Przesunięcia wykresu funkcji — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wykres funkcji $y=f(x-a)$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty wzdłuż osi $Ox$ o $a$ (w prawo dla $a>0$, w lewo dla $a<0$), a wykres $y=f(x)+b$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty wzdłuż osi $Oy$ o $b$ (w górę dla $b>0$, w dół dla $b<0$). Punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi odpowiednio na $(x_0+a,\,y_0)$ albo na $(x_0,\,y_0+b)$.

• $y=f(x-2)$: wykres w prawo o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$; punkt $(1,5)$ przechodzi na $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(3,5)}}$.
• $y=f(x+4)$: wykres w lewo o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ — znak przy $x$ działa „odwrotnie”.
• $y=f(x)-3$: wykres w dół o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$; punkt $(1,5)$ przechodzi na $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(1,2)}}$.
• $f(x)=3x+1$, $g(x)=f(x-2)=3(x-2)+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3x-5}}$ — nowy wzór dostajesz, wstawiając $x-2$ w miejsce $x$.

Na maturze: zadanie za 1 pkt podaje wzór $g(x)=f(x-a)$ albo opis „przesunięto o … w prawo / w górę” i pyta o wierzchołek, oś symetrii, miejsce zerowe lub wzór $g$. Przesunięcie wzdłuż $Ox$ zmienia tylko pierwsze współrzędne (wierzchołek, miejsca zerowe, oś symetrii), wzdłuż $Oy$ — tylko drugie (zbiór wartości, wartość największą). Najczęstsza pułapka: $f(x-5)$ to przesunięcie w PRAWO o 5, nie w lewo; sprawdź na jednym punkcie, np. $g(5)=f(0)$.