Średnia arytmetyczna, mediana i dominanta — jak obliczyć krok po kroku

Q: Jak obliczyć medianę z diagramu lub tabeli?

Sumujemy liczebności narastająco aż do pozycji środkowej: (n+1)/2 przy nieparzystym n albo n/2 i n/2+1 przy parzystym. Dla wartości 1,2,3 o liczebnościach 4,5,2 mediana to szósta wartość, czyli 2.

Q: Jak obliczyć średnią połączonych grup?

Zamieniamy każdą średnią na sumę (suma=n·x̄), dodajemy sumy i dzielimy przez łączną liczbę danych. Średnie 6 (cztery liczby) i 11 (sześć liczb) dają (24+66)/10=9.

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę, mediana — wartość środkowa uporządkowanego zestawu (przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych), a dominanta — wartość występująca najczęściej.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Suma danych ze średniej $n$ — liczba danych, $\bar{x}$ — średnia arytmetyczna: $\text{suma}=n\cdot\bar{x}$
Pozycja mediany przy nieparzystej liczbie danych przy parzystym $n$ mediana to średnia wartości z pozycji $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2}+1$: $\frac{n+1}{2}$

Co to jest średnia, mediana i dominanta

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę, mediana to wartość środkowa uporządkowanego zestawu (przy parzystej liczbie danych — średnia dwóch środkowych), a dominanta to wartość występująca najczęściej. Gdy dane są w tabeli lub na diagramie, liczysz średnią ważoną: każdą wartość mnożysz przez jej liczebność (wagę), sumujesz i dzielisz przez sumę liczebności. Kluczowa zależność w zadaniach: $\text{suma}=n\cdot\bar{x}$ .

Jak obliczyć średnią, medianę i dominantę — przykłady

$3$ , $8$ , $1$ , $6$ : średnia $=\frac{18}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4{,}5}}$ ; mediana po uporządkowaniu $1,3,6,8$ : $\frac{3+6}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4{,}5}}$ .
Oceny $3,4,5$ o liczebnościach $2,3,5$ : średnia $\frac{3\cdot2+4\cdot3+5\cdot5}{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4{,}3}}$ , dominanta $=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ .
Wartości $1,2,3$ o liczebnościach $4,5,2$ ( $11$ danych): mediana to $6$ . wartość; narastająco $4,\ 9,\ 11$ — szósta wartość to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .
Średnia liczb $a,b,c$ wynosi $9$ , więc $a+b+c=27$ ; średnia liczb $2a,2b,2c$ to $\frac{54}{3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{18}}$ .

Mediana z diagramu i średnia połączonych grup na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje wzór na średnią (i odchylenie standardowe), ale nie na medianę — medianę z diagramu wyznaczasz, sumując słupki narastająco aż do pozycji $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2}+1$ (lub $\frac{n+1}{2}$ dla nieparzystego $n$ ). Typowe zadania: średnia albo mediana ocen z diagramu słupkowego (1 pkt), średnia po połączeniu grup lub po przekształceniu liczb ( $a,a,b,b,c,c$ ; $2a,3a,\ldots$ ), zadania otwarte „uzupełnij zdania” z dominantą i liczbą uczniów z wynikiem poniżej średniej. Pułapki: dominanta to wartość, nie wysokość słupka; średnia połączonych grup o różnych liczebnościach to nie średnia średnich.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Brakująca liczba z podanej średniej

Liczysz średnią jako sumę przez liczbę danych, a z podanej średniej odzyskujesz sumę i wyznaczasz brakującą liczbę.

Zadanie Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $2$ , $5$ , $7$ , $x$ , $9$ , $4$ jest równa $6{,}5$ . Liczba $x$ jest równa:

Średnia to suma przez liczbę danych, więc znając średnią i liczbę danych, odzyskuję sumę: $6\cdot 6{,}5=39$ .
Sumuję znane liczby: $2+5+7+9+4=27$ .
Brakująca liczba to różnica sumy całkowitej i sumy znanych: $x=39-27=12$ .
Sprawdzam: $\frac{27+12}{6}=\frac{39}{6}=6{,}5$ — zgadza się.

Odpowiedź: $x=12$

Przykład 2 Mediana zestawu liczb

Porządkujesz dane rosnąco i odczytujesz wartość środkową albo średnią dwóch środkowych, także dla danych ujemnych, dziesiętnych i z niewiadomą.

Zadanie Mediana zestawu liczb: $7$ , $-2$ , $4{,}5$ , $11$ , $0$ , $3$ jest równa:

Mediana wymaga uporządkowanych danych, więc ustawiam je rosnąco: $-2,\ 0,\ 3,\ 4{,}5,\ 7,\ 11$ .
Danych jest sześć — liczba parzysta — więc mediana to średnia dwóch środkowych: trzeciej i czwartej.
Trzecia to $3$ , czwarta to $4{,}5$ : mediana $=\frac{3+4{,}5}{2}=\frac{7{,}5}{2}=3{,}75$ .
Mediana nie musi należeć do zestawu — $3{,}75$ to poprawny wynik, choć takiej liczby wśród danych nie ma.

Odpowiedź: $3{,}75$

Przykład 3 Średnia ważona z diagramu liczebności

Z tabeli lub diagramu mnożysz każdą wartość przez jej liczebność (lub wagę), sumujesz i dzielisz przez sumę liczebności.

Zadanie Na diagramie przedstawiono, ile godzin w tygodniu uczniowie pewnej klasy poświęcają na naukę matematyki. Na osi poziomej podano liczbę godzin, a na osi pionowej — liczbę uczniów. Średnia liczba godzin nauki przypadająca na jednego ucznia tej klasy jest równa:

Odczytuję liczebności z diagramu: $1$ h — $3$ uczniów, $2$ h — $8$ , $3$ h — $6$ , $4$ h — $5$ , $5$ h — $3$ . Uczniów jest $3+8+6+5+3=25$ — przez to będę dzielić.
Każdą wartość mnożę przez jej liczebność, bo tyle razy występuje w zestawie: $1\cdot3+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot5+5\cdot3=3+16+18+20+15=72$ .
Średnia to suma wszystkich godzin przez liczbę uczniów: $\frac{72}{25}=2{,}88$ .
Sprawdzam sens: wynik leży między $1$ a $5$ i blisko $3$ , bo najwięcej uczniów uczy się $2$ – $3$ godziny. Średnia $=2{,}88$ h.

Odpowiedź: $2{,}88$ h

Przykład 4 Mediana z diagramu — liczebności narastająco

Z tabeli lub diagramu ustalasz, jakie wartości stoją na środkowych pozycjach uporządkowanego zestawu, sumując liczebności narastająco.

Zadanie Na diagramie przedstawiono liczbę błędów w dyktandzie w klasie liczącej $28$ uczniów. Na osi poziomej podano liczbę błędów, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy popełnili daną liczbę błędów. Mediana liczby błędów jest równa:

Danych jest $28$ (parzyście), więc mediana to średnia $14$ . i $15$ . wartości w uporządkowanym zestawie — nie muszę wypisywać wszystkich danych, wystarczy ustalić, co stoi na tych pozycjach.
Diagram podaje dane już uporządkowane po wartościach, więc sumuję liczebności narastająco: $0$ błędów — $5$ (pozycje $1$ – $5$ ), $1$ błąd — $7$ (pozycje $6$ – $12$ ), $2$ błędy — $2$ (pozycje $13$ – $14$ ), $3$ błędy — $8$ (pozycje $15$ – $22$ ), $4$ błędy — $6$ (pozycje $23$ – $28$ ).
Pozycja $14$ . mieści się w grupie „ $2$ błędy”, a pozycja $15$ . w grupie „ $3$ błędy”.
Mediana $=\frac{2+3}{2}=2{,}5$ — jest to liczba, której nikt nie uzyskał, i to jest w porządku.

Odpowiedź: $2{,}5$

Przykład 5 Dominanta i liczba wyników poniżej średniej

Odczytujesz dominantę jako wartość o największej liczebności i zliczasz obserwacje spełniające warunek, na przykład wynik niższy od średniej albo co najmniej k.

Zadanie Na diagramie przedstawiono, ile książek przeczytali w ciągu miesiąca uczniowie pewnej klasy liczącej $25$ osób. Na osi poziomej podano liczbę przeczytanych książek, a na osi pionowej — liczbę uczniów. Podaj dominantę liczby przeczytanych książek oraz liczbę uczniów, którzy przeczytali mniej książek, niż wynosi średnia.

Dominanta to wartość powtarzająca się najczęściej, czyli ta o najwyższym słupku. Najwyższy słupek ( $9$ uczniów) stoi nad wartością $1$ , więc dominanta $=1$ — nie $9$ , bo $9$ to liczebność, a nie wynik.
Żeby porównać wyniki ze średnią, muszę ją policzyć: suma przeczytanych książek $=0\cdot4+1\cdot9+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot2=42$ .
Uczniów jest $4+9+5+5+2=25$ , więc średnia $=\frac{42}{25}=1{,}68$ .
Mniej niż $1{,}68$ przeczytali uczniowie z wynikiem $0$ i $1$ (bo $1<1{,}68$ , ale $2>1{,}68$ ): $4+9=13$ uczniów.

Odpowiedź: Dominanta $=1$ ; mniej niż średnia przeczytało $13$ uczniów.

Przykład 6 Średnia połączonych grup

Każdą średnią zamieniasz na sumę, dodajesz sumy i dzielisz przez łączną liczbę danych, także gdy nowy zestaw powstał przez powtórzenie lub pomnożenie danych liczb.

Zadanie Średnia arytmetyczna czterech liczb: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ jest równa $6$ , a średnia arytmetyczna sześciu liczb: $e$ , $f$ , $g$ , $h$ , $i$ , $j$ jest równa $11$ . Średnia arytmetyczna wszystkich dziesięciu liczb jest równa:

Grupy mają różne liczebności, więc nie wolno uśredniać samych średnich — wracam do sum, bo suma $=n\cdot\bar{x}$ .
Pierwsza grupa: $4\cdot6=24$ . Druga grupa: $6\cdot11=66$ .
Łączna suma: $24+66=90$ , a liczb jest $4+6=10$ .
Średnia wszystkich: $\frac{90}{10}=9$ . Średnia średnich dałaby $\frac{6+11}{2}=8{,}5$ — to typowy błąd.

Odpowiedź: $9$

Najczęstsze błędy

Dominanta jako wysokość słupka. Dominanta to wartość, która występuje najczęściej, a nie jej liczebność.
Średnia połączonych grup liczona jako średnia średnich. Przy różnych liczebnościach wracamy do sum: średnie $6$ (cztery liczby) i $11$ (sześć liczb) dają $\frac{24+66}{10}=9$ , nie $8{,}5$ .
Mediana z nieuporządkowanych danych. Najpierw ustawiamy dane rosnąco, dopiero potem bierzemy wartość środkową.
Zwykła średnia zamiast ważonej przy danych z tabeli lub diagramu: każdą wartość mnożymy przez jej liczebność i dzielimy przez sumę liczebności.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Średnia arytmetyczna liczb $2{,}5$ ; $3$ ; $4{,}5$ ; $6$ ; $1{,}5$ ; $0{,}5$ jest równa:

Zadanie 2

Mediana zestawu liczb $-3$ , $5$ , $-1$ , $7$ , $8$ , $-6$ , $4$ jest równa:

Zadanie 3

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie. Na osi poziomej podano oceny, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

Zadanie 4

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie. Na osi poziomej podano oceny, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

Zadanie 5

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w klasie liczącej $26$ uczniów. Na osi poziomej podano oceny, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Liczba uczniów, którzy otrzymali ocenę wyższą od średniej ocen w tej klasie, jest równa:

Zadanie 6

W pewnej drużynie trenuje $12$ chłopców i $8$ dziewcząt. Średni wiek chłopców jest równy $15$ lat, a średni wiek dziewcząt $17{,}5$ roku. Średni wiek wszystkich zawodników tej drużyny, wyrażony w latach, jest równy:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 35

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zadanie — średnia arytmetyczna i mediana Matemaks

Średnia, mediana, dominanta — podstawy statystyki Sebastian Warchoł

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć medianę?

Uporządkuj dane rosnąco i weź wartość środkową, a przy parzystej liczbie danych — średnią dwóch środkowych. Dla $3$ , $8$ , $1$ , $6$ : po uporządkowaniu $1,3,6,8$ mediana to $\frac{3+6}{2}=4{,}5$ .

Co to jest dominanta?

To wartość występująca w zestawie najczęściej. Na diagramie to wartość pod najwyższym słupkiem, a nie wysokość tego słupka.

Jak obliczyć średnią ważoną?

Każdą wartość mnożymy przez jej liczebność (wagę), sumujemy i dzielimy przez sumę liczebności. Oceny $3,4,5$ o liczebnościach $2,3,5$ : $\frac{3\cdot2+4\cdot3+5\cdot5}{10}=4{,}3$ .

Jak obliczyć medianę z diagramu lub tabeli?

Sumujemy liczebności narastająco aż do pozycji środkowej: $\frac{n+1}{2}$ przy nieparzystym $n$ albo $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2}+1$ przy parzystym. Dla wartości $1,2,3$ o liczebnościach $4,5,2$ mediana to szósta wartość, czyli $2$ .

Jak obliczyć średnią połączonych grup?

Zamieniamy każdą średnią na sumę ( $\text{suma}=n\cdot\bar{x}$ ), dodajemy sumy i dzielimy przez łączną liczbę danych. Średnie $6$ (cztery liczby) i $11$ (sześć liczb) dają $\frac{24+66}{10}=9$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje Monotoniczność ciągu Ciągi Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Ciągi

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę