Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wielkość zmieniająca się w stałym tempie (koszt, masa, poziom wody) opisuje funkcja liniowa $f(x)=ax+b$: $a$ to stawka za jednostkę, $b$ to część stała. Wielkość, która najpierw rośnie, a potem maleje (wysokość rzutu, zysk, przychód), opisuje funkcja kwadratowa z $a<0$ — jej największą wartość daje wierzchołek paraboli.

Model liniowy: pusty kanister ma masę $2$ kg, litr paliwa $0{,}75$ kg, więc $f(x)=0{,}75x+2$; funkcja jest rosnąca i $f(20)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{17}}$ kg.

Chwila maksimum z postaci ogólnej: $h(t)=-5t^2+50t$ daje $t_w=-\frac{50}{2\cdot(-5)}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ s oraz $h(5)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{125}}$ m.

Z postaci iloczynowej: $P(x)=(60-x)(20+x)$ ma miejsca zerowe $60$ i $-20$, więc maksimum jest w ich środku: $x_w=\frac{60+(-20)}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$.

Zysk to przychód minus koszt: $Z(x)=100x-(2x^2+20x+150)=-2x^2+80x-150$, największy dla $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$.

Na maturze: karta wzorów podaje $p=-\frac{b}{2a}$ i $\Delta$ — największą wartość licz, podstawiając $p$ do wzoru funkcji, a nie z $q$ (mniej pomyłek ze znakami). Zawsze sprawdź, czy $p$ należy do dziedziny podanej w zadaniu ($n$ naturalne, $x\le 30$); jeśli nie, największa wartość jest na końcu przedziału. Przy postaci iloczynowej nie wymnażaj nawiasów — średnia miejsc zerowych daje $p$ od razu.