Funkcje · matura podstawowa 2 LO →

Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej — wytłumaczenie, wzór i zadania

Q: Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=5-2(x+4)². Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f oraz równanie jej osi symetrii.

Odpowiedź: W=(-4,5), oś symetrii x=-4. Porządkuję wzór do postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)²+q: f(x)=-2(x+4)²+5, więc a=-2 — minus stoi przed nawiasem, nie przed 5. Nawias (x+4)² zapisuję jako (x-(-4))²: liczba p to ta, którą odejmujemy od x, więc p=-4 (nie 4). Wyraz poza nawiasem to q=5, zatem wierzchołek ma współrzędne W=(p,q)=(-4,5). Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek: x=p, czyli x=-4. Znak a=-2<0 mówi tylko, że ramiona idą w dół — wierzchołka nie zmienia.

Każda postać wzoru funkcji kwadratowej zdradza coś innego: ogólna $y=ax^2+bx+c$ — znak $a$ (kierunek ramion) i $c=f(0)$ (punkt przecięcia z osią $Oy$ ), kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ — wierzchołek $(p,q)$ i oś symetrii $x=p$ , iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ — miejsca zerowe. Wszystko spina oś symetrii: $p=\frac{-b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}$ , a $q=f(p)$ .

$y=6-3(x+1)^2$ : wierzchołek $(\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}},\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}})$ , oś $x=-1$ , ramiona w dół.
$y=x^2-10x+7$ : $p=\frac{10}{2}=5$ , $q=25-50+7=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-18}}$ , zbiór wartości $\langle -18,+\infty)$ .
$y=-(x+2)(x-6)$ : miejsca zerowe $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ , wierzchołek w środku: $p=2$ , $q=-4\cdot(-4)=16$ .
$y=(x-1)^2-9$ : $(x-1)^2=9$ , więc miejsca zerowe $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .
Oś $x=5$ i $f(2)=f(t)$ , $t\neq 2$ : $t=2\cdot 5-2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ — argumenty symetryczne względem osi dają tę samą wartość.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $p=\frac{-b}{2a}$ i $q=\frac{-\Delta}{4a}$ , ale $q$ szybciej policzysz jako $f(p)$ . Najczęstsze zadanie za 1 pkt: dany wierzchołek (często na rysunku) i jedno miejsce zerowe albo warunek $f(t)=f(x_1)$ — odpowiedź to $2p-x_1$ . Pułapki: $(x+3)^2$ oznacza $p=-3$ , a w postaci kanonicznej $q$ nie jest wyrazem wolnym — punkt na osi $Oy$ to $(0,f(0))$ , nie $(0,q)$ .

Przykład krok po kroku

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=5-2(x+4)^2$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f$ oraz równanie jej osi symetrii.

1 Porządkuję wzór do postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ : $f(x)=-2(x+4)^2+5$ , więc $a=-2$ — minus stoi przed nawiasem, nie przed $5$ .
2 Nawias $(x+4)^2$ zapisuję jako $(x-(-4))^2$ : liczba $p$ to ta, którą odejmujemy od $x$ , więc $p=-4$ (nie $4$ ).
3 Wyraz poza nawiasem to $q=5$ , zatem wierzchołek ma współrzędne $W=(p,q)=(-4,5)$ .
4 Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek: $x=p$ , czyli $x=-4$ . Znak $a=-2<0$ mówi tylko, że ramiona idą w dół — wierzchołka nie zmienia.

Odpowiedź: $W=(-4,5)$ , oś symetrii $x=-4$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zbiór wartości i oś symetrii funkcji kwadratowej Asjonat

Funkcja kwadratowa — cała wiedza (poradnik) Matemaks

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-3(x-1)^2-8$ . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ ma współrzędne:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 16

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$ . Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , jest równa $3$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej" w aplikacji Compass

Opanuj „Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=5-2(x+4)². Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f oraz równanie jej osi symetrii. +

Odpowiedź: W=(-4,5), oś symetrii x=-4. Porządkuję wzór do postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)²+q: f(x)=-2(x+4)²+5, więc a=-2 — minus stoi przed nawiasem, nie przed 5. Nawias (x+4)² zapisuję jako (x-(-4))²: liczba p to ta, którą odejmujemy od x, więc p=-4 (nie 4). Wyraz poza nawiasem to q=5, zatem wierzchołek ma współrzędne W=(p,q)=(-4,5). Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek: x=p, czyli x=-4. Znak a=-2<0 mówi tylko, że ramiona idą w dół — wierzchołka nie zmienia.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →