Wzór funkcji kwadratowej — jak go wyznaczyć, przykłady i zadania

Q: Jakie są postacie wzoru funkcji kwadratowej?

Ogólna y=ax²+bx+c, kanoniczna y=a(x-p)²+q, w której (p,q) to wierzchołek, i iloczynowa y=a(x-x₁)(x-x₂), w której x₁, x₂ to miejsca zerowe.

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka i punktu?

Wpisz wierzchołek do postaci kanonicznej i podstaw punkt. Wierzchołek (2,5) i punkt (0,-3) dają -3=a·(0-2)²+5, więc a=-2 i y=-2(x-2)²+5.

Q: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z miejsc zerowych?

Wpisz miejsca zerowe do postaci iloczynowej i wyznacz a z punktu wykresu. Miejsca zerowe -1 i 4 oraz punkt (2,12) dają 12=a·3·(-2), więc a=-2 i y=-2(x+1)(x-4).

Q: Jak zamienić postać kanoniczną na ogólną?

Rozwiń kwadrat dwumianu, pomnóż przez a i dodaj q: y=3(x-2)²-4=3(x²-4x+4)-4=3x²-12x+8.

Q: Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Z postaci ogólnej: p=(-b)/(2a), a q najszybciej jako f(p). Z postaci kanonicznej odczytuje się go od razu: y=-3(x+2)²+7 ma wierzchołek (-2,7).

Wzór funkcji kwadratowej dobieramy do danych: z wierzchołka $W=(p,q)$ — postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ , z miejsc zerowych $x_1, x_2$ — postać iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Współczynnik $a$ wyznaczamy z dodatkowego punktu wykresu.

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Postać kanoniczna $(p,q)$ — wierzchołek paraboli: $y=a(x-p)^2+q$
Postać iloczynowa $x_1$ , $x_2$ — miejsca zerowe funkcji: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
Pierwsza współrzędna wierzchołka $a$ , $b$ — współczynniki postaci ogólnej $y=ax^2+bx+c$: $p=\frac{-b}{2a}$
Druga współrzędna wierzchołka szybciej: $q=f(p)$: $q=\frac{-\Delta}{4a}$

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej dobierasz do danych: wierzchołek $W=(p,q)$ → postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ , miejsca zerowe $x_1,x_2$ → postać iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Zostaje jedna niewiadoma — $a$ — którą wyznaczasz z dodatkowego punktu wykresu.

Wierzchołek $(2,5)$ , punkt $(0,-3)$ : $-3=a\cdot(0-2)^2+5$ , więc $a=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ i $y=-2(x-2)^2+5$ .
Miejsca zerowe $-1$ i $4$ , punkt $(2,12)$ : $12=a\cdot 3\cdot(-2)$ , więc $a=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ i $y=-2(x+1)(x-4)$ .
Oś symetrii $x=2$ i miejsce zerowe $-3$ : drugie miejsce zerowe to $2\cdot 2-(-3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$ .
$y=3(x-2)^2-4$ w postaci ogólnej: $3x^2-12x+\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ .

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje wszystkie trzy postacie oraz $p=\frac{-b}{2a}$ i $q=\frac{-\Delta}{4a}$ — ale $q$ szybciej policzysz jako $f(p)$ . Zadanie otwarte zwykle daje wierzchołek albo oś symetrii z jednym miejscem zerowym oraz jeden punkt wykresu (często przecięcie z osią $Oy$ ) i każe zapisać wzór „w postaci kanonicznej” lub „ogólnej”: dobierz postać do danych, wyznacz $a$ , dopiero na końcu przekształć. Pułapki: w $(x+3)^2$ jest $p=-3$ ; „dokładnie jeden punkt wspólny z osią $Ox$ ” oznacza, że wierzchołek leży na tej osi.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wierzchołek i zbiór wartości z postaci kanonicznej

Z wzoru y = a(x − p)^{do potęgi 2} + q odczytujesz wierzchołek (p, q), a ze znaku a — kierunek ramion i zbiór wartości.

Zadanie Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-3(x+2)^2+7$ . Podaj wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ oraz zbiór wartości tej funkcji.

Porównuję wzór z postacią kanoniczną $y=a(x-p)^2+q$ : nawias $(x+2)=(x-(-2))$ , więc $p=-2$ — znak przeciwny niż w nawiasie.
Liczba za nawiasem to $q=7$ , zatem wierzchołek $W=(-2,7)$ .
Współczynnik $a=-3<0$ : ramiona skierowane w dół, więc $q=7$ jest największą wartością funkcji.
Zbiór wartości: $(-\infty,7]$ .

Odpowiedź: $W=(-2,7)$ , zbiór wartości $(-\infty,7]$

Przykład 2 Miejsca zerowe z postaci iloczynowej i wzór z miejsc zerowych

Z wzoru y = a(x − x₁)(x − x₂) odczytujesz miejsca zerowe x₁, x₂ i zapisujesz taki wzór, gdy dane są miejsca zerowe i a.

Zadanie Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x+4)(x-1)$ . Podaj miejsca zerowe funkcji $f$ oraz zapisz wzór funkcji kwadratowej $g$ o tym samym współczynniku $a$ , której miejscami zerowymi są liczby $-3$ i $5$ .

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z nawiasów: $x+4=0$ lub $x-1=0$ ; liczba $-2$ nigdy nie jest zerem.
Miejsca zerowe $f$ : $x_1=-4$ , $x_2=1$ — znak przeciwny niż w nawiasie.
Dla $g$ o miejscach zerowych $-3$ i $5$ nawiasy to $(x-(-3))=(x+3)$ oraz $(x-5)$ .
Z $a=-2$ : $g(x)=-2(x+3)(x-5)$ .

Odpowiedź: $x_1=-4$ , $x_2=1$ ; $g(x)=-2(x+3)(x-5)$

Przykład 3 Wzór z wierzchołka i punktu wykresu

Wpisujesz wierzchołek do postaci kanonicznej y = a(x − p)^{do potęgi 2} + q, podstawiasz drugi punkt wykresu i wyznaczasz a.

Zadanie Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest punkt $W=(2,5)$ . Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Wierzchołek $(2,5)$ wpisuję do postaci kanonicznej: $f(x)=a(x-2)^2+5$ — niewiadomą jest tylko $a$ .
Punkt $(0,-3)$ leży na wykresie, więc $f(0)=-3$ : $-3=a(0-2)^2+5$ .
$(0-2)^2=4$ , więc $4a+5=-3$ , stąd $4a=-8$ i $a=-2$ .
Kontrola: $a<0$ — ramiona w dół, a punkt $(0,-3)$ leży poniżej wierzchołka, zgadza się. $f(x)=-2(x-2)^2+5$ .

Odpowiedź: $f(x)=-2(x-2)^2+5$

Przykład 4 Wzór z miejsc zerowych i punktu wykresu

Wpisujesz miejsca zerowe do postaci iloczynowej y = a(x − x₁)(x − x₂), podstawiasz punkt wykresu i wyznaczasz a.

Zadanie Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-1$ i $4$ , a do wykresu należy punkt $(2,12)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Miejsca zerowe $-1$ i $4$ wpisuję do postaci iloczynowej: $f(x)=a(x+1)(x-4)$ — niewiadomą jest tylko $a$ .
Punkt $(2,12)$ : $12=a(2+1)(2-4)=a\cdot 3\cdot(-2)=-6a$ .
$a=\frac{12}{-6}=-2$ .
Kontrola: punkt $(2,12)$ leży między miejscami zerowymi i nad osią, więc ramiona idą w dół — $a<0$ zgadza się. $f(x)=-2(x+1)(x-4)$ .

Odpowiedź: $f(x)=-2(x+1)(x-4)$

Przykład 5 Zamiana postaci kanonicznej na ogólną

Wymnażasz postać kanoniczną lub iloczynową i odczytujesz współczynniki a, b, c postaci ogólnej y = ax^{do potęgi 2} + bx + c.

Zadanie Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x-3)^2+7$ . Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej i podaj współczynniki $b$ oraz $c$ .

Najpierw kwadrat dwumianu: $(x-3)^2=x^2-6x+9$ — środkowy wyraz to $2\cdot x\cdot 3$ ze znakiem minus.
Mnożę przez $-2$ każdy składnik: $-2x^2+12x-18$ .
Dodaję $7$ : $f(x)=-2x^2+12x-11$ .
Odczyt: $a=-2$ , $b=12$ , $c=-11$ . Kontrola: $c=f(0)=-2\cdot 9+7=-11$ .

Odpowiedź: $f(x)=-2x^2+12x-11$ ; $b=12$ , $c=-11$

Przykład 6 Drugie miejsce zerowe z osi symetrii

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi x = p, więc z jednego miejsca zerowego i osi liczysz drugie: x₂ = 2p − x₁, a wierzchołek jako (p, f(p)).

Zadanie Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ jest prosta $x=2$ , jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $-3$ , a $f(0)=21$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi $x=2$ : od $-3$ do $2$ jest $5$ jednostek, więc drugie miejsce zerowe to $x_2=2\cdot 2-(-3)=7$ .
Postać iloczynowa: $f(x)=a(x+3)(x-7)$ ; z $f(0)=21$ : $21=a\cdot 3\cdot(-7)=-21a$ , więc $a=-1$ .
Wierzchołek leży na osi symetrii: $p=2$ , a $q=f(2)=-(2+3)(2-7)=-(5)\cdot(-5)=25$ .
Postać kanoniczna: $f(x)=-(x-2)^2+25$ .

Odpowiedź: $f(x)=-(x-2)^2+25$

Najczęstsze błędy

Zły znak $p$ . W $(x+3)^2$ jest $p=-3$ , bo $x+3=x-(-3)$ .
Niezauważenie warunku „dokładnie jeden punkt wspólny z osią $Ox$ ” — oznacza on, że wierzchołek leży na osi $Ox$ , czyli $q=0$ .
Wymnażanie nawiasów, zanim znane jest $a$ . Najpierw dobieramy postać do danych i wyznaczamy $a$ , przekształcamy dopiero na końcu.
Zgubiony podwójny iloczyn przy rozwijaniu: $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , a nie $x^2+9$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x-4)^2+5$ . Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:

Zadanie 2

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-3(x+1)(x-6)$ . Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby:

Zadanie 3

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest punkt $W=(-2,9)$ , a punkt $(0,5)$ należy do tej paraboli. Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie 4

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-2$ i $5$ , a do wykresu należy punkt $(3,10)$ . Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie 5

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3(x-2)^2-4$ . Współczynnik $c$ w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ jest równy:

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^2+bx+c$ , gdzie $b$ i $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $-5$ , a osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu $x=-2$ . Funkcja $f$ jest określona wzorem:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 15

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wierzchołek paraboli i postać kanoniczna funkcji kwadratowej katmat

Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej Lernado

Najczęstsze pytania

Jakie są postacie wzoru funkcji kwadratowej?

Ogólna $y=ax^2+bx+c$ , kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ , w której $(p,q)$ to wierzchołek, i iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ , w której $x_1$ , $x_2$ to miejsca zerowe.

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka i punktu?

Wpisz wierzchołek do postaci kanonicznej i podstaw punkt. Wierzchołek $(2,5)$ i punkt $(0,-3)$ dają $-3=a\cdot(0-2)^2+5$ , więc $a=-2$ i $y=-2(x-2)^2+5$ .

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z miejsc zerowych?

Wpisz miejsca zerowe do postaci iloczynowej i wyznacz $a$ z punktu wykresu. Miejsca zerowe $-1$ i $4$ oraz punkt $(2,12)$ dają $12=a\cdot3\cdot(-2)$ , więc $a=-2$ i $y=-2(x+1)(x-4)$ .

Jak zamienić postać kanoniczną na ogólną?

Rozwiń kwadrat dwumianu, pomnóż przez $a$ i dodaj $q$ : $y=3(x-2)^2-4=3(x^2-4x+4)-4=3x^2-12x+8$ .

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Z postaci ogólnej: $p=\frac{-b}{2a}$ , a $q$ najszybciej jako $f(p)$ . Z postaci kanonicznej odczytuje się go od razu: $y=-3(x+2)^2+7$ ma wierzchołek $(-2,7)$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę