Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny — jak je wskazać i obliczyć

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Kąt dwuścienny mierzymy kątem liniowym — między dwiema półprostymi prostopadłymi do wspólnej krawędzi, po jednej w każdej półpłaszczyźnie.

Stereometria · matura podstawowa 4 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Przekątna kwadratu $a$ — bok kwadratu; przekątna podstawy jest rzutem przekątnej sześcianu na podstawę: $a\sqrt2$
Przekątna sześcianu $a$ — krawędź sześcianu: $a\sqrt3$

Co to jest kąt między prostą a płaszczyzną i kąt dwuścienny

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Kąt dwuścienny między dwiema półpłaszczyznami mierzysz kątem liniowym — między dwiema półprostymi prostopadłymi do wspólnej krawędzi, po jednej w każdej półpłaszczyźnie. Oba kąty zawsze siedzą w trójkącie prostokątnym „rzut (albo bok podstawy) – wysokość – odcinek”.

Kąt między przekątną sześcianu a podstawą

W sześcianie $ABCDEFGH$ o krawędzi $a$ przekątna $BH$ rzutuje się na przekątną podstawy $BD$ (bo $H$ leży nad $D$ ), więc kąt między $BH$ a podstawą to $\angle HBD$ i $\operatorname{tg}\angle HBD=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{\sqrt2}{2}}}$ .

Kąt między prostą a ścianą bryły

Ta sama przekątna $BH$ ze ścianą $DCGH$ : rzut punktu $B$ na tę ścianę to $C$ (krawędź $BC$ jest do niej prostopadła), więc szukany kąt to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\angle BHC}}$ — wierzchołek w punkcie wspólnym odcinka i jego rzutu.

Kąt dwuścienny — jak wskazać kąt liniowy

Płaszczyzna $ABGH$ i podstawa mają wspólną krawędź $AB$ ; prostopadłe do niej w punkcie $B$ to $BC$ (w podstawie) i $BG$ (w przekroju), więc kąt dwuścienny mierzy $\angle CBG$ , a w sześcianie $\operatorname{tg}\angle CBG=\dfrac{a}{a}=1$ , czyli $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{45^\circ}}$ .

Kąty w bryłach na maturze — pułapki

Na maturze: zadanie zamknięte pyta zwykle, który z kątów na rysunku jest kątem nachylenia przekątnej do podstawy — szukaj kąta o wierzchołku w punkcie, w którym odcinek dotyka płaszczyzny, między odcinkiem a jego rzutem (nie między odcinkiem a krawędzią boczną — to kąt dopełniający). Przy kącie dwuściennym sprawdź, czy oba ramiona są prostopadłe do wspólnej krawędzi — przekątna podstawy zwykle nie jest. Karta wzorów CKE daje wartości $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ oraz przekątne: kwadratu $a\sqrt2$ i sześcianu $a\sqrt3$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Rzut prostokątny przekątnej na podstawę i na ścianę

Prostopadłościan 6 × 8 × 5 — przekątna AG rzutuje się na AC

Wskazujesz spodek prostopadłej z każdego końca odcinka i nazywasz jego rzut prostokątny na podstawę lub ścianę bryły, a gdy trzeba — liczysz długość tego rzutu.

Zadanie Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ , w którym $|AB|=6$ , $|BC|=8$ , $|CG|=5$ . Wskaż rzut prostokątny przekątnej $AG$ na płaszczyznę podstawy $ABCD$ oraz na płaszczyznę ściany $BCGF$ i oblicz długość rzutu na podstawę.

Rzut odcinka to odcinek łączący rzuty jego końców, więc szukam rzutów punktów $A$ i $G$ . Punkt $A$ leży w podstawie — jego rzutem jest on sam. Punkt $G$ leży nad $C$ (krawędź $CG$ jest prostopadła do podstawy), więc rzutem $G$ jest $C$ .
Rzut $AG$ na płaszczyznę $ABCD$ to odcinek $AC$ — przekątna podstawy.
Na ścianę $BCGF$ : punkt $G$ leży w tej ścianie, więc jest swoim rzutem. Prostopadła z $A$ do ściany $BCGF$ to krawędź $AB$ (bo $AB\perp BC$ i $AB\perp BF$ ), więc rzutem $A$ jest $B$ . Rzut $AG$ na ścianę $BCGF$ to $BG$ — przekątna ściany.
Długość rzutu na podstawę: $|AC|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ . Wysokość $5$ nie ma tu znaczenia — rzut leży w podstawie.

Odpowiedź: rzut na podstawę: AC = 10; rzut na ścianę BCGF: BG

Przykład 2 Który kąt jest kątem między prostą a płaszczyzną

Sześcian ABCDEFGH — przekątna AG

Nazywasz kąt między odcinkiem a płaszczyzną jako kąt między tym odcinkiem a jego rzutem prostokątnym — wskazujesz wierzchołek i ramiona w sześcianie, prostopadłościanie i ostrosłupie.

Zadanie Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Wskaż kąt między przekątną $AG$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$ oraz kąt między tą samą przekątną a płaszczyzną ściany $BCGF$ . Podaj wierzchołki obu kątów.

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej rzutem, więc najpierw znajduję rzut $AG$ na podstawę: $A$ leży w podstawie, $G$ leży nad $C$ , rzut to $AC$ .
Wierzchołek kąta leży w punkcie wspólnym odcinka i jego rzutu, czyli w $A$ ; ramiona to $AG$ i $AC$ . Szukany kąt to $\angle GAC$ . Kąt $\angle AGC$ (przy $G$ ) to kąt między przekątną a krawędzią boczną — dopełnienie do $90^\circ$ , nie ten.
Na ścianę $BCGF$ : punkt $G$ leży w tej ścianie, a prostopadła z $A$ to krawędź $AB$ , więc rzutem $A$ jest $B$ . Rzut $AG$ to $BG$ .
Punkt wspólny odcinka $AG$ i rzutu $BG$ to $G$ , więc kąt z płaszczyzną ściany to $\angle AGB$ — wierzchołek $G$ , ramiona $GA$ i $GB$ .

Odpowiedź: z podstawą: ∠GAC (wierzchołek A); ze ścianą BCGF: ∠AGB (wierzchołek G)

Przykład 3 Tangens i cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu

Sześcian o krawędzi 6 — przekątna AG i jej rzut AC

Budujesz trójkąt prostokątny „rzut – wysokość – odcinek” i liczysz tangens, sinus lub cosinus kąta nachylenia odcinka do płaszczyzny w sześcianie, prostopadłościanie i ostrosłupie.

Zadanie Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi $6$ , o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Oblicz tangens i cosinus kąta $\alpha$ między przekątną $AG$ a płaszczyzną podstawy.

Rzut $AG$ na podstawę to $AC$ , więc $\alpha=\angle GAC$ leży w trójkącie $AGC$ z kątem prostym przy $C$ (bo $CG$ jest prostopadła do podstawy).
Przyprostokątne: rzut $|AC|=6\sqrt2$ (przekątna kwadratu o boku $6$ ) i wysokość $|CG|=6$ . Tangens to „naprzeciw przez przy”: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{|CG|}{|AC|}=\dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
Do cosinusa potrzebna jest przeciwprostokątna — przekątna sześcianu $|AG|=6\sqrt3$ (wzór $a\sqrt3$ albo Pitagoras: $\sqrt{72+36}=\sqrt{108}=6\sqrt3$ ).
$\cos\alpha=\dfrac{|AC|}{|AG|}=\dfrac{6\sqrt2}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ .

Odpowiedź: tg α = $\sqrt{2}$ /2, cos α = $\sqrt{6}$ /3

Przykład 4 Kąt liniowy kąta dwuściennego w sześcianie

Sześcian ABCDEFGH — przekrój ABGH

Wskazujesz kąt liniowy kąta dwuściennego: znajdujesz wspólną krawędź dwóch płaszczyzn i po jednej półprostej prostopadłej do niej w każdej z płaszczyzn.

Zadanie Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Płaszczyzna $ABGH$ przecina sześcian wzdłuż prostokąta $ABGH$ . Wskaż kąt liniowy kąta dwuściennego między płaszczyzną $ABGH$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$ i podaj jego miarę.

Krawędź kąta dwuściennego to prosta wspólna obu płaszczyzn: $AB$ (oba punkty $A$ i $B$ leżą i w podstawie, i w prostokącie $ABGH$ ).
W podstawie $ABCD$ prostopadła do $AB$ w punkcie $B$ to $BC$ ; w płaszczyźnie $ABGH$ prostopadła do $AB$ w punkcie $B$ to $BG$ (bo $ABGH$ jest prostokątem).
Kąt liniowy to $\angle CBG$ — wierzchołek $B$ , ramiona $BC$ i $BG$ . Kąt $\angle DBG$ nie jest kątem liniowym: $BD$ nie jest prostopadła do krawędzi $AB$ .
Miara: w trójkącie $BCG$ z kątem prostym przy $C$ mamy $|BC|=|CG|=a$ , więc $\operatorname{tg}\angle CBG=1$ i kąt ma $45^\circ$ .

Odpowiedź: ∠CBG, 45°

Przykład 5 Miara kąta dwuściennego w prostopadłościanie

Prostopadłościan 10 × 6 × 6√3 — przekrój ABGH

Z kąta liniowego kąta dwuściennego budujesz trójkąt prostokątny „bok podstawy (lub połowa przekątnej) – wysokość – odcinek przekroju” i liczysz funkcję kąta albo brakujący wymiar sześcianu lub prostopadłościanu.

Zadanie Prostopadłościan $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ ma wymiary $|AB|=10$ , $|BC|=6$ , $|CG|=6\sqrt{3}$ . Oblicz miarę kąta dwuściennego między płaszczyzną $ABGH$ a płaszczyzną podstawy.

Wspólna krawędź obu płaszczyzn to $AB$ . Prostopadła do niej w $B$ : $BC$ w podstawie i $BG$ w prostokącie $ABGH$ , więc kąt dwuścienny mierzy kąt liniowy $\angle CBG$ .
Kąt $\angle CBG$ leży w trójkącie $BCG$ z kątem prostym przy $C$ ; przyprostokątne to $|BC|=6$ (przy kącie) i $|CG|=6\sqrt3$ (naprzeciw). Tangens: $\operatorname{tg}\angle CBG=\dfrac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3$ .
Z karty wzorów $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ , więc kąt ma $60^\circ$ . Długość $|AB|=10$ nie jest potrzebna — to krawędź kąta, nie ramię trójkąta.

Odpowiedź: 60°

Najczęstsze błędy

Kąt między odcinkiem a krawędzią boczną zamiast kąta z rzutem. Wierzchołek szukanego kąta leży w punkcie, w którym odcinek dotyka płaszczyzny; kąt przy krawędzi bocznej to kąt dopełniający.
Kąt dwuścienny z ramieniem nieprostopadłym do wspólnej krawędzi — przekątna podstawy zwykle nie jest prostopadła do tej krawędzi.
Wliczanie wysokości bryły do długości rzutu na podstawę. Rzut leży w podstawie: rzutem przekątnej $AG$ prostopadłościanu jest przekątna podstawy $AC$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Prostopadłościan ABCDEFGH

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Rzutem prostokątnym przekątnej $DF$ na płaszczyznę ściany $ABFE$ jest odcinek:

Zadanie 2

Prostopadłościan ABCDEFGH

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Kąt między przekątną ściany bocznej $BG$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$ to kąt:

Zadanie 3

Sześcian o krawędzi 5

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi $5$ , o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Sinus kąta między przekątną $BH$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$ jest równy:

Zadanie 4

Sześcian ABCDEFGH — przekrój DCFE

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Płaszczyzna $DCFE$ przecina sześcian wzdłuż prostokąta $DCFE$ . Kąt liniowy kąta dwuściennego między płaszczyzną $DCFE$ a płaszczyzną podstawy to kąt:

Zadanie 5

Sześcian o krawędzi 4 — przekrój BDG

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi $4$ , o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ ; $O$ jest środkiem podstawy. Tangens kąta dwuściennego między płaszczyzną $BDG$ a płaszczyzną podstawy jest równy:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 29

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąt między prostą a płaszczyzną Pi-stacja Matematyka

Stereometria na maturze podstawowej w 10 minut EZMATMA

Najczęstsze pytania

Co to jest kąt między prostą a płaszczyzną?

To kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Jego wierzchołek leży w punkcie wspólnym prostej i jej rzutu.

Co to jest kąt dwuścienny?

To kąt między dwiema półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi. Mierzymy go kątem liniowym: między dwiema półprostymi prostopadłymi do krawędzi, po jednej w każdej półpłaszczyźnie.

Jak obliczyć kąt między przekątną sześcianu a podstawą?

Rzutem przekątnej sześcianu na podstawę jest przekątna podstawy o długości $a\sqrt2$ , a naprzeciw kąta leży krawędź $a$ , więc $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Jak wskazać kąt liniowy kąta dwuściennego?

Znajdź wspólną krawędź obu płaszczyzn i w jednym jej punkcie poprowadź w każdej płaszczyźnie półprostą prostopadłą do krawędzi. Dla płaszczyzny $ABGH$ i podstawy sześcianu jest to $\angle CBG$ , który ma $45^\circ$ .

Jak obliczyć kąt dwuścienny w prostopadłościanie?

Liczymy funkcję kąta liniowego w trójkącie prostokątnym. Dla $|BC|=6$ i $|CG|=6\sqrt3$ : $\operatorname{tg}\angle CBG=\dfrac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3$ , więc kąt między płaszczyzną $ABGH$ a podstawą ma $60^\circ$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Stereometria Kąty w walcach i stożkach Stereometria Objętości brył podobnych Stereometria Objętości i pola powierzchni brył Stereometria Wzajemne położenie prostych w przestrzeni Stereometria Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Reguły mnożenia i dodawania Kombinatoryka Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach Kombinatoryka

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę