Pojęcie funkcji — definicja, dziedzina i zbiór wartości

Q: Co to jest funkcja?

Przyporządkowanie, w którym każdemu argumentowi x z dziedziny odpowiada dokładnie jedna wartość y=f(x). Jeden argument nie może mieć dwóch wartości, ale ta sama wartość może się powtarzać dla różnych argumentów.

Q: Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji z ułamkiem?

Wyklucz z ℝ liczby, które zerują mianownik — najlepiej po rozłożeniu go na czynniki. Dla f(x)=x/(x²-4): x²-4=(x-2)(x+2), więc D=ℝ∖{-2,2}.

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi $x$ z dziedziny dokładnie jedną wartość $y=f(x)$ . Może być zadana opisem słownym, tabelą, zbiorem par, wykresem albo wzorem — także różnymi wzorami na różnych przedziałach.

Funkcje · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Co to jest funkcja

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi $x$ z dziedziny dokładnie jedną wartość $y=f(x)$ — niezależnie od tego, czy zadano ją opisem słownym, tabelą, zbiorem par, wykresem czy wzorem (także różnymi wzorami na różnych przedziałach).

Pary $(1,3),(2,3),(4,-1)$ to funkcja: argumenty $1,2,4$ się nie powtarzają (powtórzona wartość $3$ nie szkodzi). Pary $(2,5),(2,7)$ — nie: argument $2$ ma dwie wartości.
Tabela $x$ : $-1,\ 0,\ 2$ ; $f(x)$ : $-5,\ -2,\ 4$ : dziedzina $\{-1,0,2\}$ , zbiór wartości $\{-5,-2,4\}$ , wartość rośnie o $3$ na jednostkę $x$ , więc wzór to $f(x)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3x-2}}$ .
$f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-9}$ : mianownik musi być różny od zera, $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , więc $D=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}}}$ .
$f(x)=x^2-1$ dla $x<1$ oraz $f(x)=2x+3$ dla $x\ge1$ : dla $x=1$ obowiązuje drugi wzór (bo $1\ge1$ ), więc $f(1)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ .

Dziedzina, zbiór wartości i wzór klamrowy na maturze

Na maturze: zadanie podaje funkcję tabelą albo wzorem „klamrowym” i pyta o wartość, o zbiór wartości albo o argument, dla którego $f(x)=c$ — dla każdego wzoru sprawdź, czy argument (zwłaszcza graniczny) należy do jego przedziału. Przy dziedzinie ze wzoru wykluczasz TYLKO liczby zerujące mianownik (rozłóż go na czynniki: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ jest na karcie wzorów), licznik może być zerem. Zbiór wartości wypisuj bez powtórzeń — ta sama wartość dla kilku argumentów liczy się raz.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Czy przyporządkowanie jest funkcją

Sprawdzasz, czy każdemu argumentowi (osobie, liczbie, punktowi) odpowiada dokładnie jedna wartość — w opisie słownym, zbiorze par, tabeli i wśród punktów wykresu.

Zadanie Dane są trzy przyporządkowania: (I) każdej liczbie rzeczywistej — jej połowę; (II) każdej liczbie dodatniej — liczbę, której wartość bezwzględna jest równa tej liczbie; (III) zbiór par $\{(1,3),\ (2,3),\ (4,-1)\}$ , w którym pierwsza współrzędna to argument. Które z nich są funkcjami?

Funkcja to przyporządkowanie, w którym każdy argument ma dokładnie jedną wartość — sprawdzam więc każde przyporządkowanie osobno, szukając argumentu z dwiema wartościami.
(I): każda liczba ma jedną połowę ( $6\mapsto3$ , $-6\mapsto-3$ ), nie ma argumentu z dwiema wartościami — to funkcja.
(II): liczbie $5$ odpowiadają dwie liczby o wartości bezwzględnej $5$ : $5$ i $-5$ — jeden argument, dwie wartości, więc to NIE jest funkcja.
(III): argumenty $1, 2, 4$ nie powtarzają się, więc każdy ma jedną wartość; to, że $1$ i $2$ mają tę samą wartość $3$ , nie przeszkadza — to funkcja.

Odpowiedź: Funkcjami są (I) i (III); (II) nie jest funkcją.

Przykład 2 Dziedzina i zbiór wartości z punktów wykresu

Z tabeli, zbioru par lub punktów wykresu wypisujesz dziedzinę (argumenty) i zbiór wartości (bez powtórzeń), także gdy funkcja jest zadana wzorem na skończonym zbiorze.

Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ złożony z pięciu punktów: $(-2,3)$ , $(0,1)$ , $(1,3)$ , $(3,-2)$ , $(4,1)$ . Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$ oraz liczbę argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartość $1$ .

Dziedzina to zbiór argumentów, czyli pierwszych współrzędnych punktów: odczytuję $x$ każdego punktu: $-2, 0, 1, 3, 4$ , więc $D_f=\{-2,0,1,3,4\}$ .
Zbiór wartości to drugie współrzędne, ale każda liczba wypisana raz: $3, 1, 3, -2, 1$ daje $ZW_f=\{-2,1,3\}$ — trzy elementy, choć punktów jest pięć.
Wartość $1$ mają punkty $(0,1)$ i $(4,1)$ , czyli $f(x)=1$ dla dwóch argumentów: $x=0$ i $x=4$ .

Odpowiedź: $D_f=\{-2,0,1,3,4\}$ , $ZW_f=\{-2,1,3\}$ ; wartość $1$ dla dwóch argumentów ( $0$ i $4$ ).

Przykład 3 Wzór funkcji z tabeli

Zamieniasz opis słowny lub tabelę na wzór (sprawdzając, który wzór zgadza się ze wszystkimi parami) i odwrotnie: uzupełniasz brakującą wartość w tabeli ze wzoru.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona tabelą: $x$ : $-1,\ 0,\ 2,\ 3$ ; $f(x)$ : $-5,\ -2,\ 4,\ 7$ . Który ze wzorów opisuje funkcję $f$ : $f(x)=3x-2$ , $f(x)=x-4$ , $f(x)=2x-3$ , $f(x)=-3x-2$ ? Oblicz też $f(10)$ .

Sprawdzam, jak zmienia się wartość, gdy $x$ rośnie o $1$ : od $x=-1$ do $x=0$ wartość rośnie z $-5$ do $-2$ , czyli o $3$ — to wskazuje na wzór typu $3x+b$ .
Z pary $(0,-2)$ : $3\cdot0+b=-2$ , więc $b=-2$ ; kandydat to $f(x)=3x-2$ .
Sprawdzam WSZYSTKIE pary, nie tylko dwie: $f(2)=6-2=4$ ✓, $f(3)=9-2=7$ ✓. Wzór $x-4$ zgadza się z $f(-1)=-5$ , ale $f(0)=-4\ne-2$ — odpada.
$f(10)=3\cdot10-2=28$ .

Odpowiedź: $f(x)=3x-2$ ; $f(10)=28$ .

Przykład 4 Dziedzina funkcji z ułamkiem

Wyznaczasz dziedzinę funkcji zadanej wzorem z x w mianowniku: wykluczasz z R liczby zerujące mianownik (po rozłożeniu go na czynniki), a licznik zostawiasz w spokoju.

Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-9}$ .

Wzór ma sens tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera — dziedzina to $\mathbb{R}$ bez rozwiązań równania $x^2-9=0$ .
Rozkładam mianownik ze wzoru skróconego mnożenia: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , a iloczyn jest zerem, gdy $x=3$ lub $x=-3$ .
Licznik nie ogranicza dziedziny — $x=-5$ zeruje licznik, ale $f(-5)=0$ jest poprawną wartością.
Dziedzina: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ .

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$

Przykład 5 Funkcja określona różnymi wzorami na przedziałach

Dla danego argumentu wybierasz właściwy wzór (sprawdzając, do którego przedziału należy x — zwłaszcza na granicy), obliczasz wartość i rozwiązujesz f(x)=c gałąź po gałęzi.

Zadanie Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{dla } x<1 \\ 2x+3 & \text{dla } x\ge 1 \end{cases}$ . Oblicz $f(-2)+f(1)$ oraz wyznacz argument $x<1$ , dla którego $f(x)=3$ .

Dla $x=-2$ sprawdzam przedział: $-2<1$ , więc obowiązuje pierwszy wzór: $f(-2)=(-2)^2-1=3$ .
Dla $x=1$ uważam na granicę: warunek $x\ge1$ jest spełniony (znak $\ge$ obejmuje $1$ ), więc drugi wzór: $f(1)=2\cdot1+3=5$ .
Suma: $f(-2)+f(1)=3+5=8$ .
Równanie $f(x)=3$ na gałęzi $x<1$ : $x^2-1=3$ , czyli $x^2=4$ , więc $x=-2$ lub $x=2$ ; warunek $x<1$ spełnia tylko $x=-2$ — rozwiązanie $x=2$ odrzucam, bo nie należy do tej gałęzi.

Odpowiedź: $f(-2)+f(1)=8$ ; $f(x)=3$ dla $x=-2$ .

Najczęstsze błędy

Uznanie, że powtórzona wartość wyklucza funkcję. Funkcją nie jest tylko wtedy, gdy argument ma dwie wartości: pary $(1,3),(2,3)$ są w porządku, $(2,5),(2,7)$ — nie.
Wykluczanie z dziedziny liczb zerujących licznik. Wykluczamy tylko liczby zerujące mianownik — licznik może być zerem.
Powtarzanie wartości w zbiorze wartości. Każdą wartość wypisujemy raz, nawet gdy przyjmuje ją kilka argumentów.
Wybór złego wzoru na granicy przedziałów. Przy warunkach $x<1$ i $x\ge1$ dla $x=1$ obowiązuje drugi wzór, bo $1\ge1$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dane są trzy tabele.
Tabela I: $x$ : $-2,\ 0,\ 1,\ 3$ ; $y$ : $4,\ 0,\ 1,\ 9$ .
Tabela II: $x$ : $1,\ 2,\ 2,\ 5$ ; $y$ : $3,\ 4,\ 6,\ 7$ .
Tabela III: $x$ : $0,\ 1,\ 2,\ 3$ ; $y$ : $5,\ 5,\ 5,\ 5$ .
Funkcji NIE określa:

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona na zbiorze $\{-2,-1,0,1,2\}$ wzorem $f(x)=x^2-3$ . Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

Zadanie 3

Funkcja $f$ jest określona tabelą: $x$ : $-2,\ 0,\ 2,\ 4$ ; $f(x)$ : $7,\ 3,\ -1,\ -5$ . Funkcję $f$ opisuje wzór

Zadanie 4

Dziedziną funkcji $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-25}$ jest zbiór

Zadanie 5

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{dla } x<-1 \\ 1-x & \text{dla } -1\le x\le 2 \\ 2x & \text{dla } x>2 \end{cases}$ . Wartość wyrażenia $f(-1)+f(3)$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Czym jest funkcja? Dziedzina i zbiór wartości PATOMATMA

Odczytywanie dziedziny i zbioru wartości z wykresu cinematma

Najczęstsze pytania

Co to jest funkcja?

Przyporządkowanie, w którym każdemu argumentowi $x$ z dziedziny odpowiada dokładnie jedna wartość $y=f(x)$ . Jeden argument nie może mieć dwóch wartości, ale ta sama wartość może się powtarzać dla różnych argumentów.

Co to jest dziedzina i zbiór wartości funkcji?

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, a zbiór wartości — zbiór wszystkich wartości, wypisanych bez powtórzeń. Dla tabeli $x$ : $-1, 0, 2$ i $f(x)$ : $-5, -2, 4$ dziedzina to $\{-1,0,2\}$ , a zbiór wartości $\{-5,-2,4\}$ .

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji z ułamkiem?

Wyklucz z $\mathbb{R}$ liczby, które zerują mianownik — najlepiej po rozłożeniu go na czynniki. Dla $f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , więc $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ .

Jak sprawdzić, czy zbiór par jest funkcją?

Sprawdź, czy żaden argument (pierwsza współrzędna) nie występuje z dwiema różnymi wartościami. Pary $(1,3),(2,3),(4,-1)$ to funkcja, a $(2,5),(2,7)$ — nie, bo argument $2$ ma dwie wartości.

Jak obliczyć wartość funkcji określonej kilkoma wzorami?

Najpierw sprawdź, do którego przedziału należy argument — zwłaszcza graniczny — i użyj tylko tego wzoru. Dla $f(x)=x^2-1$ przy $x<1$ i $f(x)=2x+3$ przy $x\ge1$ jest $f(1)=5$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Odczyt i interpretacja wartości funkcji Funkcje Odczytywanie własności z wykresu Funkcje Przesunięcia wykresu funkcji Funkcje Wartość funkcji zadanej wzorem Funkcje Wzór funkcji liniowej Funkcje Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę