Funkcja liniowa i kwadratowa w zadaniach tekstowych i optymalizacyjnych

Q: Jak obliczyć największą wartość funkcji kwadratowej w zadaniu tekstowym?

Gdy a<0, największa wartość jest w wierzchołku: liczymy p=-b/(2a), sprawdzamy, czy p należy do dziedziny, i podstawiamy je do wzoru. Dla h(t)=-5t²+50t wychodzi t_w=5 s i h(5)=125 m.

Q: Jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową?

Zapisz szukaną wielkość (zysk, przychód, wysokość) jako funkcję kwadratową, sprawdź, że a<0, wyznacz p=-b/(2a), upewnij się, że p należy do dziedziny, i oblicz f(p).

Q: Jak ułożyć wzór funkcji liniowej z treści zadania?

Część stała to b, a stawka za jednostkę to a. Pusty kanister o masie 2 kg i litr paliwa o masie 0,75 kg dają f(x)=0,75x+2, więc f(20)=17 kg.

Q: Jak obliczyć zysk, gdy znam przychód i koszt?

Zysk to przychód minus koszt: Z(x)=P(x)-K(x). Na przykład Z(x)=100x-(2x²+20x+150)=-2x²+80x-150, a największy zysk jest w wierzchołku, dla x=20.

Q: Co zrobić, gdy wierzchołek paraboli leży poza przedziałem z zadania?

Gdy p leży poza przedziałem podanym w zadaniu, największa wartość jest na końcu tego przedziału. Podobnie funkcja liniowa rosnąca przyjmuje największą wartość na prawym końcu przedziału.

Wielkość zmieniającą się w stałym tempie opisuje funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ ( $a$ — stawka za jednostkę, $b$ — część stała). Największą wartość wielkości opisanej funkcją kwadratową z $a<0$ daje wierzchołek: $p=-\frac{b}{2a}$ , a wartość to $f(p)$ .

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Model liniowy $a$ — stawka za jednostkę, $b$ — część stała: $f(x)=ax+b$
Argument największej wartości (wierzchołek) $a$ , $b$ — współczynniki funkcji kwadratowej $ax^2+bx+c$ z $a<0$ ; największa wartość to $f(p)$: $p=-\frac{b}{2a}$

Kiedy model liniowy, a kiedy kwadratowy

Wielkość zmieniająca się w stałym tempie (koszt, masa, poziom wody) opisuje funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ : $a$ to stawka za jednostkę, $b$ to część stała. Wielkość, która najpierw rośnie, a potem maleje (wysokość rzutu, zysk, przychód), opisuje funkcja kwadratowa z $a<0$ — jej największą wartość daje wierzchołek paraboli.

Wzór funkcji liniowej z treści zadania

Model liniowy: pusty kanister ma masę $2$ kg, litr paliwa $0{,}75$ kg, więc $f(x)=0{,}75x+2$ ; funkcja jest rosnąca i $f(20)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{17}}$ kg.

Jak znaleźć największą wartość funkcji kwadratowej

Chwila maksimum z postaci ogólnej: $h(t)=-5t^2+50t$ daje $t_w=-\frac{50}{2\cdot(-5)}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ s oraz $h(5)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{125}}$ m.

Z postaci iloczynowej: $P(x)=(60-x)(20+x)$ ma miejsca zerowe $60$ i $-20$ , więc maksimum jest w ich środku: $x_w=\frac{60+(-20)}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$ .

Jak obliczyć największy zysk

Zysk to przychód minus koszt: $Z(x)=100x-(2x^2+20x+150)=-2x^2+80x-150$ , największy dla $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{20}}$ .

Zadania optymalizacyjne na maturze — na co uważać

Na maturze: karta wzorów podaje $p=-\frac{b}{2a}$ i $\Delta$ — największą wartość licz, podstawiając $p$ do wzoru funkcji, a nie z $q$ (mniej pomyłek ze znakami). Zawsze sprawdź, czy $p$ należy do dziedziny podanej w zadaniu ( $n$ naturalne, $x\le 30$ ); jeśli $p$ leży poza przedziałem, największa wartość jest na jego końcu, a przy $n$ naturalnym i niecałkowitym $p$ porównaj wartości w dwóch liczbach całkowitych najbliższych $p$ . Przy postaci iloczynowej nie wymnażaj nawiasów — średnia miejsc zerowych daje $p$ od razu.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wzór funkcji liniowej z treści zadania

Z opisu „część stała plus stawka za jednostkę” zapisujesz wzór f(x) = ax + b, obliczasz wartość dla danego x i wyznaczasz stawkę z dwóch danych.

Zadanie Pusty zbiornik ma masę $12{,}4$ kg. Jeden litr oleju ma masę $0{,}92$ kg. Niech $x$ oznacza liczbę litrów oleju w zbiorniku, a $m(x)$ — wyrażoną w kilogramach masę zbiornika z olejem, gdzie $x\in[0,25]$ . Wyznacz wzór funkcji $m$ i oblicz masę zbiornika z $15$ litrami oleju.

Część masy, która nie zależy od ilości oleju, to masa pustego zbiornika $12{,}4$ kg — to wyraz wolny $b$ .
Każdy litr dodaje $0{,}92$ kg, więc $x$ litrów dodaje $0{,}92x$ kg — stawka za jednostkę to współczynnik kierunkowy $a$ .
Wzór funkcji: $m(x)=0{,}92x+12{,}4$ .
Dla $15$ litrów: $m(15)=0{,}92\cdot 15+12{,}4=13{,}8+12{,}4=26{,}2$ kg.

Odpowiedź: $m(x)=0{,}92x+12{,}4$ ; $m(15)=26{,}2$ kg.

Przykład 2 Własności modelu liniowego na przedziale

Ze znaku współczynnika a odczytujesz, czy wielkość rośnie, sprawdzasz, czy miejsce zerowe należy do dziedziny, liczysz wartości na końcach przedziału i porównujesz dwa modele.

Zadanie Pusta cysterna ma masę $3200$ kg, a jeden litr paliwa ma masę $0{,}8$ kg. Masę cysterny z $x$ litrami paliwa opisuje funkcja $f(x)=0{,}8x+3200$ , gdzie $x\in[0,5000]$ . Oceń prawdziwość zdań: (1) funkcja $f$ jest rosnąca; (2) funkcja $f$ ma miejsce zerowe; (3) największa wartość funkcji $f$ jest równa $7200$ .

Współczynnik kierunkowy $a=0{,}8>0$ , więc funkcja jest rosnąca — każdy litr zwiększa masę. Zdanie (1) jest prawdziwe.
Miejsce zerowe: $0{,}8x+3200=0$ , stąd $x=-4000$ . Ta liczba nie należy do $[0,5000]$ , więc w dziedzinie funkcja nie ma miejsc zerowych (masa nigdy nie jest równa $0$ ). Zdanie (2) jest fałszywe.
Funkcja rosnąca na przedziale przyjmuje największą wartość na jego prawym końcu: $f(5000)=0{,}8\cdot 5000+3200=7200$ . Zdanie (3) jest prawdziwe.
Odpowiedź: P, F, P.

Odpowiedź: (1) prawda, (2) fałsz, (3) prawda.

Przykład 3 Największa wartość z wierzchołka paraboli: kiedy i ile

Dla wielkości opisanej wzorem at^{do potęgi 2} + bt + c z a < 0 liczysz chwilę maksimum p = −b/(2a) i największą wartość f(p), sprawdzając, czy p należy do dziedziny.

Zadanie Liczbę odwiedzających wystawę $n$ -tego dnia opisuje funkcja $W(n)=-2n^2+36n+150$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n\ge 1$ i $n\le 25$ . Którego dnia wystawę odwiedziło najwięcej osób? Ile ich było?

Współczynnik $a=-2<0$ , więc parabola ma ramiona w dół i największą wartość osiąga w wierzchołku.
Odcięta wierzchołka: $n_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2\cdot(-2)}=9$ . Liczba $9$ jest naturalna i spełnia $1\le 9\le 25$ , więc należy do dziedziny — to szukany dzień.
Największa wartość: $W(9)=-2\cdot 81+36\cdot 9+150=-162+324+150=312$ .
Najwięcej osób odwiedziło wystawę dziewiątego dnia — było ich $312$ .

Odpowiedź: Dzień $9$ ; $312$ osób.

Przykład 4 Największy przychód z postaci iloczynowej

Gdy wielkość jest iloczynem dwóch wyrażeń liniowych, odczytujesz miejsce zerowe z każdego czynnika, a chwilę maksimum jako ich średnią — bez wymnażania nawiasów.

Zadanie Kino ma $300$ miejsc. Przy cenie biletu $20$ zł wszystkie miejsca są zajęte, a każda podwyżka ceny o $2$ zł zmniejsza liczbę widzów o $15$ . Przychód z seansu przy podwyżce ceny o $2x$ zł opisuje funkcja $P(x)=(300-15x)(20+2x)$ , gdzie $x$ jest liczbą całkowitą, $x\ge 0$ i $x\le 20$ . Dla jakiego $x$ przychód jest największy? Oblicz ten przychód.

Miejsca zerowe odczytujesz z czynników: $300-15x=0$ daje $x=20$ , a $20+2x=0$ daje $x=-10$ .
Wierzchołek paraboli leży w połowie między miejscami zerowymi: $x_w=\frac{20+(-10)}{2}=5$ — liczba całkowita z przedziału $[0,20]$ , więc należy do dziedziny.
Współczynnik przy $x^2$ to $(-15)\cdot 2=-30<0$ , więc w wierzchołku jest maksimum, nie minimum.
Największy przychód: $P(5)=(300-75)(20+10)=225\cdot 30=6750$ zł (przy cenie biletu $30$ zł).

Odpowiedź: $x=5$ ; największy przychód $6750$ zł.

Przykład 5 Największy zysk: przychód minus koszt

Z przychodu P(x) i kosztu K(x) budujesz funkcję zysku Z(x) = P(x) − K(x), porządkujesz ją do postaci ax^{do potęgi 2} + bx + c i znajdujesz maksimum w wierzchołku z uwzględnieniem dziedziny.

Zadanie Warsztat produkuje lampy i sprzedaje je po $150$ zł za sztukę. Przychód ze sprzedaży $x$ lamp opisuje funkcja $P(x)=150x$ , a dzienny koszt produkcji $x$ lamp — funkcja $K(x)=3x^2+6x+300$ (w złotych). Dziennie można wyprodukować co najwyżej $40$ lamp. Ile lamp dziennie powinien sprzedawać warsztat, aby zysk był największy? Oblicz ten zysk.

Zysk to przychód minus koszt: $Z(x)=150x-(3x^2+6x+300)=-3x^2+144x-300$ — minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika kosztu.
Współczynnik $a=-3<0$ , więc największy zysk jest w wierzchołku: $x_w=-\frac{144}{2\cdot(-3)}=24$ .
Sprawdzenie dziedziny: $24$ jest liczbą całkowitą i $24\le 40$ , więc to odpowiedź.
Największy zysk: $Z(24)=-3\cdot 576+144\cdot 24-300=-1728+3456-300=1428$ zł.

Odpowiedź: $24$ lampy; największy zysk $1428$ zł.

Przykład 6 Chwila upadku i zadana wysokość z równania kwadratowego

Z warunku „wysokość równa 0” albo „wysokość równa h₀” układasz równanie kwadratowe, rozwiązujesz je i wybierasz pierwiastek, który ma sens w zadaniu.

Zadanie Kamień zrzucony z klifu leci po torze, którego wysokość nad wodą (w metrach) po $t$ sekundach opisuje funkcja $h(t)=-5t^2+10t+40$ . Po ilu sekundach kamień wpadnie do wody? W której chwili kamień znajduje się na wysokości $45$ m?

Kamień wpada do wody, gdy $h(t)=0$ : $-5t^2+10t+40=0$ . Dzielisz przez $-5$ , żeby uprościć: $t^2-2t-8=0$ .
$\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36$ , $\sqrt{\Delta}=6$ , więc $t=\frac{2-6}{2}=-2$ lub $t=\frac{2+6}{2}=4$ . Czas nie może być ujemny, więc kamień wpada do wody po $4$ s.
Wysokość $45$ m: $-5t^2+10t+40=45$ , czyli $-5t^2+10t-5=0$ , po podzieleniu przez $-5$ : $t^2-2t+1=0$ .
$(t-1)^2=0$ , więc $t=1$ — jedno rozwiązanie oznacza, że $45$ m to najwyższy punkt toru; kamień jest na tej wysokości tylko w chwili $t=1$ s.

Odpowiedź: Do wody po $4$ s; na wysokości $45$ m w chwili $t=1$ s.

Najczęstsze błędy

Liczenie największej wartości z $q$ i pomyłki ze znakami. Bezpieczniej podstawić $p$ do wzoru funkcji — największa wartość to $f(p)$ .
Pominięcie dziedziny z zadania (np. $n$ naturalne, $x\le 30$ ). Gdy $p$ leży poza przedziałem podanym w zadaniu, największa wartość jest na końcu tego przedziału.
Wymnażanie nawiasów w postaci iloczynowej. Wystarczy średnia miejsc zerowych: dla $P(x)=(60-x)(20+x)$ jest to $x_w=\frac{60+(-20)}{2}=20$ .
Zły znak przy odejmowaniu kosztu. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika: $100x-(2x^2+20x+150)=-2x^2+80x-150$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Pusty wózek ma masę $7{,}5$ kg. Jedna cegła ma masę $2{,}4$ kg. Niech $x$ oznacza liczbę cegieł na wózku, a $f(x)$ — wyrażoną w kilogramach masę wózka z cegłami, gdzie $x\in[0,40]$ . Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie 2

Masę doniczki z $x$ litrami ziemi opisuje funkcja $f(x)=0{,}6x+1{,}4$ (w kilogramach), gdzie $x\in[0,12]$ . Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 3

W chwili $t=0$ piłeczkę wyrzucono pionowo do góry z wysokości $1$ m. Wysokość $h$ piłeczki (w metrach) w chwili $t$ (w sekundach) opisuje wzór $h(t)=-4{,}9t^2+19{,}6t+1$ , gdzie $t$ zmienia się od $0$ do chwili upadku. Piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili:

Zadanie 4

Producent przeanalizował wpływ obniżki ceny słuchawek na liczbę kupujących. Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży (w złotych) wyraża się wzorem $Z(x)=(300+30x)(24-x)$ , gdzie $x$ jest kwotą obniżki ceny (w pełnych złotych) spełniającą warunki $x\ge 1$ i $x\le 20$ . Roczny zysk będzie największy dla $x$ równego:

Zadanie 5

Zakład sprzedaje stoliki po $120$ zł za sztukę. Przychód ze sprzedaży $x$ stolików opisuje funkcja $P(x)=120x$ , a koszt ich produkcji — funkcja $K(x)=x^2+20x+900$ (w złotych). Dziennie zakład może wyprodukować co najwyżej $100$ stolików. Zysk jest największy przy sprzedaży:

Zadanie 6

W chwili $t=0$ z balkonu wyrzucono piłkę do góry. Wysokość piłki nad ziemią (w metrach) w chwili $t$ (w sekundach) opisuje wzór $h(t)=-5t^2+15t+20$ . Piłka spadnie na ziemię po:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 13

Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6{,}5$ kg. Jeden litr mleka ma masę $1{,}03$ kg.

Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $f(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x \in [0, 10]$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Optymalizacja z funkcją kwadratową — pewniak maturalny MiedzianyFsor

Optymalizacja — wprowadzenie Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć największą wartość funkcji kwadratowej w zadaniu tekstowym?

Gdy $a<0$ , największa wartość jest w wierzchołku: liczymy $p=-\frac{b}{2a}$ , sprawdzamy, czy $p$ należy do dziedziny, i podstawiamy je do wzoru. Dla $h(t)=-5t^2+50t$ wychodzi $t_w=5$ s i $h(5)=125$ m.

Jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową?

Zapisz szukaną wielkość (zysk, przychód, wysokość) jako funkcję kwadratową, sprawdź, że $a<0$ , wyznacz $p=-\frac{b}{2a}$ , upewnij się, że $p$ należy do dziedziny, i oblicz $f(p)$ .

Jak ułożyć wzór funkcji liniowej z treści zadania?

Część stała to $b$ , a stawka za jednostkę to $a$ . Pusty kanister o masie $2$ kg i litr paliwa o masie $0{,}75$ kg dają $f(x)=0{,}75x+2$ , więc $f(20)=17$ kg.

Jak obliczyć zysk, gdy znam przychód i koszt?

Zysk to przychód minus koszt: $Z(x)=P(x)-K(x)$ . Na przykład $Z(x)=100x-(2x^2+20x+150)=-2x^2+80x-150$ , a największy zysk jest w wierzchołku, dla $x=20$ .

Co zrobić, gdy wierzchołek paraboli leży poza przedziałem z zadania?

Gdy $p$ leży poza przedziałem podanym w zadaniu, największa wartość jest na końcu tego przedziału. Podobnie funkcja liniowa rosnąca przyjmuje największą wartość na prawym końcu przedziału.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę