Wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wyraz ciągu $(a_n)$ obliczam, wstawiając jego numer $n$ w każde miejsce wzoru ogólnego — także do wykładnika potęgi i do czynnika $(-1)^n$, który ustala tylko znak.

• $a_n=\frac{n^2-3}{n+1}$, $n=\textcolor{#0284c7}{3}$: $a_3=\frac{9-3}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\frac{3}{2}}}$.
• $a_n=(-1)^n\cdot 2^{n-1}$, $n=\textcolor{#0284c7}{5}$: $(-1)^5=-1$, $2^4=16$, więc $a_5=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-16}}$.
• Który wyraz ciągu $a_n=3n-4$ jest równy $20$? $3n-4=20$, stąd $n=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ — liczba jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy $n$ wychodzi naturalne.
• Ile wyrazów ciągu $a_n=\frac{n-1}{2}$ jest mniejszych od $7$? $\frac{n-1}{2}<7 \Rightarrow n<15$, czyli $n=1,\dots,14$: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{14}}$ wyrazów.
• $S_4$ dla $a_n=n^2+2$: $3+6+11+18=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{38}}$.

Na maturze: zadanie za 1 pkt brzmi „ciąg jest określony wzorem $a_n=\dots$ dla $n\ge 1$; wyraz $a_4$ / liczba wyrazów mniejszych od $10$ / suma $S_3$ jest równa”. Przy $(-1)^n$ najpierw ustal znak z parzystości wykładnika, dopiero potem licz resztę. Przy nierówności zliczasz rozwiązania naturalne: ostra nierówność $n<32$ daje $31$ wyrazów, nie $32$. Sumę kilku wyrazów liczysz wprost; gdy we wzorze jest $(-1)^n$, wyrazy powtarzają się parami — licz pary.