Przejdź do treści
Poznaj Compass

Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej — przykłady i zadania

Każda postać wzoru funkcji kwadratowej mówi coś innego: ogólna y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c — kierunek ramion (znak aa) i punkt (0,c)(0,c), kanoniczna y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q — wierzchołek (p,q)(p,q), iloczynowa y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2) — miejsca zerowe.

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Postać ogólna znak aa — kierunek ramion, c=f(0)c=f(0) — punkt przecięcia z osią OyOy
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c
Postać kanoniczna (p,q)(p,q) — wierzchołek, x=px=p — oś symetrii
y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q
Postać iloczynowa x1x_1, x2x_2 — miejsca zerowe
y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2)
Oś symetrii paraboli druga współrzędna wierzchołka: q=f(p)q=f(p)
p=−b2a=x1+x22p=\frac{-b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}

Co mówią współczynniki funkcji kwadratowej

Każda postać wzoru funkcji kwadratowej zdradza coś innego: ogólna y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c — znak aa (kierunek ramion) i c=f(0)c=f(0) (punkt przecięcia z osią OyOy), kanoniczna y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q — wierzchołek (p,q)(p,q) i oś symetrii x=px=p, iloczynowa y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2) — miejsca zerowe. Wszystko spina oś symetrii: p=−b2a=x1+x22p=\frac{-b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}, a q=f(p)q=f(p).

  • y=6−3(x+1)2y=6-3(x+1)^2: wierzchołek (−1,6)(\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}},\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}), oś x=−1x=-1, ramiona w dół.
  • y=x2−10x+7y=x^2-10x+7: p=102=5p=\frac{10}{2}=5, q=25−50+7=−18q=25-50+7=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-18}}, zbiór wartości ⟨−18,+∞)\langle -18,+\infty).
  • y=−(x+2)(x−6)y=-(x+2)(x-6): miejsca zerowe −2\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}} i 6\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}, wierzchołek w środku: p=2p=2, q=−4⋅(−4)=16q=-4\cdot(-4)=16.
  • y=(x−1)2−9y=(x-1)^2-9: (x−1)2=9(x-1)^2=9, więc miejsca zerowe −2\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}} i 4\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}.
  • Oś x=5x=5 i f(2)=f(t)f(2)=f(t), t≠2t\neq 2: t=2⋅5−2=8t=2\cdot 5-2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}} — argumenty symetryczne względem osi dają tę samą wartość.

Oś symetrii i wierzchołek w zadaniach maturalnych

Na maturze: karta wzorów CKE podaje p=−b2ap=\frac{-b}{2a} i q=−Δ4aq=\frac{-\Delta}{4a}, ale qq szybciej policzysz jako f(p)f(p). Najczęstsze zadanie za 1 pkt: dany wierzchołek (często na rysunku) i jedno miejsce zerowe albo warunek f(t)=f(x1)f(t)=f(x_1) — odpowiedź to 2p−x12p-x_1. Pułapki: (x+3)2(x+3)^2 oznacza p=−3p=-3, a w postaci kanonicznej qq nie jest wyrazem wolnym — punkt na osi OyOy to (0,f(0))(0,f(0)), nie (0,q)(0,q).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wierzchołek i oś symetrii z postaci kanonicznej

Ze wzoru y = a(x − p) do potęgi 2 + q odczytujesz wierzchołek (p, q) i oś symetrii x = p, pilnując znaku przy p — także gdy wzór jest przestawiony, np. y = 3 − 2(x + 1) do potęgi 2.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=5−2(x+4)2f(x)=5-2(x+4)^2. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji ff oraz równanie jej osi symetrii.

  1. Porządkuję wzór do postaci kanonicznej f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q: f(x)=−2(x+4)2+5f(x)=-2(x+4)^2+5, więc a=−2a=-2 — minus stoi przed nawiasem, nie przed 55.
  2. Nawias (x+4)2(x+4)^2 zapisuję jako (x−(−4))2(x-(-4))^2: liczba pp to ta, którą odejmujemy od xx, więc p=−4p=-4 (nie 44).
  3. Wyraz poza nawiasem to q=5q=5, zatem wierzchołek ma współrzędne W=(p,q)=(−4,5)W=(p,q)=(-4,5).
  4. Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek: x=px=p, czyli x=−4x=-4. Znak a=−2<0a=-2<0 mówi tylko, że ramiona idą w dół — wierzchołka nie zmienia.

Odpowiedź: W=(−4,5)W=(-4,5), oś symetrii x=−4x=-4

Przykład 2 Wierzchołek paraboli z postaci ogólnej

Ze wzoru y = ax do potęgi 2 + bx + c liczysz p = −b/(2a), a drugą współrzędną wierzchołka jako q = f(p) (albo −Δ/(4a)).

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−2x2+12x−7f(x)=-2x^2+12x-7. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji ff.

  1. Odczytuję współczynniki z postaci ogólnej razem ze znakami: a=−2a=-2, b=12b=12, c=−7c=-7.
  2. Pierwsza współrzędna wierzchołka: p=−b2a=−122⋅(−2)=−12−4=3p=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 — dzielę przez 2a2a, nie przez aa.
  3. Drugą współrzędną liczę jako wartość funkcji w pp (szybciej niż −Δ4a\frac{-\Delta}{4a}): q=f(3)=−2⋅9+36−7=−18+36−7=11q=f(3)=-2\cdot 9+36-7=-18+36-7=11.
  4. Kontrola przez deltę: Δ=144−4⋅(−2)⋅(−7)=144−56=88\Delta=144-4\cdot(-2)\cdot(-7)=144-56=88, q=−884⋅(−2)=11q=\frac{-88}{4\cdot(-2)}=11 — zgadza się. Wierzchołek: W=(3,11)W=(3,11).

Odpowiedź: W=(3,11)W=(3,11)

Przykład 3 Miejsca zerowe i wierzchołek z postaci iloczynowej

Ze wzoru y = a(x − x1)(x − x2) odczytujesz miejsca zerowe (ze zmianą znaku) i znajdujesz wierzchołek w środku między nimi: p = (x1 + x2)/2, q = f(p).

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−2(x+1)(x−5)f(x)=-2(x+1)(x-5). Wyznacz miejsca zerowe funkcji ff oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.

  1. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z nawiasów: x+1=0x+1=0 lub x−5=0x-5=0, więc miejsca zerowe to x1=−1x_1=-1 i x2=5x_2=5 — znaki przeciwne do tych w nawiasach.
  2. Parabola jest symetryczna, więc wierzchołek leży dokładnie w środku między miejscami zerowymi: p=−1+52=2p=\frac{-1+5}{2}=2.
  3. Drugą współrzędną liczę, podstawiając pp do wzoru: q=f(2)=−2⋅(2+1)⋅(2−5)=−2⋅3⋅(−3)=18q=f(2)=-2\cdot(2+1)\cdot(2-5)=-2\cdot 3\cdot(-3)=18.
  4. Wierzchołek W=(2,18)W=(2,18); a=−2<0a=-2<0, ramiona w dół, więc 1818 jest wartością największą — zgadza się z tym, że między miejscami zerowymi funkcja jest dodatnia.

Odpowiedź: miejsca zerowe −1-1 i 55; W=(2,18)W=(2,18)

Przykład 4 Zbiór wartości funkcji z wierzchołka

Wyznaczasz q (odczyt z postaci kanonicznej albo q = f(p) z innej postaci) i po znaku a zapisujesz zbiór wartości ⟨q, +∞) lub (−∞, q⟩.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−x2+8x−10f(x)=-x^2+8x-10. Wyznacz zbiór wartości funkcji ff.

  1. Wzór jest w postaci ogólnej, więc najpierw znajduję wierzchołek: a=−1a=-1, b=8b=8, p=−82⋅(−1)=4p=\frac{-8}{2\cdot(-1)}=4.
  2. q=f(4)=−16+32−10=6q=f(4)=-16+32-10=6 — to druga współrzędna wierzchołka W=(4,6)W=(4,6); wyraz wolny −10-10 to f(0)f(0), nie kraniec zbioru wartości.
  3. Ponieważ a=−1<0a=-1<0, ramiona są skierowane w dół i q=6q=6 jest największą wartością funkcji; wszystkie mniejsze wartości funkcja też przyjmuje.
  4. Zbiór wartości: ZWf=(−∞,6⟩ZW_f=(-\infty,6\rangle — kraniec 66 należy do zbioru, bo f(4)=6f(4)=6.

Odpowiedź: (−∞,6⟩(-\infty,6\rangle

Przykład 5 Znaki współczynników a, b, c z położenia paraboli

Z opisu lub rysunku paraboli wnioskujesz o znakach: a z kierunku ramion, c z punktu przecięcia z osią Oy, b ze strony osi Oy, po której leży wierzchołek (p = −b/(2a)).

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji ff są skierowane w dół, jej wierzchołek leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, a wykres przecina oś OyOy poniżej początku układu. Ustal znaki współczynników aa, bb i cc.

  1. Ramiona w dół oznaczają a<0a<0 — o kierunku ramion decyduje wyłącznie znak aa.
  2. Punkt przecięcia z osią OyOy to (0,f(0))=(0,c)(0,f(0))=(0,c); leży poniżej początku układu, więc c<0c<0.
  3. Wierzchołek w II ćwiartce ma pierwszą współrzędną ujemną: p=−b2a<0p=\frac{-b}{2a}<0. Skoro a<0a<0, mianownik 2a2a jest ujemny, więc licznik −b-b musi być dodatni: b<0b<0.
  4. Kontrola: p=−b2ap=\frac{-b}{2a} jest ujemne dokładnie wtedy, gdy aa i bb mają ten sam znak. Zatem a<0a<0, b<0b<0, c<0c<0.

Odpowiedź: a<0a<0, b<0b<0, c<0c<0

Przykład 6 Miejsca zerowe z postaci kanonicznej

Rozwiązujesz a(x − p) do potęgi 2 + q = 0 przez (x − p) do potęgi 2 = −q/a i x = p ± −q/a\sqrt{−q/a}; gdy −q/a < 0, miejsc zerowych nie ma. Punkt na osi Oy to (0, f(0)), nie (0, q).

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=2(x+3)2−32f(x)=2(x+3)^2-32. Wyznacz miejsca zerowe funkcji ff oraz współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OyOy.

  1. Miejsca zerowe to rozwiązania f(x)=0f(x)=0: 2(x+3)2−32=02(x+3)^2-32=0, czyli (x+3)2=16(x+3)^2=16 — nie rozwijam nawiasu, bo postać kanoniczna daje kwadrat gotowy do pierwiastkowania.
  2. Równanie (x+3)2=16(x+3)^2=16 ma dwa rozwiązania: x+3=4x+3=4 lub x+3=−4x+3=-4, stąd x=1x=1 lub x=−7x=-7.
  3. Kontrola symetrii: miejsca zerowe leżą symetrycznie względem p=−3p=-3: 1+(−7)2=−3\frac{1+(-7)}{2}=-3 — zgadza się.
  4. Przecięcie z osią OyOy to punkt (0,f(0))(0,f(0)): f(0)=2⋅9−32=−14f(0)=2\cdot 9-32=-14, więc (0,−14)(0,-14) — nie (0,−32)(0,-32), bo qq nie jest wyrazem wolnym.

Odpowiedź: miejsca zerowe −7-7 i 11; punkt (0,−14)(0,-14)

Najczęstsze błędy

  • Zły znak pp: (x+3)2(x+3)^2 oznacza p=−3p=-3, nie 33.
  • Wzięcie (0,q)(0,q) za punkt przecięcia z osią OyOy. W postaci kanonicznej qq nie jest wyrazem wolnym — ten punkt to (0,f(0))(0,f(0)).
  • Dzielenie przez aa zamiast przez 2a2a przy liczeniu p=−b2ap=\frac{-b}{2a}.
  • Wzięcie wyrazu wolnego cc za kraniec zbioru wartości. Krańcem jest qq — druga współrzędna wierzchołka; cc to tylko f(0)f(0).

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−3(x−1)2−8f(x)=-3(x-1)^2-8. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ff ma współrzędne:

Zadanie 2

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=x2−6x+4f(x)=x^2-6x+4. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ff ma współrzędne:

Zadanie 3

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x+5)(x−1)f(x)=-(x+5)(x-1). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ff ma współrzędne:

Zadanie 4

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ff jest punkt W=(−3,−4)W=(-3,-4), a ramiona tej paraboli są skierowane w górę. Zbiorem wartości funkcji ff jest:

Zadanie 5

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, gdzie a>0a>0 i b<0b<0. Wynika stąd, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ff leży:

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x−2)2+9f(x)=-(x-2)^2+9. Miejscami zerowymi funkcji ff są liczby:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 16

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej ff jest liczba (−5)(-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji ff, jest równa 33.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji ff jest liczba

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zbiór wartości i oś symetrii funkcji kwadratowej Asjonat
Funkcja kwadratowa — cała wiedza (poradnik) Matemaks

Najczęstsze pytania

Co oznaczają współczynniki a, b i c funkcji kwadratowej?

Znak aa mówi, w którą stronę idą ramiona paraboli (a>0a>0 — w górę, a<0a<0 — w dół), c=f(0)c=f(0) wyznacza punkt (0,c)(0,c) na osi OyOy, a bb razem z aa daje oś symetrii p=−b2ap=\frac{-b}{2a}.

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

p=−b2ap=\frac{-b}{2a}, a q=f(p)q=f(p). Dla y=x2−10x+7y=x^2-10x+7: p=5p=5, q=25−50+7=−18q=25-50+7=-18, więc wierzchołek to (5,−18)(5,-18), a zbiór wartości ⟨−18,+∞)\langle -18,+\infty).

Jak odczytać wierzchołek z postaci kanonicznej?

W y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q wierzchołek to (p,q)(p,q), przy czym pp ma znak przeciwny niż liczba w nawiasie. Funkcja y=6−3(x+1)2y=6-3(x+1)^2 ma wierzchołek (−1,6)(-1,6) i ramiona w dół.

Jak wyznaczyć drugie miejsce zerowe z osi symetrii?

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi x=px=p, więc drugie to 2p−x12p-x_1. Przy wierzchołku (−2,5)(-2,5) i miejscu zerowym 44 drugie wynosi 2⋅(−2)−4=−82\cdot(-2)-4=-8.

Jak odczytać znak b z wykresu paraboli?

Z położenia wierzchołka: p=−b2ap=\frac{-b}{2a} jest ujemne dokładnie wtedy, gdy aa i bb mają ten sam znak. Ramiona w dół i wierzchołek na lewo od osi OyOy oznaczają b<0b<0.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę