Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny — wytłumaczenie, wzór i zadania

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica $a_{n+1}-a_n$ jest stała, i geometryczny, gdy iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stały — sprawdzasz to, podstawiając $n+1$ do wzoru ogólnego; wynik nie może zależeć od $n$. Dla trzech kolejnych wyrazów $a,\ b,\ c$ test jest krótszy: arytmetyczny $\iff 2b = a + c$, geometryczny $\iff b^2 = a\cdot c$.

• $a_n = 5n-2$: $a_{n+1}-a_n = 5(n+1)-2-(5n-2) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ — stała, więc ciąg arytmetyczny o różnicy $5$
• $a_n = 3\cdot 2^n$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3\cdot 2^{n+1}}{3\cdot 2^n} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ — stały, więc ciąg geometryczny o ilorazie $2$
• $a_n = n^2$: $a_{n+1}-a_n = 2n+1$ zależy od $n$, iloraz $\frac{(n+1)^2}{n^2}$ też — ciąg \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{ani}} arytmetyczny, \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{ani}} geometryczny
• ciąg $(-3,\ 1,\ x)$ arytmetyczny: $2\cdot 1 = -3 + x$, $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$; ciąg $(-3,\ 1,\ y)$ geometryczny: $1^2 = -3\cdot y$, $y = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{1}{3}}}$

Na maturze: wzory na $a_n$ i $S_n$ obu ciągów są na karcie wzorów CKE, ale warunki $2b = a+c$ i $b^2 = ac$ warto mieć w głowie — wynikają wprost z $b-a = c-b$ i $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$. Typowe zadanie zamknięte podaje ciąg $(a,\ b,\ x)$ arytmetyczny i $(a,\ b,\ y)$ geometryczny i pyta o znaki $x$ i $y$ — policz obie liczby, nie zgaduj; ujemne $a$ przy dodatnim $b$ daje $y<0$. W zadaniu otwartym z wzorem ogólnym (np. $(a_1,\ a_9,\ a_k)$ jest geometryczny) najpierw policz konkretne wyrazy, potem $a_k$ z warunku, na końcu $k$ ze wzoru — i sprawdź, czy $k$ wyszło naturalne.