Funkcje · matura podstawowa 2 LO →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale — wytłumaczenie, wzór i zadania

Q: Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x-3)²+5. Wyznacz największą wartość funkcji f oraz argument, dla którego jest ona przyjmowana.

Odpowiedź: f =5 dla x=3. Wzór jest w postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)²+q: a=-2, p=3, q=5, więc wierzchołek paraboli to W=(3,5). Ponieważ a=-2<0, ramiona są skierowane w dół i wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu — funkcja ma wartość największą (najmniejszej nie ma). Składnik -2(x-3)² jest zawsze ≤ 0 i równa się 0 tylko dla x=3, więc f(x)≤ 5 dla każdego x, a f(3)=5. Największa wartość funkcji f to 5, przyjmowana dla x=3.

Największą lub najmniejszą wartość funkcja kwadratowa $f(x)=a(x-p)^2+q$ przyjmuje w wierzchołku: jest nią $q$ — najmniejsza dla $a>0$ , największa dla $a<0$ . W przedziale domkniętym $\langle m,n\rangle$ kandydatów jest trzech: $f(m)$ , $f(n)$ oraz $q$ — ale $q$ tylko wtedy, gdy $p\in\langle m,n\rangle$ .

$f(x)=-3(x-2)^2+7$ : $a<0$ , więc największa wartość to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$ (dla $x=2$ ).
$f(x)=x^2-6x+1$ : $p=\frac{6}{2}=3$ , $q=f(3)=9-18+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-8}}$ — najmniejsza wartość.
$f(x)=2(x+1)(x-5)$ : $p=\frac{-1+5}{2}=2$ , $q=2\cdot 3\cdot(-3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-18}}$ .
$f(x)=(x-4)^2+1$ na $\langle 0,3\rangle$ : $4\notin\langle 0,3\rangle$ , funkcja w tym przedziale maleje, więc najmniejsza wartość to $f(3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ , a największa $f(0)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{17}}$ .

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $p=\frac{-b}{2a}$ i $q=\frac{-\Delta}{4a}$ , ale $q$ szybciej policzysz jako $f(p)$ ; z postaci iloczynowej $p$ to środek między miejscami zerowymi. Zadanie brzmi zwykle „największa (najmniejsza) wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle m,n\rangle$ jest równa”, a wśród odpowiedzi prawie zawsze stoi $q$ — to pułapka, gdy wierzchołek leży poza przedziałem. W zadaniu otwartym za 2 pkt podaj obie wartości razem z argumentami, dla których są przyjmowane.

Przykład krok po kroku

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x-3)^2+5$ . Wyznacz największą wartość funkcji $f$ oraz argument, dla którego jest ona przyjmowana.

1 Wzór jest w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ : $a=-2$ , $p=3$ , $q=5$ , więc wierzchołek paraboli to $W=(3,5)$ .
2 Ponieważ $a=-2<0$ , ramiona są skierowane w dół i wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu — funkcja ma wartość największą (najmniejszej nie ma).
3 Składnik $-2(x-3)^2$ jest zawsze $\le 0$ i równa się $0$ tylko dla $x=3$ , więc $f(x)\le 5$ dla każdego $x$ , a $f(3)=5$ .
4 Największa wartość funkcji $f$ to $5$ , przyjmowana dla $x=3$ .

Odpowiedź: $f_{\max}=5$ dla $x=3$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale matspot

Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej MiedzianyFsor

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+6$ . Największa wartość funkcji $f$ jest równa:

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale" w aplikacji Compass

Opanuj „Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x-3)²+5. Wyznacz największą wartość funkcji f oraz argument, dla którego jest ona przyjmowana. +

Odpowiedź: f =5 dla x=3. Wzór jest w postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)²+q: a=-2, p=3, q=5, więc wierzchołek paraboli to W=(3,5). Ponieważ a=-2<0, ramiona są skierowane w dół i wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu — funkcja ma wartość największą (najmniejszej nie ma). Składnik -2(x-3)² jest zawsze ≤ 0 i równa się 0 tylko dla x=3, więc f(x)≤ 5 dla każdego x, a f(3)=5. Największa wartość funkcji f to 5, przyjmowana dla x=3.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →