Obwody i pola figur podobnych — skala podobieństwa i stosunek pól

Q: Jaki jest stosunek pól figur podobnych?

Równy kwadratowi skali podobieństwa: P₂/P₁ = k². Trójkąt o polu 6 powiększony w skali k = 3 ma pole 3² · 6 = 54.

Q: Jaki jest stosunek obwodów figur podobnych?

Równy skali podobieństwa: L₂/L₁ = k. Trójkąt o obwodzie 12 powiększony w skali k = 3 ma obwód 3 · 12 = 36.

Q: Jak obliczyć skalę podobieństwa, gdy znam pola figur?

Pierwiastkiem ze stosunku pól: k = √(P₂/P₁). Dla pól 8 i 50: k² = 50/8 = 25/4, więc k = 5/2, a obwód większej figury jest 2,5 razy dłuższy.

Q: Ile razy zwiększy się pole figury, gdy jej boki zwiększymy 2 razy?

Cztery razy, bo pole zmienia się k² razy, a 2² = 4. Obwód zwiększy się tylko dwa razy.

Q: Jakie pola mają trójkąty wyznaczone przez przekątne trapezu?

Trójkąty przy podstawach są podobne w skali k = |AB|/|CD|, więc ich pola są w stosunku k². Dwa trójkąty przy ramionach mają zawsze równe pola.

Figury podobne w skali $k$ mają obwody w stosunku $k$ , a pola w stosunku $k^2$ — stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Gdy dane są pola, skalę liczymy pierwiastkiem: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$ .

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Stosunek obwodów $L_1$ , $L_2$ — obwody figur podobnych, $k$ — skala podobieństwa: $\frac{L_2}{L_1} = k$
Stosunek pól $P_1$ , $P_2$ — pola figur podobnych: $\frac{P_2}{P_1} = k^2$
Skala ze stosunku pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$

Stosunek obwodów i pól figur podobnych

Figury podobne w skali $k$ mają obwody w stosunku $k$ , a pola w stosunku $k^2$ : $\frac{L_2}{L_1} = k$ , $\frac{P_2}{P_1} = k^2$ . Skalę odczytujesz ze stosunku odpowiednich boków (albo obwodów), a gdy dane są pola — pierwiastkiem: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$ .

Jak obliczyć obwód i pole figury podobnej

Przykład: trójkąt o obwodzie $12$ i polu $6$ powiększony w skali $k = 3$ ma obwód $3 \cdot 12 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}}$ i pole $3^2 \cdot 6 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{54}}$ .

Jak obliczyć skalę ze stosunku pól

Przykład: pola figur podobnych to $8$ i $50$ , więc $k^2 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$ i $k = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{5}{2}}}$ — obwód większej figury jest $2{,}5$ razy dłuższy.

Trójkąty podobne przy przekątnych trapezu

Przykład: w trapezie $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty naprzemianległe i wierzchołkowe) w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$ ; dla $|AB| = 2|CD|$ pole $ABE$ jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ razy większe od pola $CDE$ , a trójkąty $BCE$ i $AED$ mają równe pola.

Figury podobne na maturze — pułapki

Na maturze: karta wzorów CKE podaje pola figur (np. $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ), ale zależności $k$ i $k^2$ musisz mieć w głowie. Zadanie za 1 pkt zwykle podaje pola (albo ich sumę) i pyta o obwód, bok lub skalę — najpierw pierwiastek, dopiero potem mnożenie. Pułapka: „pole $9$ razy większe” to skala $3$ , nie $9$ ; i odwrotnie — skala $5$ to pola w stosunku $25$ , nie $5$ . W zadaniu z przekątnymi trapezu: $ABE \sim CDE$ ze skalą z podstaw, a $BCE$ i $AED$ mają zawsze równe pola.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Obwód figury podobnej ze skali podobieństwa

Wyznaczasz skalę k ze stosunku odpowiednich boków lub obwodów i przeliczasz obwód figury podobnej: obwód₂ = k · obwód₁.

Zadanie Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $6$ i $8$ , a przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $15$ . Oblicz obwód trójkąta $T_2$ .

Skalę odczytuje się z odpowiednich boków, więc potrzebna jest przeciwprostokątna $T_1$ : $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ .
Skala podobieństwa $T_2$ do $T_1$ to stosunek przeciwprostokątnych: $k = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ .
Obwód $T_1$ liczę wprost: $6 + 8 + 10 = 24$ .
Obwody figur podobnych są w stosunku $k$ , więc obwód $T_2 = \frac{3}{2} \cdot 24 = 36$ .

Odpowiedź: Obwód trójkąta $T_2$ jest równy $36$ .

Przykład 2 Pole figury podobnej ze skali

Ze skali k obliczasz pole figury podobnej (pole zmienia się k^{do potęgi 2} razy), a skalę odczytujesz ze stosunku odpowiednich boków.

Zadanie Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $8$ i $15$ , a przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $34$ . Oblicz pole trójkąta $T_2$ .

Skalę odczytuje się z odpowiednich boków, więc liczę przeciwprostokątną $T_1$ : $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$ .
Skala podobieństwa $T_2$ do $T_1$ : $k = \frac{34}{17} = 2$ .
Pole $T_1$ z przyprostokątnych: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ .
Pola figur podobnych są w stosunku $k^2$ , więc pole $T_2 = 2^2 \cdot 60 = 240$ .

Odpowiedź: Pole trójkąta $T_2$ jest równe $240$ .

Przykład 3 Skala ze stosunku pól i obwód figury podobnej

Ze stosunku pól odzyskujesz skalę pierwiastkiem, k = $\sqrt{P₂/P₁}$ , i przeliczasz nią obwód albo bok figury podobnej.

Zadanie Trapez $T_1$ o polu $45$ i obwodzie $30$ jest podobny do trapezu $T_2$ o polu $20$ . Oblicz obwód trapezu $T_2$ .

Dane są pola, więc najpierw stosunek pól, który jest równy $k^2$ : $k^2 = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$ .
Skalę odzyskuję pierwiastkiem: $k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ (mniejsza od $1$ , bo $T_2$ ma mniejsze pole).
Obwody są w stosunku $k$ , nie $k^2$ : obwód $T_2 = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ .

Odpowiedź: Obwód trapezu $T_2$ jest równy $20$ .

Przykład 4 Pola trójkątów wyznaczonych przez przekątne trapezu

Rozpoznajesz trójkąty podobne odcięte prostą równoległą (także przy przekątnych trapezu), odczytujesz skalę z podstaw i porównujesz pola: k^{do potęgi 2} dla trójkątów przy podstawach, równe pola trójkątów przy ramionach.

Zadanie W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Dane są $|AB| = 12$ , $|CD| = 4$ oraz pole trójkąta $CDE$ równe $3$ . Oblicz pole trójkąta $ABE$ i pole trójkąta $BCE$ .

Szukam trójkątów podobnych: $AB \parallel CD$ , więc $\angle EAB = \angle ECD$ (naprzemianległe), a $\angle AEB = \angle CED$ (wierzchołkowe) — trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (cecha kąt–kąt–kąt).
Skalę odczytuję z odpowiednich boków, czyli z podstaw: $k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{4} = 3$ .
Pola trójkątów podobnych są w stosunku $k^2$ : pole $ABE = 3^2 \cdot 3 = 27$ .
Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę $AB$ i tę samą wysokość (odległość podstaw trapezu), więc równe pola; po odjęciu wspólnego trójkąta $ABE$ zostaje: pole $BCE$ = pole $AED$ .
Z podobieństwa $|AE| : |EC| = k = 3$ , a trójkąty $ABE$ i $CBE$ mają wspólną wysokość z wierzchołka $B$ na prostą $AC$ , więc pole $BCE = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$ .

Odpowiedź: Pole $ABE = 27$ , pole $BCE = 9$ (tyle samo co pole $AED$ ).

Najczęstsze błędy

Pomylenie skali ze stosunkiem pól: „pole $9$ razy większe” to skala $3$ , nie $9$ . Skalę z pól liczymy pierwiastkiem.
Skala $5$ daje pola w stosunku $25$ , nie $5$ — pole zmienia się $k^2$ razy.
Przeliczanie obwodu przez $k^2$ . Obwody są w stosunku $k$ , dlatego przy danych polach najpierw liczymy pierwiastek, dopiero potem mnożymy obwód.
Skala z nieodpowiadających sobie boków. Skalę odczytujemy ze stosunku odpowiednich boków, np. obu przeciwprostokątnych.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Trapez $T_1$ ma obwód $28$ , a podobny do niego trapez $T_2$ ma obwód $42$ . Najdłuższy bok trapezu $T_1$ ma długość $12$ . Najdłuższy bok trapezu $T_2$ ma długość:

Zadanie 2

Trójkąt równoboczny $T_1$ ma bok długości $4$ , a trójkąt równoboczny $T_2$ ma bok długości $10$ . Stosunek pola trójkąta $T_2$ do pola trójkąta $T_1$ jest równy:

Zadanie 3

Sześciokąt $S_1$ o polu równym $27$ i obwodzie $24$ jest podobny do sześciokąta $S_2$ . Pole sześciokąta $S_2$ jest równe $75$ . Obwód sześciokąta $S_2$ jest równy:

Zadanie 4

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ zachodzi $|AB| = 3 \cdot |CD|$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ . Prawdziwe jest zdanie:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 22

Trapez $T_{1}$ , o polu równym $52$ i obwodzie $36$ , jest podobny do trapezu $T_{2}$ . Pole trapezu $T_{2}$ jest równe $13$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu $T_{2}$ jest równy

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Skala podobieństwa a pola figur podobnych Marek Duda

Planimetria — powtórka do matury podstawowej Matemaks

Najczęstsze pytania

Jaki jest stosunek pól figur podobnych?

Równy kwadratowi skali podobieństwa: $\frac{P_2}{P_1} = k^2$ . Trójkąt o polu $6$ powiększony w skali $k = 3$ ma pole $3^2 \cdot 6 = 54$ .

Jaki jest stosunek obwodów figur podobnych?

Równy skali podobieństwa: $\frac{L_2}{L_1} = k$ . Trójkąt o obwodzie $12$ powiększony w skali $k = 3$ ma obwód $3 \cdot 12 = 36$ .

Jak obliczyć skalę podobieństwa, gdy znam pola figur?

Pierwiastkiem ze stosunku pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$ . Dla pól $8$ i $50$ : $k^2 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$ , więc $k = \frac{5}{2}$ , a obwód większej figury jest $2{,}5$ razy dłuższy.

Ile razy zwiększy się pole figury, gdy jej boki zwiększymy 2 razy?

Cztery razy, bo pole zmienia się $k^2$ razy, a $2^2 = 4$ . Obwód zwiększy się tylko dwa razy.

Jakie pola mają trójkąty wyznaczone przez przekątne trapezu?

Trójkąty przy podstawach są podobne w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$ , więc ich pola są w stosunku $k^2$ . Dwa trójkąty przy ramionach mają zawsze równe pola.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę