Obwody i pola figur podobnych — wytłumaczenie, wzór i zadania

Figury podobne w skali $k$ mają obwody w stosunku $k$, a pola w stosunku $k^2$: $\frac{L_2}{L_1} = k$, $\frac{P_2}{P_1} = k^2$. Skalę odczytujesz ze stosunku odpowiednich boków (albo obwodów), a gdy dane są pola — pierwiastkiem: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.

Przykład: trójkąt o obwodzie $12$ i polu $6$ powiększony w skali $k = 3$ ma obwód $3 \cdot 12 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}}$ i pole $3^2 \cdot 6 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{54}}$.

Przykład: pola figur podobnych to $8$ i $50$, więc $k^2 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$ i $k = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{5}{2}}}$ — obwód większej figury jest $2{,}5$ razy dłuższy.

Przykład: w trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przekątne przecinają się w punkcie $E$. Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty naprzemianległe i wierzchołkowe) w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$; dla $|AB| = 2|CD|$ pole $ABE$ jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ razy większe od pola $CDE$, a trójkąty $BCE$ i $AED$ mają równe pola.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje pola figur (np. $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$), ale zależności $k$ i $k^2$ musisz mieć w głowie. Zadanie za 1 pkt zwykle podaje pola (albo ich sumę) i pyta o obwód, bok lub skalę — najpierw pierwiastek, dopiero potem mnożenie. Pułapka: „pole $9$ razy większe” to skala $3$, nie $9$; i odwrotnie — skala $5$ to pola w stosunku $25$, nie $5$. W zadaniu z przekątnymi trapezu: $ABE \sim CDE$ ze skalą z podstaw, a $BCE$ i $AED$ mają zawsze równe pola.