Przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi Ox i Oy

Q: Jak przesunąć wykres funkcji w prawo lub w lewo?

Zamień x na x-a: wykres y=f(x-a) jest przesunięty o a w prawo dla a>0 i w lewo dla a<0. Np. y=f(x-2) to przesunięcie o 2 w prawo, a y=f(x+4) — o 4 w lewo.

Q: Jak przesunąć wykres funkcji w górę lub w dół?

Dodaj liczbę do wzoru: y=f(x)+b przesuwa wykres o b w górę dla b>0 i w dół dla b<0. Przy y=f(x)-3 punkt (1,5) przechodzi na (1,2).

Q: Co to jest przesunięcie wykresu o wektor?

To złożenie obu przesunięć: wykres y=f(x-a)+b powstaje z wykresu f przez przesunięcie o wektor [a,b] — pierwsza współrzędna każdego punktu rośnie o a, druga o b.

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji po przesunięciu wykresu?

Przy przesunięciu wzdłuż Ox wstaw x-a w miejsce x, przy przesunięciu wzdłuż Oy dodaj b do wzoru. Dla f(x)=3x+1 i przesunięcia o 2 w prawo: g(x)=3(x-2)+1=3x-5.

Q: Jak zmienia się wierzchołek paraboli po przesunięciu?

Przesuwa się razem z wykresem: przy g(x)=f(x-a)+b wierzchołek (x₀, y₀) przechodzi na (x₀+a, y₀+b). Np. wierzchołek (1,2) przy g(x)=f(x+3)+1 przechodzi na (-2,3).

Wykres $y=f(x-a)$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty wzdłuż osi $Ox$ o $a$ (w prawo dla $a>0$ , w lewo dla $a<0$ ), a wykres $y=f(x)+b$ — przesunięty wzdłuż osi $Oy$ o $b$ (w górę dla $b>0$ , w dół dla $b<0$ ).

Funkcje · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Przesunięcie wzdłuż osi Ox $a>0$ — w prawo o $a$ , $a<0$ — w lewo; punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi na $(x_0+a,\,y_0)$: $y=f(x-a)$
Przesunięcie wzdłuż osi Oy $b>0$ — w górę o $b$ , $b<0$ — w dół; punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi na $(x_0,\,y_0+b)$: $y=f(x)+b$

Jak przesunąć wykres funkcji

Wykres funkcji $y=f(x-a)$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty wzdłuż osi $Ox$ o $a$ (w prawo dla $a>0$ , w lewo dla $a<0$ ), a wykres $y=f(x)+b$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty wzdłuż osi $Oy$ o $b$ (w górę dla $b>0$ , w dół dla $b<0$ ). Punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi odpowiednio na $(x_0+a,\,y_0)$ albo na $(x_0,\,y_0+b)$ .

$y=f(x-2)$ : wykres w prawo o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ ; punkt $(1,5)$ przechodzi na $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(3,5)}}$ .
$y=f(x+4)$ : wykres w lewo o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ — znak przy $x$ działa „odwrotnie”.
$y=f(x)-3$ : wykres w dół o $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$ ; punkt $(1,5)$ przechodzi na $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(1,2)}}$ .
$f(x)=3x+1$ , $g(x)=f(x-2)=3(x-2)+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3x-5}}$ — nowy wzór dostajesz, wstawiając $x-2$ w miejsce $x$ .

Przesunięcia wykresu na maturze

Na maturze: zadanie za 1 pkt podaje wzór $g(x)=f(x-a)$ albo opis „przesunięto o … w prawo / w górę” i pyta o wierzchołek, oś symetrii, miejsce zerowe lub wzór $g$ . Przesunięcie wzdłuż $Ox$ zmienia tylko pierwsze współrzędne (wierzchołek, miejsca zerowe, oś symetrii), wzdłuż $Oy$ — tylko drugie (zbiór wartości, wartość największą). Najczęstsza pułapka: $f(x-5)$ to przesunięcie w PRAWO o 5, nie w lewo; sprawdź na jednym punkcie, np. $g(5)=f(0)$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Przesunięcie wzdłuż osi Ox — nowy wierzchołek paraboli

Rozpoznajesz, że y = f(x − a) przesuwa wykres o a w prawo (f(x + a) — w lewo), i przenosisz punkt (x₀, y₀) na (x₀ + a, y₀).

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(4,-2)$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x+6)$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $g$ .

Zapisuję $g(x)=f(x+6)=f(x-(-6))$ , więc $a=-6$ : wykres $f$ przesuwam wzdłuż osi $Ox$ o $6$ jednostek w lewo (znak przy $x$ działa odwrotnie).
Przesunięcie wzdłuż $Ox$ zmienia tylko pierwszą współrzędną każdego punktu: $x_W'=4-6=-2$ .
Druga współrzędna zostaje bez zmian: $y_W'=-2$ .
Sprawdzam na wzorze: $g(-2)=f(-2+6)=f(4)=-2$ , więc wierzchołek wykresu $g$ to $(-2,-2)$ .

Odpowiedź: $W_g=(-2,-2)$

Przykład 2 Przesunięcie wzdłuż osi Oy — zbiór wartości

Rozpoznajesz, że y = f(x) + b przesuwa wykres o b w górę (f(x) − b — w dół), i przenosisz punkt (x₀, y₀) na (x₀, y₀ + b) oraz zbiór wartości o b.

Zadanie Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą równą $3$ dla argumentu $x=-2$ , a jej zbiorem wartości jest przedział $(-\infty, 3\rangle$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x)-5$ . Podaj wartość największą funkcji $g$ , argument, dla którego jest ona przyjmowana, oraz zbiór wartości funkcji $g$ .

$g(x)=f(x)-5$ : od każdej wartości funkcji odejmuję $5$ , więc wykres $f$ przesuwam wzdłuż osi $Oy$ o $5$ jednostek w dół.
Przesunięcie pionowe nie zmienia argumentów — najwyższy punkt wykresu nadal leży nad $x=-2$ .
Wartość największa obniża się o $5$ : $g(-2)=f(-2)-5=3-5=-2$ .
Cały zbiór wartości przesuwa się o $5$ w dół: $(-\infty,\,3-5\rangle=(-\infty,-2\rangle$ .

Odpowiedź: $g_{\max}=-2$ dla $x=-2$ ; $ZW_g=(-\infty,-2\rangle$

Przykład 3 Wzór funkcji po przesunięciu wykresu

Wyznaczasz wzór g, wstawiając x − a w miejsce x (przesunięcie wzdłuż Ox) albo dodając b do wzoru (przesunięcie wzdłuż Oy), i upraszczasz.

Zadanie Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-3x+4$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ i otrzymano wykres funkcji liniowej $g$ . Wyznacz wzór funkcji $g$ .

Przesunięcie w lewo o $2$ to $a=-2$ , więc $g(x)=f(x-(-2))=f(x+2)$ .
W miejsce $x$ we wzorze $f$ wstawiam całe wyrażenie $x+2$ : $g(x)=-3(x+2)+4$ .
Upraszczam: $g(x)=-3x-6+4=-3x-2$ .
Sprawdzam na punkcie: $f(0)=4$ , więc punkt $(0,4)$ przechodzi na $(-2,4)$ ; $g(-2)=-3\cdot(-2)-2=4$ — zgadza się.

Odpowiedź: $g(x)=-3x-2$

Przykład 4 Miejsca zerowe i oś symetrii po przesunięciu

Przenosisz miejsca zerowe, oś symetrii i przedziały monotoniczności o a, gdy g(x) = f(x − a), a wartości funkcji zostawiasz bez zmian.

Zadanie Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^2+bx+c$ , gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $-1$ oraz $5$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x+4)$ . Wyznacz miejsca zerowe funkcji $g$ oraz równanie osi symetrii jej wykresu.

Zapisuję $g(x)=f(x+4)=f\big(x-(-4)\big)$ , więc wykres funkcji $f$ przesuwam o $4$ jednostki w lewo.
Przesunięcie poziome zmienia tylko pierwsze współrzędne, więc każde miejsce zerowe maleje o $4$ : $-1-4=-5$ oraz $5-4=1$ .
Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi, dla $f$ jest to $x=\frac{-1+5}{2}=2$ .
Oś symetrii przesuwa się razem z wykresem: $x=2-4=-2$ .

Odpowiedź: miejsca zerowe: $-5$ i $1$ ; oś symetrii: $x=-2$

Przykład 5 Jak zapisać przesunięcie, znając oba wykresy

Porównujesz odpowiadające sobie punkty albo wzory funkcji f i g i zapisujesz przesunięcie jako g(x) = f(x − a) lub g(x) = f(x) + b.

Zadanie Wykresem funkcji $f$ jest łamana o końcach $A=(-2,3)$ oraz $B=(4,-1)$ . Wykres funkcji $g$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $Ox$ i jest łamaną o końcach $A'=(1,3)$ oraz $B'=(7,-1)$ . Zapisz wzór funkcji $g$ za pomocą funkcji $f$ .

Drugie współrzędne odpowiadających sobie punktów są takie same ( $3$ i $-1$ ), więc przesunięcie jest wyłącznie poziome.
Porównuję pierwsze współrzędne: $1-(-2)=3$ oraz $7-4=3$ — obie rosną o tyle samo, czyli wykres przesunięto o $3$ jednostki w prawo.
Przesunięcie o $a$ jednostek w prawo zapisuję jako $g(x)=f(x-a)$ , więc podstawiam $a=3$ .

Odpowiedź: $g(x)=f(x-3)$

Przykład 6 Przesunięcie o wektor: f(x − a) + b

Składasz oba przesunięcia naraz: pierwsza współrzędna punktu rośnie o a, druga o b, a cały wykres przesuwa się o wektor [a, b].

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku $W=(-2,5)$ . Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x-3)-8$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $g$ .

Podstawienie $x-3$ przesuwa wykres o $3$ jednostki w prawo, więc pierwsza współrzędna wierzchołka rośnie: $-2+3=1$ .
Odjęcie $8$ od wartości funkcji przesuwa wykres o $8$ jednostek w dół, więc druga współrzędna maleje: $5-8=-3$ .
Oba ruchy składają się w przesunięcie o wektor $[3,-8]$ , więc wierzchołek przechodzi na $(1,-3)$ .

Odpowiedź: $W'=(1,-3)$

Najczęstsze błędy

Przesunięcie wykresu $f(x-5)$ w lewo. Znak przy $x$ działa odwrotnie: $f(x-5)$ to przesunięcie w prawo o $5$ , a $f(x+4)$ — w lewo o $4$ . Sprawdź na jednym punkcie, np. $g(5)=f(0)$ .
Zmiana obu współrzędnych przy przesunięciu poziomym. Przesunięcie wzdłuż $Ox$ zmienia tylko pierwsze współrzędne (wierzchołek, miejsca zerowe, oś symetrii), wzdłuż $Oy$ — tylko drugie (zbiór wartości, wartość największą).
Wstawienie $x-2$ do wzoru bez nawiasu. W miejsce $x$ wstawiamy całe wyrażenie: $f(x)=3x+1$ daje $f(x-2)=3(x-2)+1=3x-5$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(2,-5)$ . Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x-4)$ . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne:

Zadanie 2

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\langle -4, 2\rangle$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x)+7$ . Zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział:

Zadanie 3

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=4x+1$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $Ox$ i otrzymano wykres funkcji liniowej $g$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem:

Zadanie 4

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ , gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $-4$ . Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x+5)$ . Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba:

Zadanie 5

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=3x-2$ oraz $g(x)=3x+7$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $g$ powstaje z wykresu funkcji $f$ przez przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ o:

Zadanie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku $W=(4,-6)$ . Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x+7)+10$ . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 5x$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej $g$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $g$ jest określona wzorem

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Przekształcenia wykresów funkcji — kurs Matemaks

Przekształcanie wykresu — symetria względem osi OX i OY matspot

Najczęstsze pytania

Jak przesunąć wykres funkcji w prawo lub w lewo?

Zamień $x$ na $x-a$ : wykres $y=f(x-a)$ jest przesunięty o $a$ w prawo dla $a>0$ i w lewo dla $a<0$ . Np. $y=f(x-2)$ to przesunięcie o $2$ w prawo, a $y=f(x+4)$ — o $4$ w lewo.

Jak przesunąć wykres funkcji w górę lub w dół?

Dodaj liczbę do wzoru: $y=f(x)+b$ przesuwa wykres o $b$ w górę dla $b>0$ i w dół dla $b<0$ . Przy $y=f(x)-3$ punkt $(1,5)$ przechodzi na $(1,2)$ .

Co to jest przesunięcie wykresu o wektor?

To złożenie obu przesunięć: wykres $y=f(x-a)+b$ powstaje z wykresu $f$ przez przesunięcie o wektor $[a,b]$ — pierwsza współrzędna każdego punktu rośnie o $a$ , druga o $b$ .

Jak wyznaczyć wzór funkcji po przesunięciu wykresu?

Przy przesunięciu wzdłuż $Ox$ wstaw $x-a$ w miejsce $x$ , przy przesunięciu wzdłuż $Oy$ dodaj $b$ do wzoru. Dla $f(x)=3x+1$ i przesunięcia o $2$ w prawo: $g(x)=3(x-2)+1=3x-5$ .

Jak zmienia się wierzchołek paraboli po przesunięciu?

Przesuwa się razem z wykresem: przy $g(x)=f(x-a)+b$ wierzchołek $(x_0, y_0)$ przechodzi na $(x_0+a,\,y_0+b)$ . Np. wierzchołek $(1,2)$ przy $g(x)=f(x+3)+1$ przechodzi na $(-2,3)$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Odczytywanie własności z wykresu Funkcje Pojęcie funkcji Funkcje Wartość funkcji zadanej wzorem Funkcje Wzór funkcji liniowej Funkcje Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę