Przejdź do treści
Poznaj Compass

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale — przykłady i zadania

Funkcja kwadratowa f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q ma w wierzchołku wartość najmniejszą (a>0a>0) lub największą (a<0a<0) — jest nią qq. W przedziale ⟨m,n⟩\langle m,n\rangle porównujemy f(m)f(m), f(n)f(n) i qq, ale qq tylko wtedy, gdy p∈⟨m,n⟩p\in\langle m,n\rangle.

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Postać kanoniczna (p,q)(p,q) — wierzchołek; qq to wartość najmniejsza dla a>0a>0, największa dla a<0a<0
f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q
Pierwsza współrzędna wierzchołka aa, bb — współczynniki postaci ogólnej
p=−b2ap=\frac{-b}{2a}
Druga współrzędna wierzchołka szybciej: q=f(p)q=f(p)
q=−Δ4aq=\frac{-\Delta}{4a}

Jak obliczyć największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej

Największą lub najmniejszą wartość funkcja kwadratowa f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q przyjmuje w wierzchołku: jest nią qq — najmniejsza dla a>0a>0, największa dla a<0a<0. W przedziale domkniętym ⟨m,n⟩\langle m,n\rangle kandydatów jest trzech: f(m)f(m), f(n)f(n) oraz qq — ale qq tylko wtedy, gdy p∈⟨m,n⟩p\in\langle m,n\rangle.

  • f(x)=−3(x−2)2+7f(x)=-3(x-2)^2+7: a<0a<0, więc największa wartość to 7\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}} (dla x=2x=2).
  • f(x)=x2−6x+1f(x)=x^2-6x+1: p=62=3p=\frac{6}{2}=3, q=f(3)=9−18+1=−8q=f(3)=9-18+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-8}} — najmniejsza wartość.
  • f(x)=2(x+1)(x−5)f(x)=2(x+1)(x-5): p=−1+52=2p=\frac{-1+5}{2}=2, q=2⋅3⋅(−3)=−18q=2\cdot 3\cdot(-3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-18}}.
  • f(x)=(x−4)2+1f(x)=(x-4)^2+1 na ⟨0,3⟩\langle 0,3\rangle: 4∉⟨0,3⟩4\notin\langle 0,3\rangle, funkcja w tym przedziale maleje, więc najmniejsza wartość to f(3)=2f(3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}, a największa f(0)=17f(0)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{17}}.

Wierzchołek poza przedziałem — pułapka na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje p=−b2ap=\frac{-b}{2a} i q=−Δ4aq=\frac{-\Delta}{4a}, ale qq szybciej policzysz jako f(p)f(p); z postaci iloczynowej pp to środek między miejscami zerowymi. Zadanie brzmi zwykle „największa (najmniejsza) wartość funkcji ff w przedziale ⟨m,n⟩\langle m,n\rangle jest równa”, a wśród odpowiedzi prawie zawsze stoi qq — to pułapka, gdy wierzchołek leży poza przedziałem. W zadaniu otwartym za 2 pkt podaj obie wartości razem z argumentami, dla których są przyjmowane.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość największa z postaci kanonicznej

Odczytujesz z f(x) = a(x − p) do potęgi 2 + q wartość ekstremalną q i po znaku a rozstrzygasz, czy to najmniejsza, czy największa wartość funkcji.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−2(x−3)2+5f(x)=-2(x-3)^2+5. Wyznacz największą wartość funkcji ff oraz argument, dla którego jest ona przyjmowana.

  1. Wzór jest w postaci kanonicznej f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q: a=−2a=-2, p=3p=3, q=5q=5, więc wierzchołek paraboli to W=(3,5)W=(3,5).
  2. Ponieważ a=−2<0a=-2<0, ramiona są skierowane w dół i wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu — funkcja ma wartość największą (najmniejszej nie ma).
  3. Składnik −2(x−3)2-2(x-3)^2 jest zawsze ≤0\le 0 i równa się 00 tylko dla x=3x=3, więc f(x)≤5f(x)\le 5 dla każdego xx, a f(3)=5f(3)=5.
  4. Największa wartość funkcji ff to 55, przyjmowana dla x=3x=3.

Odpowiedź: fmax⁡=5f_{\max}=5 dla x=3x=3

Przykład 2 Wartość największa ze wzoru ogólnego

Liczysz p = −b/(2a), podstawiasz p do wzoru (albo bierzesz q = −Δ/(4a)) i po znaku a rozstrzygasz, czy q to minimum, czy maksimum.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−2x2+12x−7f(x)=-2x^2+12x-7. Wyznacz największą wartość funkcji ff.

  1. a=−2<0a=-2<0, więc parabola ma ramiona w dół i wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku — trzeba go wyznaczyć.
  2. Argument wierzchołka: p=−b2a=−122⋅(−2)=−12−4=3p=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3.
  3. Wartość w wierzchołku najszybciej z podstawienia: q=f(3)=−2⋅9+12⋅3−7=−18+36−7=11q=f(3)=-2\cdot 9+12\cdot 3-7=-18+36-7=11.
  4. Kontrola z karty wzorów: Δ=144−4⋅(−2)⋅(−7)=144−56=88\Delta=144-4\cdot(-2)\cdot(-7)=144-56=88, q=−Δ4a=−88−8=11q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-88}{-8}=11. Największa wartość funkcji ff to 1111.

Odpowiedź: 1111 (dla x=3x=3)

Przykład 3 Wartość największa z postaci iloczynowej

Z f(x) = a(x − x1)(x − x2) bierzesz p jako średnią miejsc zerowych i liczysz q = f(p) wprost z nawiasów.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−3(x+2)(x−4)f(x)=-3(x+2)(x-4). Wyznacz największą wartość funkcji ff.

  1. Miejsca zerowe odczytujesz z nawiasów: x1=−2x_1=-2, x2=4x_2=4. Współczynnik a=−3<0a=-3<0, więc w wierzchołku jest wartość największa.
  2. Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka między miejscami zerowymi: p=−2+42=1p=\frac{-2+4}{2}=1 — nie trzeba wymnażać nawiasów.
  3. Wartość w wierzchołku liczysz z postaci iloczynowej: q=f(1)=−3⋅(1+2)⋅(1−4)=−3⋅3⋅(−3)=27q=f(1)=-3\cdot(1+2)\cdot(1-4)=-3\cdot 3\cdot(-3)=27.
  4. Największa wartość funkcji ff to 2727, przyjmowana dla x=1x=1.

Odpowiedź: 2727

Przykład 4 Ekstremum w przedziale, gdy wierzchołek leży w przedziale

Gdy p należy do przedziału, jedna wartość ekstremalna to q, a drugą liczysz na tym końcu przedziału, który leży dalej od p.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=(x−1)2−4f(x)=(x-1)^2-4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ff w przedziale ⟨−2,3⟩\langle -2, 3\rangle.

  1. Wierzchołek: p=1p=1, q=−4q=-4. Sprawdzasz położenie: 1∈⟨−2,3⟩1\in\langle -2,3\rangle, więc wierzchołek leży w przedziale.
  2. a=1>0a=1>0 — ramiona w górę, więc najmniejsza wartość w przedziale to q=−4q=-4, przyjmowana dla x=1x=1.
  3. Największa wartość jest na jednym z końców przedziału. Liczysz oba: f(−2)=(−3)2−4=5f(-2)=(-3)^2-4=5 oraz f(3)=22−4=0f(3)=2^2-4=0.
  4. Większa z nich to 55 — na końcu x=−2x=-2, który leży dalej od wierzchołka. Najmniejsza wartość: −4-4 (dla x=1x=1), największa: 55 (dla x=−2x=-2).

Odpowiedź: fmin⁡=−4f_{\min}=-4, fmax⁡=5f_{\max}=5

Przykład 5 Ekstremum w przedziale, gdy wierzchołek leży poza nim

Gdy p nie należy do przedziału, funkcja jest tam monotoniczna — obie wartości ekstremalne liczysz na końcach przedziału, a q ignorujesz.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^2+2x+3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ff w przedziale ⟨2,5⟩\langle 2, 5\rangle.

  1. Argument wierzchołka: p=−22⋅(−1)=1p=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1. Liczba 11 nie należy do ⟨2,5⟩\langle 2,5\rangle — wierzchołek leży na lewo od przedziału.
  2. a=−1<0a=-1<0: na prawo od wierzchołka funkcja maleje, więc w całym przedziale ⟨2,5⟩\langle 2,5\rangle jest malejąca — nie ma tu żadnego „zawrócenia”.
  3. Skoro maleje, największa wartość jest na lewym końcu: f(2)=−4+4+3=3f(2)=-4+4+3=3, a najmniejsza na prawym: f(5)=−25+10+3=−12f(5)=-25+10+3=-12.
  4. Najmniejsza wartość: −12-12 (dla x=5x=5), największa: 33 (dla x=2x=2). Wartość q=f(1)=4q=f(1)=4 nie liczy się, bo 11 jest poza przedziałem.

Odpowiedź: fmin⁡=−12f_{\min}=-12, fmax⁡=3f_{\max}=3

Przykład 6 Najmniejsza i największa wartość w przedziale — pełny schemat

Z dowolnej postaci wzoru wyznaczasz p, sprawdzasz, czy p ∈ ⟨m, n⟩, i z kandydatów f(m), f(n), q wybierasz obie wartości ekstremalne wraz z argumentami.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x+5)(x−1)f(x)=-(x+5)(x-1). Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ff w przedziale ⟨−2,2⟩\langle -2, 2\rangle oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.

  1. Z postaci iloczynowej: miejsca zerowe −5-5 i 11, więc p=−5+12=−2p=\frac{-5+1}{2}=-2. Sprawdzasz: −2∈⟨−2,2⟩-2\in\langle -2,2\rangle (to lewy koniec, ale należy) — wierzchołek jest kandydatem.
  2. a=−1<0a=-1<0, więc w wierzchołku jest największa wartość: q=f(−2)=−(−2+5)(−2−1)=−(3)⋅(−3)=9q=f(-2)=-(-2+5)(-2-1)=-(3)\cdot(-3)=9.
  3. Najmniejsza wartość jest na jednym z końców. f(−2)=9f(-2)=9 (to wierzchołek), f(2)=−(2+5)(2−1)=−7⋅1=−7f(2)=-(2+5)(2-1)=-7\cdot 1=-7.
  4. Najmniejsza wartość: −7-7 (dla x=2x=2), największa: 99 (dla x=−2x=-2). Na maturze w zadaniu otwartym podajesz obie wartości i oba argumenty.

Odpowiedź: fmin⁡=−7f_{\min}=-7 (dla x=2x=2), fmax⁡=9f_{\max}=9 (dla x=−2x=-2)

Najczęstsze błędy

  • Podanie qq, gdy wierzchołek leży poza przedziałem. Funkcja jest wtedy w przedziale monotoniczna i obie wartości ekstremalne są na końcach.
  • Policzenie tylko jednego końca przedziału. Gdy wierzchołek leży w przedziale, druga wartość jest na końcu dalszym od pp — najpewniej policzyć oba końce.
  • Brak argumentów w odpowiedzi. W zadaniu otwartym podaje się obie wartości razem z argumentami, dla których są przyjmowane.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−12(x−4)2+6f(x)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+6. Największa wartość funkcji ff jest równa:

Zadanie 2

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=2x2−8x+3f(x)=2x^2-8x+3. Najmniejsza wartość funkcji ff jest równa:

Zadanie 3

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=2(x+5)(x−1)f(x)=2(x+5)(x-1). Najmniejsza wartość funkcji ff jest równa:

Zadanie 4

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=(x−3)2−5f(x)=(x-3)^2-5. Największa wartość funkcji ff w przedziale ⟨0,4⟩\langle 0, 4\rangle jest równa:

Zadanie 5

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=x2−8x+10f(x)=x^2-8x+10. Najmniejsza wartość funkcji ff w przedziale ⟨−1,2⟩\langle -1, 2\rangle jest równa:

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x−2)(x+4)f(x)=-(x-2)(x+4). Największa wartość funkcji ff w przedziale ⟨−2,1⟩\langle -2, 1\rangle jest równa:

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale matspot
Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć największą wartość funkcji kwadratowej?

Gdy a<0a<0, największą wartością jest qq — druga współrzędna wierzchołka. Dla f(x)=−2x2+12x−7f(x)=-2x^2+12x-7: p=−12−4=3p=\frac{-12}{-4}=3, a q=f(3)=−18+36−7=11q=f(3)=-18+36-7=11.

Jak obliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale?

Wyznacz pp i sprawdź, czy należy do przedziału ⟨m,n⟩\langle m,n\rangle. Kandydatami są f(m)f(m), f(n)f(n) i — tylko gdy p∈⟨m,n⟩p\in\langle m,n\rangle — qq; z nich wybierz najmniejszą i największą liczbę.

Co zrobić, gdy wierzchołek nie należy do przedziału?

Funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, więc obie wartości są na końcach. Dla f(x)=(x−4)2+1f(x)=(x-4)^2+1 na ⟨0,3⟩\langle 0,3\rangle: najmniejsza f(3)=2f(3)=2, największa f(0)=17f(0)=17.

Kiedy funkcja kwadratowa ma wartość najmniejszą, a kiedy największą?

Dla a>0a>0 (ramiona w górę) ma wartość najmniejszą qq, dla a<0a<0 (ramiona w dół) — największą qq. Bez ograniczenia do przedziału drugiej wartości ekstremalnej nie ma.

Jak szybko obliczyć wartość w wierzchołku?

Podstaw pp do wzoru: q=f(p)q=f(p). Z postaci iloczynowej pp to środek między miejscami zerowymi: f(x)=2(x+1)(x−5)f(x)=2(x+1)(x-5) ma p=2p=2 i q=2⋅3⋅(−3)=−18q=2\cdot 3\cdot(-3)=-18.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę