Interpretacja współczynników funkcji liniowej — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wzór $f(x)=ax+b$ czytasz jak opis prostej: współczynnik kierunkowy $a$ mówi, w którą stronę i jak stromo biegnie wykres ($a>0$ — rosnąca, $a<0$ — malejąca, $a=0$ — stała; przy tym $a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $Ox$), a wyraz wolny $b$ to punkt $(0,b)$ przecięcia z osią $Oy$. Miejsce zerowe wyznaczasz z $ax+b=0$, czyli $x_0=-\tfrac{b}{a}$.

• $f(x)=3-\tfrac{1}{2}x$: po uporządkowaniu $a=-\tfrac12<0$ — malejąca, przecina $Oy$ w $(0,3)$, miejsce zerowe $x_0=\tfrac{3}{1/2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$
• $f(x)=\sqrt3\,x-2$: $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3$, więc $\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{60^\circ}}$
• wykres przecina osie w $(-4,0)$ i $(0,2)$: $b=2$, $a=\tfrac{2-0}{0-(-4)}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac12}}$
• $f(x)=(m-5)x+1$ jest rosnąca, gdy $m-5>0$, czyli $m\in\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(5,+\infty)}}$; nie ma miejsca zerowego, gdy $m=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ (funkcja stała $f(x)=1$)

Na maturze: w zadaniu „funkcja jest malejąca dla $k\in\ldots$” rozwiązujesz jedną nierówność na współczynnik przy $x$ — wyraz wolny nie ma znaczenia, a dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Przy wykresie znak $a$ czytasz z kierunku prostej, znak $b$ z tego, czy prosta przecina oś $Oy$ nad czy pod zerem, a wartość $a$ liczysz z dwóch punktów o współrzędnych całkowitych. Pułapka: „nie ma miejsca zerowego” to $a=0$ i $b\ne0$, nie $b=0$. Karta wzorów daje $\operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{tg}45^\circ=1$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.