Przejdź do treści
Poznaj Compass

Wartość funkcji zadanej wzorem — jak obliczyć f(x)

Wartość funkcji dla argumentu obliczamy, wstawiając liczbę w miejsce każdego xx we wzorze — ujemną lub ułamkową zawsze w nawiasie. Np. dla f(x)=−x2+3xf(x)=-x^2+3x: f(−2)=−(−2)2+3⋅(−2)=−10f(-2)=-(-2)^2+3\cdot(-2)=-10.

Funkcje · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Jak obliczyć wartość funkcji

Wartość funkcji dla argumentu obliczasz, wstawiając liczbę w miejsce każdego xx we wzorze (argument ujemny lub ułamkowy zawsze w nawiasie); gdy dana jest wartość, a szukasz argumentu albo współczynnika, ten sam wzór staje się równaniem.

  • f(x)=−x2+3xf(x)=-x^2+3x, f(−2)f(-2): −(−2)2+3⋅(−2)=−4−6=−10-(-2)^2+3\cdot(-2)=-4-6=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-10}}.
  • f(x)=x−1x2+1f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}, f(12)f\left(\frac12\right): 12−114+1=−1254=−25\frac{\frac12-1}{\frac14+1}=\frac{-\frac12}{\frac54}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\frac25}}.
  • f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x przyjmuje wartość 88: x2−2x−8=0x^2-2x-8=0, więc x=−2x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}} lub x=4x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}.
  • f(x)=x−kx+3f(x)=\frac{x-k}{x+3} i f(1)=2f(1)=2: 1−k4=2\frac{1-k}{4}=2, 1−k=81-k=8, więc k=−7k=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-7}}.
  • Liczba 22 jest miejscem zerowym f(x)=x2+kx−6f(x)=x^2+kx-6, czyli f(2)=0f(2)=0: 4+2k−6=04+2k-6=0, więc k=1k=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}.

Parametr z warunku i zadania z kontekstem

Na maturze: zadanie zwykle podaje wzór z parametrem (kk, mm, aa) i jeden warunek — f(x0)=y0f(x_0)=y_0, „punkt należy do wykresu” albo „liczba x0x_0 jest miejscem zerowym” — wszystkie znaczą to samo: podstaw x0x_0 i rozwiąż równanie liniowe względem parametru. W zadaniu z kontekstem (masa leku, liczba klientów) argument kryje się w treści („po 12 godzinach” to t=12t=12), a wykładnik licz najpierw: (0,6)0,25⋅12=(0,6)3(0{,}6)^{0{,}25\cdot 12}=(0{,}6)^3. Typowe pułapki: −x2-x^2 dla x=−3x=-3 to −9-9, nie 99; „miejsce zerowe 22” to f(2)=0f(2)=0, a nie f(0)=2f(0)=2; L(30)L(30) to liczba klientów trzydziestego dnia, nie suma z 30 dni.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość funkcji dla argumentu ujemnego

Podstawiasz liczbę całkowitą (także ujemną) w miejsce każdego x we wzorze z potęgami i liczysz wartość, pilnując nawiasów i znaku przed potęgą.

Zadanie Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=−2x2+5x−1f(x) = -2x^2 + 5x - 1 dla każdej liczby rzeczywistej xx. Oblicz f(−3)f(-3).

  1. Argument jest ujemny, więc w miejsce każdego xx wstawiam (−3)(-3) w nawiasie: f(−3)=−2⋅(−3)2+5⋅(−3)−1f(-3) = -2\cdot(-3)^2 + 5\cdot(-3) - 1.
  2. Najpierw potęga: (−3)2=9(-3)^2 = 9 (kwadrat liczby ujemnej jest dodatni), a minus sprzed dwójki zostaje: −2⋅9=−18-2\cdot 9 = -18.
  3. Iloczyn z drugiego składnika: 5⋅(−3)=−155\cdot(-3) = -15.
  4. Sumuję wszystkie składniki: f(−3)=−18−15−1=−34f(-3) = -18 - 15 - 1 = -34.

Odpowiedź: f(−3)=−34f(-3) = -34

Przykład 2 Wartość funkcji dla argumentu ułamkowego

Podstawiasz argument ułamkowy lub niewymierny do wzoru wymiernego, z pierwiastkiem albo z potęgą i upraszczasz wynik do jednej liczby.

Zadanie Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x−2x2+1f(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 1} dla każdej liczby rzeczywistej xx. Oblicz f(12)f\left(\frac{1}{2}\right).

  1. Licznik i mianownik liczę osobno, wstawiając 12\frac12 w miejsce xx. Licznik: 12−2=−32\frac12 - 2 = -\frac32.
  2. Mianownik: (12)2+1=14+1=54\left(\frac12\right)^2 + 1 = \frac14 + 1 = \frac54 — kwadrat ułamka to kwadrat licznika i mianownika.
  3. Dzielenie ułamków zamieniam na mnożenie przez odwrotność: −32:54=−32⋅45=−1210-\frac32 : \frac54 = -\frac32\cdot\frac45 = -\frac{12}{10}.
  4. Skracam: f(12)=−65=−1,2f\left(\frac12\right) = -\frac{6}{5} = -1{,}2.

Odpowiedź: f(12)=−65f\left(\frac12\right) = -\frac{6}{5}

Przykład 3 Wartość funkcji w zadaniu z treścią

Odczytujesz z treści, jaki argument podstawić (czas, numer dnia, liczba sztuk), liczysz wartość wzoru z potęgą lub ułamkiem i interpretujesz wynik z jednostką.

Zadanie Temperatura TT wody w czajniku (w ∘^\circC) po tt minutach od wyłączenia zmienia się zgodnie ze wzorem T(t)=20+80⋅(0,5)0,1tT(t) = 20 + 80\cdot(0{,}5)^{0{,}1t}. Oblicz temperaturę wody po 3030 minutach od wyłączenia czajnika.

  1. Czas jest argumentem funkcji: „po 30 minutach” oznacza t=30t = 30, więc liczę T(30)=20+80⋅(0,5)0,1⋅30T(30) = 20 + 80\cdot(0{,}5)^{0{,}1\cdot 30}.
  2. Najpierw wykładnik, bo potęga ma pierwszeństwo: 0,1⋅30=30{,}1\cdot 30 = 3, więc potęga to (0,5)3=0,125(0{,}5)^3 = 0{,}125.
  3. Mnożę przez współczynnik: 80⋅0,125=1080\cdot 0{,}125 = 10.
  4. Dodaję stałą: T(30)=20+10=30T(30) = 20 + 10 = 30. Po 30 minutach woda ma 30∘30^\circC.

Odpowiedź: 30∘30^\circC

Przykład 4 Argument, dla którego funkcja ma daną wartość

Przyrównujesz wzór funkcji do podanej wartości i rozwiązujesz równanie względem x, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny.

Zadanie Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x−52x+1f(x) = \frac{x - 5}{2x + 1} dla każdej liczby rzeczywistej x≠−12x \neq -\frac{1}{2}. Wyznacz argument, dla którego funkcja ff przyjmuje wartość −2-2.

  1. Dana jest wartość, szukam argumentu, więc wzór przyrównuję do tej wartości: x−52x+1=−2\frac{x-5}{2x+1} = -2.
  2. Mianownik jest różny od zera (bo x≠−12x \neq -\frac12), więc mnożę obie strony przez 2x+12x+1: x−5=−2(2x+1)=−4x−2x - 5 = -2(2x+1) = -4x - 2.
  3. Zbieram niewiadome po lewej: x+4x=−2+5x + 4x = -2 + 5, czyli 5x=35x = 3, stąd x=35x = \frac{3}{5}.
  4. Sprawdzam dziedzinę: 35≠−12\frac35 \neq -\frac12, a kontrolnie f(35)=−4,42,2=−2f\left(\frac35\right) = \frac{-4{,}4}{2{,}2} = -2. Odpowiedź: x=35x = \frac35.

Odpowiedź: x=35x = \frac{3}{5}

Przykład 5 Współczynnik z warunku f(x0) = y0

Podstawiasz znany argument i wartość (albo współrzędne punktu wykresu) do wzoru z nieznanym współczynnikiem i rozwiązujesz równanie względem tego współczynnika.

Zadanie Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=ax+4x2+2f(x) = \frac{ax + 4}{x^2 + 2} dla każdej liczby rzeczywistej xx, gdzie aa jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(−2)=−1f(-2) = -1. Oblicz aa.

  1. Warunek f(−2)=−1f(-2) = -1 mówi: po wstawieniu x=−2x = -2 wzór ma dać −1-1. Zapisuję: a⋅(−2)+4(−2)2+2=−1\frac{a\cdot(-2) + 4}{(-2)^2 + 2} = -1.
  2. Mianownik nie zawiera aa, więc jest zwykłą liczbą: 4+2=64 + 2 = 6. Równanie: −2a+46=−1\frac{-2a + 4}{6} = -1.
  3. Mnożę obie strony przez 66, żeby pozbyć się ułamka: −2a+4=−6-2a + 4 = -6.
  4. Rozwiązuję względem aa: −2a=−10-2a = -10, więc a=5a = 5. Sprawdzenie: −10+46=−1\frac{-10 + 4}{6} = -1.

Odpowiedź: a=5a = 5

Przykład 6 Współczynnik z miejsca zerowego

Zamieniasz warunek geometryczny — miejsce zerowe x0 albo przecięcie z osią — na równość f(x0) = 0 lub f(0) = c i wyznaczasz z niej współczynnik.

Zadanie Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=3x2+kx−10f(x) = 3x^2 + kx - 10, gdzie kk jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba −2-2 jest miejscem zerowym funkcji ff. Oblicz kk.

  1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji jest zerem, więc warunek brzmi f(−2)=0f(-2) = 0 (nie f(0)=−2f(0) = -2).
  2. Podstawiam x=−2x = -2 do wzoru: 3⋅(−2)2+k⋅(−2)−10=03\cdot(-2)^2 + k\cdot(-2) - 10 = 0, czyli 12−2k−10=012 - 2k - 10 = 0.
  3. Porządkuję liczby: 2−2k=02 - 2k = 0, więc 2k=22k = 2.
  4. Stąd k=1k = 1. Sprawdzenie: 3⋅4+1⋅(−2)−10=12−2−10=03\cdot 4 + 1\cdot(-2) - 10 = 12 - 2 - 10 = 0.

Odpowiedź: k=1k = 1

Najczęstsze błędy

  • Obliczenie −x2-x^2 dla x=−3x=-3 jako 99. Najpierw potęga: (−3)2=9(-3)^2=9, a minus sprzed zostaje — wynik to −9-9.
  • Odczytanie „miejsce zerowe 22” jako f(0)=2f(0)=2. Poprawnie: f(2)=0f(2)=0.
  • Wstawienie argumentu ujemnego bez nawiasu. Liczbę ujemną lub ułamek zawsze wstawiamy w nawiasie, w miejsce każdego xx.
  • Odczytanie L(30)L(30) jako sumy z 3030 dni. To wartość dla argumentu 3030, czyli liczba klientów trzydziestego dnia.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x3−2x2+xf(x) = x^3 - 2x^2 + x dla każdej liczby rzeczywistej xx. Wartość f(−1)f(-1) jest równa:

Zadanie 2

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x+3x2−1f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 1} dla każdej liczby rzeczywistej x≠−1x \neq -1 i x≠1x \neq 1. Wartość f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) jest równa:

Zadanie 3

Liczbę LL klientów obsłużonych w sklepie nn-tego dnia miesiąca opisuje funkcja L(n)=−n2+20n+150L(n) = -n^2 + 20n + 150, gdzie nn jest liczbą naturalną, 1≤n≤201 \leq n \leq 20. Które zdanie jest prawdziwe?

Zadanie 4

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x2−5f(x) = x^2 - 5 dla każdej liczby rzeczywistej xx. Funkcja ff przyjmuje wartość 2020 dla:

Zadanie 5

Funkcja ff jest określona dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=x+kx2+3f(x) = \frac{x + k}{x^2 + 3}, gdzie kk jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(−1)=2f(-1) = 2. Wartość współczynnika kk jest równa:

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa ff jest określona wzorem f(x)=x2−kx−12f(x) = x^2 - kx - 12, gdzie kk jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba 33 jest miejscem zerowym funkcji ff. Liczba kk jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

Funkcja ff jest określona dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=x−kx2+1f(x) = \frac{x-k}{x^{2}+1}, gdzie kk jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2f(1) = 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość współczynnika kk we wzorze tej funkcji jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Obliczanie wartości funkcji ze wzoru — zadanie Matemaks
Oblicz wartość funkcji dla podanego argumentu Krzysztof Chojecki - Pan Pistacja

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu?

Wstaw liczbę w miejsce każdego xx we wzorze (ujemną lub ułamkową w nawiasie) i policz. Dla f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x i x=−1x=-1: (−1)2−2⋅(−1)=1+2=3(-1)^2-2\cdot(-1)=1+2=3.

Czy wartość funkcji to x czy y?

Wartość funkcji to y=f(x)y=f(x), czyli wynik obliczony ze wzoru. Liczba, którą wstawiamy w miejsce xx, to argument.

Jak znaleźć argument, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość?

Przyrównaj wzór do tej wartości i rozwiąż równanie względem xx. Funkcja f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x przyjmuje wartość 88 dla x=−2x=-2 lub x=4x=4, bo x2−2x−8=0x^2-2x-8=0.

Co oznacza, że punkt należy do wykresu funkcji?

To samo co f(x0)=y0f(x_0)=y_0: po wstawieniu pierwszej współrzędnej punktu wzór daje drugą. Podobnie „liczba x0x_0 jest miejscem zerowym” znaczy f(x0)=0f(x_0)=0.

Jak obliczyć parametr we wzorze funkcji?

Podstaw znany argument i wartość do wzoru i rozwiąż równanie względem parametru. Gdy 22 jest miejscem zerowym f(x)=x2+kx−6f(x)=x^2+kx-6: 4+2k−6=04+2k-6=0, więc k=1k=1.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Odczytywanie własności z wykresu Funkcje Pojęcie funkcji Funkcje Przesunięcia wykresu funkcji Funkcje Wzór funkcji liniowej Funkcje Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę