ.

Zadanie Kapitał $4000$ zł ulokowano na lokacie oprocentowanej $5\%$ w skali roku, z roczną kapitalizacją odsetek. Ile złotych będzie na lokacie po trzech latach (pomijamy podatek)?

Odsetki dopisują się do kapitału, więc co roku mnożysz stan konta przez ten sam mnożnik: $1+\tfrac{5}{100}=1{,}05$ .
Po $t$ latach kapitał opisuje wzór $N(t)=4000\cdot1{,}05^{t}$ — mnożnik działa $t$ razy, a nie raz.
Dla $t=3$ liczysz potęgę: $1{,}05^{3}=1{,}157625$ .
Stan lokaty: $4000\cdot1{,}157625=4630{,}50$ zł.

Odpowiedź: $4630{,}50$ zł

Przykład 6 Czas podwojenia i okres półtrwania

Z ilorazu wartości końcowej i początkowej zapisanego jako potęga podstawy odczytujesz liczbę okresów i zamieniasz ją na czas.

Zadanie Masa próbki pierwiastka promieniotwórczego maleje zgodnie ze wzorem $m(t)=200\cdot\left(\tfrac12\right)^{\frac{t}{8}}$ , gdzie $m$ jest wyrażone w gramach, a $t$ — w dniach. Po ilu dniach masa próbki zmaleje do $25$ g?

Dzielisz masę końcową przez początkową — tyle części próbki zostaje: $\tfrac{25}{200}=\tfrac18$ .
Iloraz zapisujesz jako potęgę podstawy modelu: $\tfrac18=\left(\tfrac12\right)^{3}$ .
Skoro podstawy są równe, porównujesz wykładniki: $\tfrac{t}{8}=3$ .
Stąd $t=24$ dni — liczba $8$ we wzorze to okres półtrwania, a próbka połowiła się trzy razy.

Odpowiedź: $24$ dni

Najczęstsze błędy

Zmiana znaku przy ujemnym wykładniku: $\left(\tfrac12\right)^{-3}=8$ , nie $-8$ — ujemny wykładnik odwraca podstawę, a nie zmienia znaku.
Mnożnik użyty tylko raz. Po $t$ okresach wartość to $N_0\cdot a^{t}$ , np. lokata $1000$ zł na $3\%$ po $2$ latach daje $1000\cdot1{,}03^{2}=1060{,}90$ zł.
Zły mnożnik przy spadku: przy spadku o $p\%$ mnożnik to $1-\tfrac{p}{100}$ , a przy wzroście $1+\tfrac{p}{100}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=3^{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Wartość $f(-3)$ jest równa:

Zadanie 2

Punkt $(-1,3)$ należy do wykresu funkcji wykładniczej $f(x)=a^{x}$ . Wtedy $a$ jest równe:

Zadanie 3

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=0{,}8^{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 4

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\log_{2}x$ dla każdego $x>0$ . Wartość $f\!\left(\tfrac18\right)$ jest równa:

Zadanie 5

Miasteczko liczy obecnie $8000$ mieszkańców, a ich liczba maleje co roku o $4\%$ . Liczbę mieszkańców po $t$ latach opisuje wzór:

Zadanie 6

Liczbę użytkowników pewnej aplikacji opisuje wzór $N(t)=300\cdot3^{t}$ , gdzie $t$ oznacza liczbę miesięcy od premiery. Aplikacja będzie miała $24\,300$ użytkowników po:

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą Matura 2023 — matematyka, poziom podstawowy, termin dodatkowy (czerwiec) · zadanie 15.1

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — wykresy i zadania Aleksandra Augustyn

Funkcja wykładnicza — własności i wykres A po co MI ta MATMA?

Najczęstsze pytania

Kiedy funkcja wykładnicza jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja $f(x)=a^{x}$ jest rosnąca dla $a>1$ i malejąca dla $0<a<1$ . Na przykład $f(x)=\left(\tfrac34\right)^{x}$ maleje, więc $f(-2)>f(0)>f(5)$ .

Przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji wykładniczej?

Zawsze przez $(0,1)$ , bo $a^{0}=1$ . Wykres nie ma punktów wspólnych z osią $OX$ , bo funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji $g(x)=\log_a x$ przechodzi przez $(1,0)$ .

Jak wyznaczyć podstawę funkcji wykładniczej z punktu na wykresie?

Wstawiamy współrzędne punktu do wzoru $y=a^{x}$ . Punkt $(2,25)$ daje $a^{2}=25$ , a ponieważ podstawa jest dodatnia, $a=5$ .

Co to jest funkcja logarytmiczna?

To funkcja $g(x)=\log_a x$ odwrotna do wykładniczej: $\log_a x$ to wykładnik, do którego podnosimy $a$ , by dostać $x$ . Jest określona tylko dla $x>0$ , np. $\log_2\tfrac{1}{16}=-4$ , bo $2^{-4}=\tfrac{1}{16}$ .

Jak obliczyć kapitał na lokacie po kilku latach?

Kapitał mnożymy przez $1+\tfrac{p}{100}$ tyle razy, ile jest lat: $N(t)=N_0\cdot a^{t}$ . Dla $1000$ zł na $3\%$ po $2$ latach: $1000\cdot1{,}03^{2}=1060{,}90$ zł.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Odczytywanie własności z wykresu Funkcje Pojęcie funkcji Funkcje Przesunięcia wykresu funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę