Monotoniczność ciągu — wytłumaczenie, wzór i zadania

O monotoniczności ciągu rozstrzyga znak różnicy $a_{n+1} - a_n$: dodatni dla każdego $n \geq 1$ — ciąg rosnący, ujemny — malejący, zero — stały. Gdy znak tej różnicy zależy od $n$ i się zmienia, ciąg nie jest monotoniczny.

Wzór liniowy: dla $a_n = 3n - 5$ jest $a_{n+1} - a_n = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}} > 0$ — ciąg rosnący; dla $a_n = 10 - 2n$ różnica wynosi $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ — ciąg malejący.

Wzór z $n^2$: dla $a_n = n^2 - 6n$ różnica $a_{n+1} - a_n = 2n - 5$ jest ujemna dla $n = 1, 2$, a dodatnia od $n = 3$ — ciąg $\textcolor{#4f46e5}{\textbf{nie jest monotoniczny}}$ ($-5, -8, -9, -8, \dots$).

Czynnik $(-1)^n$: dla $a_n = (-1)^n \cdot 2 + 3$ wyrazy to $1, 5, 1, 5, \dots$ — ciąg $\textcolor{#4f46e5}{\textbf{niemonotoniczny}}$; do obalenia zdania „ciąg jest malejący” wystarczy jedna para $a_{k+1} > a_k$.

Wzór rekurencyjny $a_{n+1} = a_n + c$ podaje różnicę wprost: $a_{n+1} = a_n - 6$ to ciąg $\textcolor{#4f46e5}{\textbf{malejący}}$, niezależnie od $a_1$.

Na maturze: zadanie ma zwykle formę „oceń prawdziwość zdań” (P/F) — zdanie „ciąg jest malejący” najszybciej sprawdzisz, licząc $a_1, a_2, a_3$; ciąg z $(-1)^n$ prawie nigdy nie jest monotoniczny. Zdanie „wszystkie wyrazy są dodatnie” sprawdzasz nierównością $a_n > 0$, pamiętając, że $n \geq 1$ jest liczbą naturalną (a $0$ nie jest dodatnie). Karta wzorów CKE nie zawiera definicji monotoniczności — trzeba pamiętać: rosnący $\iff a_{n+1} - a_n > 0$ dla każdego $n$.