Przejdź do treści
Poznaj Compass

Monotoniczność ciągu — ciąg rosnący, malejący i stały

O monotoniczności ciągu rozstrzyga znak różnicy an+1−ana_{n+1} - a_n: gdy jest dodatni dla każdego n≥1n \geq 1, ciąg jest rosnący, gdy ujemny — malejący, gdy równy zero — stały. Gdy znak zależy od nn i się zmienia, ciąg nie jest monotoniczny.

Ciągi · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Różnica, która decyduje o monotoniczności dodatnia dla każdego n≥1n \geq 1 — ciąg rosnący, ujemna — malejący, zero — stały
an+1−ana_{n+1} - a_n

Kiedy ciąg jest rosnący, malejący lub stały

O monotoniczności ciągu rozstrzyga znak różnicy an+1−ana_{n+1} - a_n: dodatni dla każdego n≥1n \geq 1 — ciąg rosnący, ujemny — malejący, zero — stały. Gdy znak tej różnicy zależy od nn i się zmienia, ciąg nie jest monotoniczny.

Monotoniczność ciągu ze wzoru liniowego

Wzór liniowy: dla an=3n−5a_n = 3n - 5 jest an+1−an=3(n+1)−5−(3n−5)=3>0a_{n+1} - a_n = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}} > 0 — ciąg rosnący; dla an=10−2na_n = 10 - 2n różnica wynosi −2\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}} — ciąg malejący.

Kiedy ciąg nie jest monotoniczny

Wzór z n2n^2: dla an=n2−6na_n = n^2 - 6n różnica an+1−an=2n−5a_{n+1} - a_n = 2n - 5 jest ujemna dla n=1,2n = 1, 2, a dodatnia od n=3n = 3 — ciąg nie jest monotoniczny\textcolor{#4f46e5}{\textbf{nie jest monotoniczny}} (−5,−8,−9,−8,…-5, -8, -9, -8, \dots).

Czynnik (−1)n(-1)^n: dla an=(−1)n⋅2+3a_n = (-1)^n \cdot 2 + 3 wyrazy to 1,5,1,5,…1, 5, 1, 5, \dots — ciąg niemonotoniczny\textcolor{#4f46e5}{\textbf{niemonotoniczny}}; do obalenia zdania „ciąg jest malejący” wystarczy jedna para ak+1>aka_{k+1} > a_k.

Monotoniczność ciągu rekurencyjnego

Wzór rekurencyjny an+1=an+ca_{n+1} = a_n + c podaje różnicę wprost: an+1=an−6a_{n+1} = a_n - 6 to ciąg malejący\textcolor{#4f46e5}{\textbf{malejący}}, niezależnie od a1a_1.

Monotoniczność ciągu na maturze — zadania prawda/fałsz

Na maturze: zadanie ma zwykle formę „oceń prawdziwość zdań” (P/F) — zdanie „ciąg jest malejący” najszybciej sprawdzisz, licząc a1,a2,a3a_1, a_2, a_3; ciąg z (−1)n(-1)^n prawie nigdy nie jest monotoniczny. Zdanie „wszystkie wyrazy są dodatnie” sprawdzasz nierównością an>0a_n > 0, pamiętając, że n≥1n \geq 1 jest liczbą naturalną (a 00 nie jest dodatnie). Karta wzorów CKE nie zawiera definicji monotoniczności — trzeba pamiętać: rosnący   ⟺  an+1−an>0\iff a_{n+1} - a_n > 0 dla każdego nn.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Monotoniczność ciągu liniowego z różnicy

Liczysz różnicę aₙ₊1 − aₙ dla wzoru typu a·n + b i ze znaku tej stałej różnicy odczytujesz, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy stały.

Zadanie Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=7−32na_n = 7 - \frac{3}{2}n dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Zbadaj, czy ciąg (an)(a_n) jest rosnący, czy malejący.

  1. Zapisuję wyraz następny, wstawiając n+1n+1 w miejsce nn: an+1=7−32(n+1)=7−32n−32a_{n+1} = 7 - \frac{3}{2}(n+1) = 7 - \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}.
  2. O monotoniczności decyduje znak różnicy, więc ją liczę: an+1−an=(7−32n−32)−(7−32n)=−32a_{n+1} - a_n = \left(7 - \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}\right) - \left(7 - \frac{3}{2}n\right) = -\frac{3}{2}.
  3. Różnica nie zależy od nn i jest ujemna dla każdego n≥1n \geq 1, więc każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego: ciąg jest malejący.
  4. Kontrola na liczbach: a1=5,5a_1 = 5{,}5, a2=4a_2 = 4, a3=2,5a_3 = 2{,}5 — wyrazy rzeczywiście maleją, za każdym razem o 1,51{,}5.

Odpowiedź: ciąg malejący (różnica an+1−an=−32<0a_{n+1} - a_n = -\frac{3}{2} < 0)

Przykład 2 Monotoniczność ciągu ze wzoru z n do potęgi 2

Liczysz różnicę aₙ₊1 − aₙ dla wzoru z n do potęgi 2 i sprawdzasz jej znak dla wszystkich n ≥ 1 — gdy znak się zmienia, ciąg nie jest monotoniczny.

Zadanie Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n2−4na_n = n^2 - 4n dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Zbadaj, czy ciąg (an)(a_n) jest monotoniczny.

  1. Liczę an+1a_{n+1}, podstawiając n+1n+1: (n+1)2−4(n+1)=n2+2n+1−4n−4=n2−2n−3(n+1)^2 - 4(n+1) = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 = n^2 - 2n - 3.
  2. Różnica: an+1−an=(n2−2n−3)−(n2−4n)=2n−3a_{n+1} - a_n = (n^2 - 2n - 3) - (n^2 - 4n) = 2n - 3 — tym razem zależy od nn, więc muszę sprawdzić jej znak dla każdego n≥1n \geq 1, a nie tylko dla jednego.
  3. Dla n=1n = 1: 2⋅1−3=−1<02 \cdot 1 - 3 = -1 < 0, a dla n=2n = 2: 2⋅2−3=1>02 \cdot 2 - 3 = 1 > 0. Różnica zmienia znak.
  4. Kontrola na wyrazach: a1=−3a_1 = -3, a2=−4a_2 = -4, a3=−3a_3 = -3 — najpierw spadek, potem wzrost. Ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

Odpowiedź: ciąg nie jest monotoniczny (a2<a1a_2 < a_1, ale a3>a2a_3 > a_2)

Przykład 3 Obalenie monotoniczności na pierwszych wyrazach

Liczysz a1, a2, a3 ze wzoru (także z czynnikiem (−1) do potęgi n lub wartością bezwzględną) i obalasz zdanie „ciąg jest malejący” jedną parą wyrazów, która je łamie.

Zadanie Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=3⋅(−1)n+na_n = 3 \cdot (-1)^n + n dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Oceń, czy zdanie „ciąg (an)(a_n) jest rosnący” jest prawdziwe.

  1. Czynnik (−1)n(-1)^n zmienia znak co krok, więc zamiast liczyć różnicę ogólnie, sprawdzam pierwsze wyrazy: a1=3⋅(−1)+1=−2a_1 = 3 \cdot (-1) + 1 = -2, a2=3⋅1+2=5a_2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5.
  2. Liczę dalej: a3=3⋅(−1)+3=0a_3 = 3 \cdot (-1) + 3 = 0, a4=3⋅1+4=7a_4 = 3 \cdot 1 + 4 = 7.
  3. Ciąg rosnący wymaga an+1>ana_{n+1} > a_n dla każdego nn. Tu a3=0<a2=5a_3 = 0 < a_2 = 5 — jedna taka para wystarczy, żeby zdanie obalić.
  4. Wyrazy −2,5,0,7,…-2, 5, 0, 7, \dots na przemian rosną i maleją — ciąg nie jest monotoniczny, zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: fałsz — a3<a2a_3 < a_2, ciąg nie jest monotoniczny

Przykład 4 Ile wyrazów ciągu jest dodatnich

Rozwiązujesz nierówność aₙ > 0 (lub aₙ < 0) w liczbach naturalnych i liczysz, ile wyrazów ma dany znak albo czy wszystkie wyrazy są dodatnie.

Zadanie Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=37−4na_n = 37 - 4n dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

  1. Wyraz jest dodatni, gdy an>0a_n > 0, więc rozwiązuję nierówność 37−4n>037 - 4n > 0 względem nn.
  2. −4n>−37-4n > -37; dzielę przez −4-4 i odwracam znak nierówności: n<9,25n < 9{,}25.
  3. Numer wyrazu nn jest liczbą naturalną, więc warunek spełniają n=1,2,…,9n = 1, 2, \dots, 9 — to 99 wyrazów.
  4. Kontrola brzegu: a9=37−36=1>0a_9 = 37 - 36 = 1 > 0, a a10=37−40=−3<0a_{10} = 37 - 40 = -3 < 0. Dodatnich wyrazów jest 99.

Odpowiedź: 99 wyrazów dodatnich

Przykład 5 Monotoniczność ciągu określonego rekurencyjnie

Z zależności aₙ₊1 = aₙ + c odczytujesz różnicę wprost, a przy innych wzorach rekurencyjnych liczysz kolejne wyrazy od a1 i porównujesz je.

Zadanie Ciąg (an)(a_n) jest określony następująco: a1=5a_1 = 5, an+1=an−12a_{n+1} = a_n - \frac{1}{2} dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Oceń prawdziwość zdań: I. Ciąg (an)(a_n) jest malejący. II. Ciąg (an)(a_n) ma dokładnie 1010 wyrazów dodatnich.

  1. Ze wzoru rekurencyjnego różnicę czytam wprost: an+1−an=−12<0a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2} < 0 dla każdego nn, więc ciąg jest malejący — zdanie I jest prawdziwe.
  2. Każdy kolejny wyraz jest o 12\frac{1}{2} mniejszy: a1=5a_1 = 5, a2=4,5a_2 = 4{,}5, a3=4a_3 = 4, … — od a1a_1 odejmuję 12\frac{1}{2} dokładnie n−1n - 1 razy, więc an=5−12(n−1)a_n = 5 - \frac{1}{2}(n - 1).
  3. Wyraz dodatni: 5−12(n−1)>0  ⟺  n−1<10  ⟺  n<115 - \frac{1}{2}(n - 1) > 0 \iff n - 1 < 10 \iff n < 11, czyli n=1,…,10n = 1, \dots, 10.
  4. Kontrola: a10=5−4,5=0,5>0a_{10} = 5 - 4{,}5 = 0{,}5 > 0, a a11=0a_{11} = 0 nie jest dodatnie. Dodatnich wyrazów jest 1010 — zdanie II jest prawdziwe.

Odpowiedź: I prawda, II prawda

Najczęstsze błędy

  • Sprawdzenie znaku różnicy tylko dla jednego nn. Gdy an+1−ana_{n+1} - a_n zależy od nn, badamy znak dla każdego n≥1n \geq 1 — dla an=n2−6na_n = n^2 - 6n różnica 2n−52n - 5 zmienia znak.
  • Uznanie zera za liczbę dodatnią w zdaniu „wszystkie wyrazy są dodatnie” — 00 nie jest dodatnie.
  • Brak odwrócenia znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną: −4n>−37-4n > -37 daje n<9,25n < 9{,}25.
  • Uznanie ciągu z (−1)n(-1)^n za monotoniczny. Jego wyrazy zwykle na przemian rosną i maleją, a do obalenia monotoniczności wystarczy jedna para wyrazów.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=2n−93a_n = \frac{2n - 9}{3} dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Wynika stąd, że ciąg (an)(a_n) jest:

Zadanie 2

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n2−7n+2a_n = n^2 - 7n + 2 dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Wynika stąd, że ciąg (an)(a_n):

Zadanie 3

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=6−4⋅(−1)na_n = 6 - 4 \cdot (-1)^n dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 4

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n−123a_n = \frac{n - 12}{3} dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:

Zadanie 5

Ciąg (an)(a_n) jest określony następująco: a1=1a_1 = 1, an+1=3an−1a_{n+1} = 3a_n - 1 dla każdej liczby naturalnej n≥1n \geq 1. Wskaż zdanie prawdziwe.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Monotoniczność ciągu — całościowe omówienie Lernado
Badanie monotoniczności ciągu na podstawie wzoru Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić monotoniczność ciągu?

Liczymy różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n i badamy jej znak dla każdego n≥1n \geq 1: dodatnia — ciąg rosnący, ujemna — malejący, zero — stały. Dla an=3n−5a_n = 3n - 5 różnica wynosi 33, więc ciąg jest rosnący.

Kiedy ciąg nie jest monotoniczny?

Gdy znak różnicy an+1−ana_{n+1} - a_n zmienia się w zależności od nn. Ciąg an=n2−6na_n = n^2 - 6n ma wyrazy −5,−8,−9,−8,…-5, -8, -9, -8, \dots — najpierw maleje, potem rośnie.

Jak sprawdzić monotoniczność ciągu rekurencyjnego?

Gdy reguła ma postać an+1=an+ca_{n+1} = a_n + c, różnica an+1−an=ca_{n+1} - a_n = c jest podana wprost: an+1=an−6a_{n+1} = a_n - 6 to ciąg malejący, niezależnie od a1a_1.

Jak obalić zdanie, że ciąg jest malejący?

Wystarczy jedna para wyrazów, w której ak+1>aka_{k+1} > a_k. Najszybciej policzyć a1a_1, a2a_2, a3a_3: dla an=(−1)n⋅2+3a_n = (-1)^n \cdot 2 + 3 wyrazy to 1,5,1,5,…1, 5, 1, 5, \dots, więc ciąg nie jest malejący.

Jak sprawdzić, ile wyrazów ciągu jest dodatnich?

Rozwiązujemy nierówność an>0a_n > 0 i liczymy rozwiązania naturalne. Dla an=37−4na_n = 37 - 4n: n<9,25n < 9{,}25, więc dodatnich wyrazów jest 99.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi Własności ciągów w zastosowaniach Ciągi Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę