Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny — wytłumaczenie, wzór i zadania

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Kąt dwuścienny między dwiema półpłaszczyznami mierzysz kątem liniowym — między dwiema półprostymi prostopadłymi do wspólnej krawędzi, po jednej w każdej półpłaszczyźnie. Oba kąty zawsze siedzą w trójkącie prostokątnym „rzut (albo bok podstawy) – wysokość – odcinek”.

W sześcianie $ABCDEFGH$ o krawędzi $a$ przekątna $BH$ rzutuje się na przekątną podstawy $BD$ (bo $H$ leży nad $D$), więc kąt między $BH$ a podstawą to $\angle HBD$ i $\operatorname{tg}\angle HBD=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{\sqrt2}{2}}}$.

Ta sama przekątna $BH$ ze ścianą $DCGH$: rzut punktu $B$ na tę ścianę to $C$ (krawędź $BC$ jest do niej prostopadła), więc szukany kąt to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\angle BHC}}$ — wierzchołek w punkcie wspólnym odcinka i jego rzutu.

Płaszczyzna $ABGH$ i podstawa mają wspólną krawędź $AB$; prostopadłe do niej w punkcie $B$ to $BC$ (w podstawie) i $BG$ (w przekroju), więc kąt dwuścienny mierzy $\angle CBG$, a w sześcianie $\operatorname{tg}\angle CBG=\dfrac{a}{a}=1$, czyli $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{45^\circ}}$.

Na maturze: zadanie zamknięte pyta zwykle, który z kątów na rysunku jest kątem nachylenia przekątnej do podstawy — szukaj kąta o wierzchołku w punkcie, w którym odcinek dotyka płaszczyzny, między odcinkiem a jego rzutem (nie między odcinkiem a krawędzią boczną — to kąt dopełniający). Przy kącie dwuściennym sprawdź, czy oba ramiona są prostopadłe do wspólnej krawędzi — przekątna podstawy zwykle nie jest. Karta wzorów CKE daje wartości $\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ oraz przekątne: kwadratu $a\sqrt2$ i sześcianu $a\sqrt3$.