Wzór funkcji liniowej — jak wyznaczyć a i b

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?

Policz a jako iloraz przyrostów: a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A), a potem podstaw jeden punkt do y=ax+b i wyznacz b. Dla A(-2,5) i B(4,1): a=-2/3, b=11/3.

Q: Jak obliczyć współczynnik kierunkowy?

Z dwóch punktów prostej: a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A) — różnica drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Ujemne a oznacza, że prosta opada, gdy idziemy w prawo.

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, znając a i jeden punkt?

Podstaw współrzędne punktu do y=ax+b i oblicz b. Dla a=-3 i punktu (2,-1): -1=-3·2+b, więc b=5 i y=-3x+5.

Q: Co oznacza b we wzorze funkcji liniowej?

b to wartość funkcji dla argumentu 0, czyli wykres przechodzi przez punkt (0,b). Gdy zadanie mówi „dla argumentu 0 przyjmuje wartość -6”, od razu b=-6.

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z miejsca zerowego?

Zamień miejsce zerowe x₀ na punkt (x₀,0) i traktuj go jak każdy inny punkt wykresu. Przy miejscu zerowym 4 i b=-6: 0=4a-6, więc a=3/2.

Wzór funkcji liniowej $y=ax+b$ wyznaczamy, szukając $a$ i $b$ . Z dwóch punktów $A$ i $B$ : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , a $b$ obliczamy, podstawiając jeden z punktów do wzoru.

Funkcje · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Funkcja liniowa $a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — wartość funkcji dla argumentu $0$: $y=ax+b$
Prosta przez dwa punkty (karta wzorów CKE) $A=(x_A, y_A)$ , $B=(x_B, y_B)$ — dwa punkty prostej: $(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0$

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej

Wzór funkcji liniowej $y=ax+b$ wyznaczam z informacji o wykresie lub o własnościach: z dwóch punktów, ze współczynnika kierunkowego i punktu, z miejsca zerowego i drugiej własności albo z warunku na parametr we wzorze. Zawsze sprowadza się to do tego samego: znaleźć $a$ i $b$ .

Dwa punkty $A(-2,5)$ i $B(4,1)$ : $a=\dfrac{1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-4}{6}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{2}{3}}}$ , potem $5=-\tfrac{2}{3}\cdot(-2)+b$ , więc $b=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{11}{3}}}$ .
Współczynnik $a=-3$ i punkt $(2,-1)$ : $-1=-3\cdot 2+b$ , więc $b=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ i $y=-3x+5$ .
Miejsce zerowe $4$ i wartość dla argumentu $0$ równa $-6$ : od razu $b=-6$ , a z punktu $(4,0)$ : $0=4a-6$ , czyli $a=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{2}}}$ .
Parametr: liczba $-1$ jest miejscem zerowym $f(x)=(m+2)x-6$ , więc $(m+2)\cdot(-1)-6=0$ , $-m-8=0$ , $m=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-8}}$ .

Wzór funkcji liniowej na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje równanie prostej przez dwa punkty w postaci $(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0$ , ale szybciej jest policzyć $a$ jako iloraz przyrostów i $b$ z podstawienia jednego punktu. Zadanie za 1 pkt zwykle opisuje własności słowami („miejscem zerowym jest liczba…”, „dla argumentu $0$ przyjmuje wartość…”) — zamień je od razu na punkty: miejsce zerowe $x_0$ to punkt $(x_0,0)$ , wartość dla $0$ to wprost $b$ . Pułapka: przy ujemnych współrzędnych pisz różnice w nawiasach, $4-(-2)=6$ , a nie $4-2$ ; wynik sprawdź, podstawiając drugi punkt.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Liczysz a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) z dwóch punktów prostej, także przy ujemnych współrzędnych i wyniku ułamkowym.

Zadanie Prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-4,\,3)$ i $B=(2,\,-1)$ . Oblicz współczynnik $a$ .

Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów: $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ — kolejność punktów jest dowolna, byle ta sama w liczniku i w mianowniku.
Przyrost $y$ : $y_B-y_A=-1-3=-4$ .
Przyrost $x$ : $x_B-x_A=2-(-4)=6$ — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie, tu najczęściej gubi się znak.
$a=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}$ . Ujemne $a$ zgadza się z rysunkiem: idąc w prawo, prosta opada.

Odpowiedź: $a=-\dfrac{2}{3}$

Przykład 2 Wzór ze współczynnika kierunkowego i punktu

Znając a i jeden punkt wykresu, podstawiasz jego współrzędne do y = ax + b i wyznaczasz b.

Zadanie Funkcja liniowa $f$ ma współczynnik kierunkowy $a=-\dfrac{3}{2}$ , a jej wykres przechodzi przez punkt $P=(-4,\,1)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .

Współczynnik $a$ jest dany, więc wzór ma postać $f(x)=-\dfrac{3}{2}x+b$ — brakuje tylko $b$ .
Punkt $P$ leży na wykresie, więc jego współrzędne spełniają wzór: podstawiam $x=-4$ i $f(x)=1$ : $1=-\dfrac{3}{2}\cdot(-4)+b$ .
Liczę iloczyn osobno, pilnując znaku: $-\dfrac{3}{2}\cdot(-4)=6$ , więc $1=6+b$ i $b=-5$ .
Sprawdzenie: $f(-4)=6-5=1$ ✓. Wzór: $f(x)=-\dfrac{3}{2}x-5$ .

Odpowiedź: $f(x)=-\dfrac{3}{2}x-5$

Przykład 3 Wzór prostej przez dwa punkty

Z dwóch punktów wykresu (podanych albo odczytanych z rysunku) liczysz a, a potem b z podstawienia jednego z nich.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f$ przechodzący przez punkty $A=(-3,\,4)$ i $B=(3,\,0)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .

Z rysunku odczytuję dwa punkty o „ładnych” współrzędnych: $A=(-3,4)$ i $B=(3,0)$ — punkt na osi $x$ to miejsce zerowe.
Najpierw $a$ jako iloraz przyrostów: $a=\dfrac{0-4}{3-(-3)}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}$ .
Teraz $b$ : podstawiam wygodniejszy punkt $B=(3,0)$ do $y=-\dfrac{2}{3}x+b$ : $0=-\dfrac{2}{3}\cdot 3+b$ , czyli $0=-2+b$ , więc $b=2$ .
Sprawdzam drugim punktem: $f(-3)=-\dfrac{2}{3}\cdot(-3)+2=2+2=4$ ✓. Wzór: $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+2$ .

Odpowiedź: $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+2$

Przykład 4 Wzór z miejsca zerowego i wartości funkcji

Zamieniasz własności na punkty: miejsce zerowe x₀ to punkt (x₀, 0), wartość dla argumentu 0 to b — i dopiero wtedy liczysz a i b.

Zadanie Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $-2$ . Dla argumentu $4$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $9$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .

Tłumaczę własności na punkty: miejsce zerowe $-2$ oznacza $f(-2)=0$ , czyli punkt $(-2,0)$ ; „dla argumentu $4$ wartość $9$ ” to punkt $(4,9)$ .
Dwa punkty, więc najpierw $a$ : $a=\dfrac{9-0}{4-(-2)}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ .
Teraz $b$ z punktu $(-2,0)$ : $0=\dfrac{3}{2}\cdot(-2)+b=-3+b$ , więc $b=3$ .
Sprawdzam: $f(4)=\dfrac{3}{2}\cdot 4+3=9$ ✓. Wzór: $f(x)=\dfrac{3}{2}x+3$ .

Odpowiedź: $f(x)=\dfrac{3}{2}x+3$

Przykład 5 Parametr z miejsca zerowego

Podstawiasz warunek (miejsce zerowe albo punkt wykresu) do wzoru z parametrem m i rozwiązujesz równanie liniowe względem m.

Zadanie Liczba $-3$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=(2m-1)x+9$ . Oblicz $m$ .

Miejsce zerowe $-3$ oznacza, że $f(-3)=0$ — to jedyna informacja, którą trzeba zamienić na równanie. Podstawiam $x=-3$ : $(2m-1)\cdot(-3)+9=0$ .
Współczynnik z parametrem mnożę przez $-3$ jak zwykłą liczbę, nawias po nawiasie: $-6m+3+9=0$ , czyli $-6m+12=0$ .
Rozwiązuję względem $m$ : $-6m=-12$ , więc $m=2$ .
Sprawdzenie: dla $m=2$ wzór to $f(x)=3x+9$ i $f(-3)=-9+9=0$ ✓.

Odpowiedź: $m=2$

Najczęstsze błędy

Zgubiony znak przy ujemnych współrzędnych. Różnice pisz w nawiasach: $4-(-2)=6$ , a nie $4-2$ .
Różna kolejność punktów w liczniku i mianowniku. W $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ kolejność punktów jest dowolna, ale ta sama na górze i na dole.
Wstawienie miejsca zerowego jako $b$ . Miejsce zerowe $x_0$ to punkt $(x_0,0)$ , a $b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-2,\,4)$ oraz $B=(3,\,1)$ . Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy:

Zadanie 2

Funkcja liniowa $f$ ma współczynnik kierunkowy równy $\dfrac{1}{2}$ , a jej wykres przechodzi przez punkt $A=(-6,\,-1)$ . Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f$ przechodzący przez punkty $A=(-2,\,0)$ i $B=(0,\,3)$ . Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie 4

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $2$ . Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt $(-2,\,6)$ . Wzór funkcji $f$ ma postać:

Zadanie 5

Liczba $4$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=(5-2m)x+12$ . Liczba $m$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $y = ax + b$ przechodzi przez punkty $A = (-3, -1)$ oraz $B = (4, 3)$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Funkcja liniowa — wyznaczanie wzoru (kurs) Matemaks

Funkcja liniowa — matura podstawowa MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?

Policz $a$ jako iloraz przyrostów: $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , a potem podstaw jeden punkt do $y=ax+b$ i wyznacz $b$ . Dla $A(-2,5)$ i $B(4,1)$ : $a=-\tfrac{2}{3}$ , $b=\tfrac{11}{3}$ .

Jak obliczyć współczynnik kierunkowy?

Z dwóch punktów prostej: $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ — różnica drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Ujemne $a$ oznacza, że prosta opada, gdy idziemy w prawo.

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej, znając a i jeden punkt?

Podstaw współrzędne punktu do $y=ax+b$ i oblicz $b$ . Dla $a=-3$ i punktu $(2,-1)$ : $-1=-3\cdot2+b$ , więc $b=5$ i $y=-3x+5$ .

Co oznacza b we wzorze funkcji liniowej?

$b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$ , czyli wykres przechodzi przez punkt $(0,b)$ . Gdy zadanie mówi „dla argumentu $0$ przyjmuje wartość $-6$ ”, od razu $b=-6$ .

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z miejsca zerowego?

Zamień miejsce zerowe $x_0$ na punkt $(x_0,0)$ i traktuj go jak każdy inny punkt wykresu. Przy miejscu zerowym $4$ i $b=-6$ : $0=4a-6$ , więc $a=\tfrac{3}{2}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Odczytywanie własności z wykresu Funkcje Pojęcie funkcji Funkcje Przesunięcia wykresu funkcji Funkcje Wartość funkcji zadanej wzorem Funkcje Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę