Odczytywanie własności funkcji z wykresu — krok po kroku

Q: Jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu?

Dziedzina to rzut wykresu na oś OX — zbiór pierwszych współrzędnych punktów wykresu. Zamalowana kropka na końcu oznacza nawias domknięty, niezamalowane kółko — otwarty.

Q: Jak odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu?

Zbiór wartości to rzut wykresu na oś OY — od najniższego do najwyższego punktu, z uwzględnieniem luk. Łamana od (-4,-2) przez (0,2) do (3,-1) ma zbiór wartości [-2,2].

Q: Jak odczytać miejsca zerowe z wykresu?

Miejsca zerowe to argumenty, w których wykres przecina oś OX. Sprawdź każdy odcinek wykresu osobno, nie tylko wierzchołki.

Q: Jak rozwiązać nierówność f(x) < c z wykresu?

Narysuj prostą y=c, odczytaj z siatki jej przecięcia z wykresem i wybierz argumenty, nad którymi wykres leży pod tą prostą. Przy przecięciach nawiasy są otwarte.

Z wykresu odczytujemy dziedzinę jako rzut na oś $OX$ , zbiór wartości jako rzut na oś $OY$ , $f(a)$ jako wysokość wykresu nad $x=a$ , a miejsca zerowe jako przecięcia z osią $OX$ . Monotoniczność i znak czytamy od lewej do prawej.

Funkcje · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Jak odczytać własności funkcji z wykresu

Własności funkcji odczytujesz z jej wykresu jako rzuty i wysokości: dziedzina to rzut wykresu na oś $OX$ , zbiór wartości — rzut na oś $OY$ , wartość $f(a)$ to wysokość wykresu nad $x=a$ , miejsca zerowe to przecięcia z osią $OX$ , a monotoniczność, znak i wartość największą czytasz, idąc po wykresie od lewej do prawej.

Przykład: wszystkie własności z jednego wykresu

Wykres $f$ to łamana od $(-4,-2)$ przez $(0,2)$ do $(3,-1)$ , końce zamalowane.

Dziedzina (rzut na $OX$ ): $D=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{[-4,3]}}$ ; zbiór wartości (rzut na $OY$ ): $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{[-2,2]}}$ .
$f(0)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ ; miejsca zerowe: $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ i $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .
Rosnąca w $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{[-4,0]}}$ , malejąca w $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{[0,3]}}$ ; $f(x)>0$ dla $x\in\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-2,2)}}$ .
$f(x)<1$ : prosta $y=1$ przecina wykres w $x=-1$ i $x=1$ , więc $x\in\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{[-4,-1)\cup(1,3]}}$ .
Wartość największa w przedziale $[1,3]$ : nie $2$ (to poza przedziałem), tylko $f(1)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ .

Odczytywanie z wykresu na maturze

Na maturze: wykres jest na siatce jednostkowej, a wszystkie „ważne” punkty (końce, wierzchołki, przecięcia z osiami i z prostą $y=c$ ) mają współrzędne całkowite — odczytuj je z siatki, nie z wzoru. Zamalowana kropka na końcu = punkt należy do wykresu (nawias domknięty), niezamalowane kółko = nie należy (nawias otwarty). Przy nierówności $f(x)<c$ narysuj prostą $y=c$ ; przy wartości największej w przedziale $[a,b]$ obetnij wykres do tego przedziału i sprawdź też wysokości nad $a$ i $b$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość funkcji i miejsca zerowe z wykresu

Odczytujesz f(a) jako wysokość wykresu nad x = a (także w środku odcinka) i wypisujesz wszystkie miejsca zerowe jako przecięcia wykresu z osią OX.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ — łamaną o wierzchołkach $A=(-4,-2)$ , $B=(-1,1)$ , $C=(1,-1)$ , $D=(4,2)$ . Odczytaj $f(-3)$ , $f(3)$ oraz wszystkie miejsca zerowe funkcji $f$ .

Argument $-3$ nie jest wierzchołkiem, więc szukam go na odcinku $AB$ : idę pionowo od $x=-3$ do wykresu i czytam wysokość na siatce — odcinek $AB$ wznosi się o $1$ na każdą jednostkę, więc nad $x=-3$ jest na wysokości $-1$ . Stąd $f(-3)=-1$ .
Tak samo $x=3$ leży na odcinku $CD$ , który od $(1,-1)$ wznosi się o $1$ na jednostkę: nad $x=3$ wysokość to $1$ , więc $f(3)=1$ .
Miejsca zerowe to argumenty, dla których wykres przecina oś $OX$ — sprawdzam każdy odcinek osobno, nie tylko wierzchołki: $AB$ przecina oś w $x=-2$ , $BC$ przechodzi przez początek układu ( $x=0$ ), $CD$ przecina oś w $x=2$ .
Miejsca zerowe: $x=-2$ , $x=0$ , $x=2$ (trzy, bo wykres przecina oś $OX$ trzy razy).

Odpowiedź: $f(-3)=-1$ , $f(3)=1$ ; miejsca zerowe: $-2$ , $0$ , $2$

Przykład 2 Dziedzina i zbiór wartości z wykresu

Rzutujesz wykres na oś OX (dziedzina) i na oś OY (zbiór wartości), pilnując końców zamalowanych/niezamalowanych i zapisując rozłączne kawałki jako sumę przedziałów.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ złożony z dwóch łamanych: pierwsza ma wierzchołki $A=(-5,1)$ , $B=(-3,3)$ , $C=(-1,-1)$ , druga — $D=(1,-2)$ , $E=(4,2)$ . Wszystkie końce są zaznaczone zamalowanymi kropkami. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$ .

Dziedzina to zbiór argumentów, czyli rzut wykresu na oś $OX$ — patrzę tylko na odcięte. Pierwsza łamana zajmuje $x$ od $-5$ do $-1$ , druga od $1$ do $4$ ; między $-1$ a $1$ wykresu nie ma, więc tych argumentów nie wolno dołączyć.
Końce są zamalowane, więc nawiasy są domknięte: $D_f=[-5,-1]\cup[1,4]$ .
Zbiór wartości to rzut wykresu na oś $OY$ — patrzę na rzędne. Najniżej leży $D$ ( $y=-2$ ), najwyżej $B$ ( $y=3$ ), ale muszę sprawdzić, czy każda wysokość między nimi jest osiągana.
Pierwsza łamana pokrywa wysokości od $-1$ do $3$ , druga od $-2$ do $2$ ; te przedziały zachodzą na siebie, więc nie ma luki: $ZW_f=[-2,3]$ (jeden przedział, choć wykres ma dwa kawałki).

Odpowiedź: $D_f=[-5,-1]\cup[1,4]$ , $ZW_f=[-2,3]$

Przykład 3 Przedziały monotoniczności z wykresu

Idziesz po wykresie od lewej do prawej i dla każdego odcinka osobno zapisujesz domknięty przedział argumentów, w którym funkcja rośnie, maleje lub jest stała.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ — łamaną o wierzchołkach $A=(-5,2)$ , $B=(-3,2)$ , $C=(-1,-2)$ , $D=(2,1)$ , $E=(4,1)$ , $F=(5,-1)$ . Wskaż wszystkie przedziały, w których funkcja $f$ jest rosnąca, malejąca oraz stała.

Monotoniczność czytam odcinek po odcinku, od lewej do prawej, a zapisuję przedziały argumentów (odcięte końców odcinka), nie wartości.
$AB$ jest poziomy — funkcja stała w $[-5,-3]$ . $BC$ opada — malejąca w $[-3,-1]$ .
$CD$ wznosi się — rosnąca w $[-1,2]$ . $DE$ poziomy — stała w $[2,4]$ . $EF$ opada — malejąca w $[4,5]$ .
Przedziały o tym samym typie zapisuję osobno, nie łączę ich: malejąca w $[-3,-1]$ i w $[4,5]$ (nie „w $[-3,-1]\cup[4,5]$ ”), stała w $[-5,-3]$ i w $[2,4]$ , rosnąca w $[-1,2]$ . Końce są domknięte — wierzchołek należy do obu sąsiednich przedziałów.

Odpowiedź: rosnąca w $[-1,2]$ ; malejąca w $[-3,-1]$ i w $[4,5]$ ; stała w $[-5,-3]$ i w $[2,4]$

Przykład 4 Kiedy funkcja jest dodatnia, a kiedy ujemna

Dzielisz oś OX miejscami zerowymi i zapisujesz jako sumę przedziałów te argumenty, nad którymi wykres leży nad osią (f(x) > 0) lub pod nią (f(x) < 0), z otwartymi końcami przy zerach.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ — łamaną o wierzchołkach $A=(-5,2)$ , $B=(-2,-1)$ , $C=(0,1)$ , $D=(2,-1)$ , $E=(4,1)$ ; końce należą do wykresu. Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których $f(x)<0$ , oraz zbiór tych, dla których $f(x)>0$ .

Znak funkcji zmienia się tylko w miejscach zerowych, więc najpierw wypisuję przecięcia z osią $OX$ (odcinek po odcinku): $x=-3$ , $x=-1$ , $x=1$ , $x=3$ .
Te cztery liczby dzielą dziedzinę $[-5,4]$ na kawałki; dla każdego patrzę, czy wykres jest nad osią, czy pod nią: nad — $[-5,-3)$ , pod — $(-3,-1)$ , nad — $(-1,1)$ , pod — $(1,3)$ , nad — $(3,4]$ .
Przy miejscach zerowych nawiasy są otwarte (tam $f(x)=0$ , a nie $<0$ ani $>0$ ); przy końcach dziedziny $-5$ i $4$ domknięte, bo punkty $A$ i $E$ należą do wykresu i leżą nad osią.
$f(x)<0$ dla $x\in(-3,-1)\cup(1,3)$ ; $f(x)>0$ dla $x\in[-5,-3)\cup(-1,1)\cup(3,4]$ .

Odpowiedź: $f(x)<0 \iff x\in(-3,-1)\cup(1,3)$ ; $f(x)>0 \iff x\in[-5,-3)\cup(-1,1)\cup(3,4]$

Przykład 5 Nierówność f(x) > c z wykresu

Rysujesz prostą y = c, odczytujesz z siatki jej przecięcia z wykresem i zapisujesz jako sumę przedziałów argumenty, nad którymi wykres leży pod (lub nad) tą prostą.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ — łamaną o wierzchołkach $A=(-5,-1)$ , $B=(-2,2)$ , $C=(1,-1)$ , $D=(4,2)$ , $E=(5,2)$ ; końce należą do wykresu. Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)>1$ .

$f(x)>1$ oznacza: wykres leży wyżej niż $1$ , więc rysuję poziomą prostą $y=1$ i szukam jej przecięć z wykresem — to nowe „granice”, tak jak miejsca zerowe przy $f(x)>0$ .
Przecięcia z $y=1$ czytam z siatki, odcinek po odcinku: $AB$ w $x=-3$ , $BC$ w $x=-1$ , $CD$ w $x=3$ ; odcinek $DE$ leży cały na wysokości $2$ , czyli nad prostą.
Nad prostą $y=1$ wykres jest między $-3$ a $-1$ (górka w $B$ ) oraz od $3$ do końca $5$ (górka w $D$ i poziomy $DE$ ).
Przy przecięciach nawiasy otwarte ( $f=1$ , a nie $>1$ ), przy końcu dziedziny $5$ domknięty, bo $E$ należy do wykresu i $f(5)=2>1$ : $x\in(-3,-1)\cup(3,5]$ .

Odpowiedź: $x\in(-3,-1)\cup(3,5]$

Przykład 6 Wartość największa i najmniejsza w przedziale

Obcinasz wykres do podanego przedziału argumentów i porównujesz wysokości wierzchołków wewnątrz oraz wysokości nad końcami przedziału, żeby wskazać wartość największą i najmniejszą.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ — łamaną o wierzchołkach $A=(-6,-2)$ , $B=(-3,4)$ , $C=(0,-2)$ , $D=(3,1)$ , $E=(5,-1)$ . Podaj wartość największą i wartość najmniejszą funkcji $f$ w przedziale $[-2,4]$ .

Pytanie dotyczy tylko przedziału $[-2,4]$ , więc zasłaniam wykres na lewo od $x=-2$ i na prawo od $x=4$ — szczyt $B=(-3,4)$ jest poza przedziałem i nie bierze udziału w porównaniu.
Końce przedziału nie są wierzchołkami, więc odczytuję wysokości nad nimi z siatki: nad $x=-2$ (odcinek $BC$ opada o $2$ na jednostkę) jest $f(-2)=2$ ; nad $x=4$ (odcinek $DE$ ) jest $f(4)=0$ .
Wierzchołki wewnątrz przedziału: $C=(0,-2)$ i $D=(3,1)$ . Kandydaci na ekstrema to zawsze końce przedziału i wierzchołki wewnątrz: wysokości $2,\ -2,\ 1,\ 0$ .
Największa z nich to $2$ (osiągana na końcu przedziału, w $x=-2$ ), najmniejsza to $-2$ (w $x=0$ ). Wartość największa w $[-2,4]$ wynosi $2$ , najmniejsza $-2$ .

Odpowiedź: największa: $2$ (dla $x=-2$ ), najmniejsza: $-2$ (dla $x=0$ )

Najczęstsze błędy

Podawanie przedziałów monotoniczności na osi $OY$ . Monotoniczność zapisujemy jako przedziały argumentów — odcięte końców odcinków.
Łączenie przedziałów monotoniczności znakiem $\cup$ . Przedziały tego samego typu zapisujemy osobno: malejąca w $[-3,-1]$ i w $[4,5]$ .
Nawias domknięty przy miejscu zerowym w odpowiedzi na $f(x)>0$ . W miejscu zerowym $f(x)=0$ , więc nawias jest otwarty.
Wartość największa wzięta spoza przedziału. Przy przedziale $[a,b]$ obetnij wykres do tego przedziału i sprawdź też wysokości nad $a$ i $b$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Wartość $f(-3)$ jest równa

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ złożony z dwóch części; wszystkie końce zaznaczono zamalowanymi kropkami. Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ ; końce wykresu zaznaczono zamalowanymi kropkami. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

Zadanie 4

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ ; końce wykresu zaznaczono zamalowanymi kropkami. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)>0$ jest

Zadanie 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ ; końce wykresu zaznaczono zamalowanymi kropkami. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$ , jest

Zadanie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ ; końce wykresu zaznaczono zamalowanymi kropkami. Wartość największa funkcji $f$ w przedziale $[-4,1]$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Odczytywanie własności funkcji z wykresu (kurs) Matemaks

Odczytywanie własności funkcji z wykresu — matura MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu?

Dziedzina to rzut wykresu na oś $OX$ — zbiór pierwszych współrzędnych punktów wykresu. Zamalowana kropka na końcu oznacza nawias domknięty, niezamalowane kółko — otwarty.

Jak odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu?

Zbiór wartości to rzut wykresu na oś $OY$ — od najniższego do najwyższego punktu, z uwzględnieniem luk. Łamana od $(-4,-2)$ przez $(0,2)$ do $(3,-1)$ ma zbiór wartości $[-2,2]$ .

Jak odczytać miejsca zerowe z wykresu?

Miejsca zerowe to argumenty, w których wykres przecina oś $OX$ . Sprawdź każdy odcinek wykresu osobno, nie tylko wierzchołki.

Jak odczytać z wykresu, gdzie funkcja jest rosnąca?

Idź po wykresie od lewej do prawej: tam, gdzie wykres się wznosi, funkcja jest rosnąca. Zapisz przedział argumentów, czyli odciętych końców odcinka, np. rosnąca w $[-4,0]$ .

Jak rozwiązać nierówność f(x) < c z wykresu?

Narysuj prostą $y=c$ , odczytaj z siatki jej przecięcia z wykresem i wybierz argumenty, nad którymi wykres leży pod tą prostą. Przy przecięciach nawiasy są otwarte.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Pojęcie funkcji Funkcje Przesunięcia wykresu funkcji Funkcje Wartość funkcji zadanej wzorem Funkcje Wzór funkcji liniowej Funkcje Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę