Przejdź do treści
Poznaj Compass

Wykres funkcji kwadratowej — jak naszkicować parabolę krok po kroku

Wykres funkcji kwadratowej szkicujemy z czterech cech: kierunku ramion (znak aa), wierzchołka W=(p,q)W=(p,q), gdzie p=−b2ap=-\tfrac{b}{2a}, miejsc zerowych i punktu (0,c)(0,c) na osi OyOy. Parabola jest symetryczna względem prostej x=px=p.

Funkcje · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Pierwsza współrzędna wierzchołka aa, bb — współczynniki postaci ogólnej f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
p=−b2ap=-\tfrac{b}{2a}
Druga współrzędna wierzchołka Δ\Delta — wyróżnik (delta); qq można też policzyć jako f(p)f(p)
q=−Δ4aq=-\tfrac{\Delta}{4a}
Oś symetrii paraboli pionowa prosta przez wierzchołek W=(p,q)W=(p,q)
x=px=p

Jak narysować wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej szkicujesz z czterech informacji: kierunku ramion (znak aa), wierzchołka W=(p,q)W=(p,q), miejsc zerowych i punktu (0,c)(0,c) przecięcia z osią OyOy — parabola jest symetryczna względem pionowej prostej x=px=p przechodzącej przez wierzchołek.

Wierzchołek i miejsca zerowe z postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej

  • postać ogólna f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5: p=−b2a=3p=-\tfrac{b}{2a}=3, q=f(3)=−4q=f(3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}; Δ=16\Delta=16, miejsca zerowe 11 i 55; punkt (0,5)(0,\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}); a>0a>0 — ramiona w górę
  • postać kanoniczna f(x)=−2(x+1)2+8f(x)=-2(x+1)^2+8: wierzchołek (−1, 8)\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,\,8)}} (znak w nawiasie odwrotny niż znak pp!), ramiona w dół, f(0)=−2+8=6f(0)=-2+8=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}
  • postać iloczynowa f(x)=(x+3)(x−1)f(x)=(x+3)(x-1): miejsca zerowe −3-3 i 11, oś symetrii pośrodku: p=−1p=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}, q=f(−1)=2⋅(−2)=−4q=f(-1)=2\cdot(-2)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}
  • Δ<0\Delta<0 przy a>0a>0: parabola leży w całości nad osią OxOx — brak miejsc zerowych

Wykres funkcji kwadratowej na maturze

Na maturze: typowe zadanie za 1 pkt to „wskaż rysunek z wykresem funkcji f(x)=−(x+1)2+4f(x)=-(x+1)^2+4” — wystarczą dwie cechy (kierunek ramion i wierzchołek), żeby odrzucić trzy rysunki, a trzecia (miejsca zerowe albo punkt (0,c)(0,c)) potwierdza wybór. Karta wzorów CKE podaje p=−b2ap=-\tfrac{b}{2a}, q=−Δ4aq=-\tfrac{\Delta}{4a} i wszystkie trzy postacie wzoru. Pułapki: (x+1)2(x+1)^2 oznacza p=−1p=-1, nie 11; wykres przecina oś OyOy w punkcie (0,q)(0,q) tylko wtedy, gdy p=0p=0 — w innym wypadku licz f(0)f(0).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wierzchołek paraboli i kierunek ramion z postaci ogólnej

Z f(x) = ax do potęgi 2 + bx + c liczysz p = −b/2a i q = f(p), a ze znaku a odczytujesz kierunek ramion paraboli.

Zadanie Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−2x2+12x−13f(x) = -2x^2 + 12x - 13. Wyznacz wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji, kierunek jej ramion oraz ćwiartkę układu współrzędnych, w której leży wierzchołek.

  1. Odczytuję współczynniki: a=−2a = -2, b=12b = 12, c=−13c = -13. Ponieważ a<0a < 0, ramiona paraboli są skierowane w dół.
  2. Odcięta wierzchołka ze wzoru: p=−b2a=−122⋅(−2)=−12−4=3p = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2\cdot(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 (dwa minusy dają plus).
  3. Rzędną wierzchołka liczę, podstawiając pp do wzoru funkcji: q=f(3)=−2⋅9+12⋅3−13=−18+36−13=5q = f(3) = -2\cdot 9 + 12\cdot 3 - 13 = -18 + 36 - 13 = 5.
  4. Wierzchołek W=(3,5)W = (3, 5) ma obie współrzędne dodatnie, więc leży w I ćwiartce; ramiona w dół oznaczają, że parabola „zwisa” z punktu (3,5)(3,5) i przecina oś OxOx w dwóch punktach.

Odpowiedź: W = (3, 5), ramiona w dół, wierzchołek w I ćwiartce.

Przykład 2 Punkt na osi Oy i miejsca zerowe z postaci ogólnej

Z wyrazu wolnego odczytujesz punkt przecięcia z osią Oy, a z Δ liczysz, czy i gdzie parabola przecina oś Ox.

Zadanie Naszkicuj wykres funkcji f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8: podaj punkt przecięcia z osią OyOy, miejsca zerowe, wierzchołek i kierunek ramion.

  1. Punkt przecięcia z osią OyOy ma odciętą 00, a f(0)=cf(0) = c, więc jest to (0,−8)(0, -8) — bez liczenia.
  2. Miejsca zerowe z równania x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0: Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=4+32=36\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36, Δ=6\sqrt{\Delta} = 6.
  3. x1=2−62=−2x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, x2=2+62=4x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4, więc parabola przecina oś OxOx w punktach (−2,0)(-2, 0) i (4,0)(4, 0).
  4. Wierzchołek leży pośrodku miejsc zerowych: p=−2+42=1p = \frac{-2 + 4}{2} = 1, q=f(1)=1−2−8=−9q = f(1) = 1 - 2 - 8 = -9. a=1>0a = 1 > 0 — ramiona w górę.
  5. Szkic: parabola z ramionami w górę przechodząca przez (−2,0)(-2, 0), (0,−8)(0, -8) i (4,0)(4, 0), z najniższym punktem W=(1,−9)W = (1, -9).

Odpowiedź: (0, −8); miejsca zerowe −2 i 4; W = (1, −9); ramiona w górę.

Przykład 3 Wierzchołek i szkic paraboli z postaci kanonicznej

Z f(x) = a(x − p) do potęgi 2 + q odczytujesz wierzchołek (p, q) z uwagą na znak w nawiasie, a potem liczysz f(0) i miejsca zerowe bez Δ.

Zadanie Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=2(x+3)2−8f(x) = 2(x + 3)^2 - 8. Podaj wierzchołek paraboli, kierunek ramion, punkt przecięcia z osią OyOy oraz miejsca zerowe tej funkcji.

  1. Porównuję ze wzorem f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q: (x+3)=(x−(−3))(x + 3) = (x - (-3)), więc p=−3p = -3, a q=−8q = -8. Wierzchołek W=(−3,−8)W = (-3, -8) — znak w nawiasie jest odwrotny niż znak pp.
  2. a=2>0a = 2 > 0 — ramiona w górę, więc wierzchołek jest najniższym punktem; skoro leży pod osią OxOx (q<0q < 0), parabola przecina tę oś w dwóch punktach.
  3. Punkt na osi OyOy liczę z f(0)f(0), a nie odczytuję z qq: f(0)=2⋅32−8=18−8=10f(0) = 2\cdot 3^2 - 8 = 18 - 8 = 10, czyli (0,10)(0, 10).
  4. Miejsca zerowe bez Δ\Delta: 2(x+3)2−8=0⇒(x+3)2=4⇒x+3=22(x + 3)^2 - 8 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = 2 lub x+3=−2x + 3 = -2, czyli x=−1x = -1 lub x=−5x = -5 — symetrycznie o 22 od osi x=−3x = -3.

Odpowiedź: W = (−3, −8), ramiona w górę, punkt (0, 10), miejsca zerowe −5 i −1.

Przykład 4 Szkic paraboli z postaci iloczynowej

Z f(x) = a(x − x1)(x − x2) odczytujesz miejsca zerowe, oś symetrii pośrodku nich, wierzchołek q = f(p) i punkt f(0).

Zadanie Naszkicuj wykres funkcji f(x)=−12(x+4)(x−2)f(x) = -\frac{1}{2}(x + 4)(x - 2): podaj miejsca zerowe, wierzchołek, kierunek ramion i punkt przecięcia z osią OyOy.

  1. Miejsca zerowe to liczby zerujące nawiasy: x+4=0⇒x1=−4x + 4 = 0 \Rightarrow x_1 = -4, x−2=0⇒x2=2x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 (znaki odwrotne niż w nawiasach).
  2. Oś symetrii biegnie dokładnie pośrodku miejsc zerowych: p=−4+22=−1p = \frac{-4 + 2}{2} = -1.
  3. Rzędną wierzchołka liczę z wzoru: q=f(−1)=−12(−1+4)(−1−2)=−12⋅3⋅(−3)=92q = f(-1) = -\frac12(-1 + 4)(-1 - 2) = -\frac12\cdot 3\cdot(-3) = \frac92, więc W=(−1,92)W = \left(-1, \frac92\right).
  4. a=−12<0a = -\frac12 < 0 — ramiona w dół; punkt na osi OyOy: f(0)=−12⋅4⋅(−2)=4f(0) = -\frac12\cdot 4\cdot(-2) = 4, czyli (0,4)(0, 4).
  5. Szkic: parabola z ramionami w dół przez (−4,0)(-4, 0), (0,4)(0, 4) i (2,0)(2, 0), z najwyższym punktem W=(−1,92)W = \left(-1, \frac92\right).

Odpowiedź: Miejsca zerowe −4 i 2; W = (−1, 9/2); ramiona w dół; punkt (0, 4).

Przykład 5 Dopasowanie wzoru funkcji do opisu wykresu

Ze wzoru w dowolnej postaci ustalasz ramiona, wierzchołek, miejsca zerowe i punkt (0, c) i wybierasz szkic z tymi cechami — albo z opisu szkicu wybierasz wzór.

Zadanie Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x - 2)^2 - 1. W jednym z opisów A–D scharakteryzowano jej wykres. Który opis pasuje do wykresu funkcji ff?
A. ramiona w dół, wierzchołek (2,−1)(2, -1), miejsca zerowe 11 i 33
B. ramiona w górę, wierzchołek (−2,−1)(-2, -1), miejsca zerowe −3-3 i −1-1
C. ramiona w górę, wierzchołek (2,−1)(2, -1), miejsca zerowe 11 i 33, punkt (0,3)(0, 3) na osi OyOy
D. ramiona w górę, wierzchołek (2,1)(2, 1), brak miejsc zerowych

  1. Zaczynam od najszybszej cechy — kierunku ramion: a=1>0a = 1 > 0, więc ramiona w górę. Odrzucam opis A.
  2. Druga cecha — wierzchołek z postaci kanonicznej: nawias (x−2)(x - 2) daje p=2p = 2, a q=−1q = -1, czyli W=(2,−1)W = (2, -1). Odrzucam B (zły znak pp) i D (zły znak qq).
  3. Kontrola trzecią cechą: (x−2)2=1⇒x=1(x - 2)^2 = 1 \Rightarrow x = 1 lub x=3x = 3, a f(0)=4−1=3f(0) = 4 - 1 = 3 — wszystko zgadza się z C.
  4. Dwie cechy wykluczają trzy opisy, trzecia potwierdza wybór: opis C.

Odpowiedź: Opis C.

Najczęstsze błędy

  • Zły znak wierzchołka w postaci kanonicznej: (x+1)2(x+1)^2 oznacza p=−1p=-1, nie 11 — znak w nawiasie jest odwrotny niż znak pp.
  • Odczytanie punktu przecięcia z osią OyOy jako (0,q)(0,q). Punkt (0,q)(0,q) należy do wykresu tylko wtedy, gdy p=0p=0 — w innym wypadku liczymy f(0)f(0).
  • Zły znak miejsc zerowych z postaci iloczynowej: z f(x)=(x+3)(x−1)f(x)=(x+3)(x-1) wychodzą −3-3 i 11, czyli liczby zerujące nawiasy.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=3x2+6x−1f(x) = 3x^2 + 6x - 1 leży w ćwiartce:

Zadanie 2

Wykres funkcji f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 przecina oś OxOx w punktach AA i BB. Długość odcinka ABAB jest równa:

Zadanie 3

Wykres funkcji f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x - 2)^2 - 9 przecina oś OxOx w punktach:

Zadanie 4

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=−(x+3)(x−1)f(x) = -(x + 3)(x - 1) jest punkt:

Zadanie 5

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x−3)2+4f(x) = -(x - 3)^2 + 4. Wykresem tej funkcji jest parabola, która ma:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 16

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=−(x+1)2+4f(x) = -(x + 1)^{2} + 4.

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y), fragment wykresu funkcji y=f(x)y = f(x).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji y=f(x)y = f(x) przedstawiono na rysunku

Rysunek do zadania CKE 16

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Funkcja kwadratowa — kurs do matury Matemaks
Funkcja kwadratowa — teoria (pewniak maturalny) MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jak narysować wykres funkcji kwadratowej?

Ustal kierunek ramion ze znaku aa (a>0a>0 — w górę, a<0a<0 — w dół), oblicz wierzchołek W=(p,q)W=(p,q), miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią OyOy. Zaznacz te punkty i poprowadź parabolę symetrycznie względem prostej x=px=p.

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Z postaci ogólnej: p=−b2ap=-\tfrac{b}{2a}, a q=f(p)q=f(p) albo q=−Δ4aq=-\tfrac{\Delta}{4a}. Dla f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5 wychodzi p=3p=3 i q=f(3)=−4q=f(3)=-4, czyli W=(3,−4)W=(3,-4).

Jak odczytać wierzchołek z postaci kanonicznej?

Z wzoru f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q wierzchołek to (p,q)(p,q), ale znak w nawiasie jest odwrotny niż znak pp: dla f(x)=−2(x+1)2+8f(x)=-2(x+1)^2+8 wierzchołek to (−1,8)(-1,8), a ramiona idą w dół, bo a=−2<0a=-2<0.

Jak naszkicować parabolę z postaci iloczynowej?

Miejsca zerowe to liczby zerujące nawiasy, a wierzchołek leży dokładnie pośrodku nich. Dla f(x)=(x+3)(x−1)f(x)=(x+3)(x-1): miejsca zerowe −3-3 i 11, p=−1p=-1, q=f(−1)=−4q=f(-1)=-4.

Gdzie parabola przecina oś Oy?

W punkcie (0,c)(0,c), gdzie cc to wyraz wolny postaci ogólnej. Przy postaci kanonicznej lub iloczynowej liczymy f(0)f(0), np. dla f(x)=−2(x+1)2+8f(x)=-2(x+1)^2+8 mamy f(0)=−2+8=6f(0)=-2+8=6.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Wzór funkcji kwadratowej Funkcje Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej Funkcje Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę