Kąty i przekątne czworokątów — wytłumaczenie, wzór i zadania

W każdym czworokącie kąty sumują się do $360^\circ$. Równoległobok (także prostokąt i romb): kąty przeciwległe równe, sąsiednie sumują się do $180^\circ$, przekątne przecinają się w połowie. Trapez: kąty przy każdym ramieniu sumują się do $180^\circ$. Romb: przekątne prostopadłe i połowią kąty. Prostokąt: przekątne równe, więc trójkąty przy punkcie przecięcia są równoramienne.

• Kąt rozwarty równoległoboku o $36^\circ$ większy od ostrego: $x+(x+36^\circ)=180^\circ$, więc $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{72^\circ}}$.
• Trapez, kąt przy dłuższej podstawie $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{75^\circ}}$ → kąt przy tym samym ramieniu $180^\circ-75^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{105^\circ}}$.
• Romb o kącie ostrym $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{56^\circ}}$: przekątna z tego wierzchołka tworzy z bokiem $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{28^\circ}}$, a z drugą przekątną $90^\circ$.
• Prostokąt, kąt między przekątnymi $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{104^\circ}}$ → kąt między przekątną a bokiem $(180^\circ-104^\circ):2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{38^\circ}}$.
• Romb o przekątnych $24$ i $10$: połówki $12$ i $5$ dają bok $\sqrt{144+25}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{13}}$.

Na maturze: karta wzorów CKE nie zawiera własności kątów i przekątnych — musisz je znać z głowy (są tam tylko wzory na pola). Zadanie za 1 pkt zwykle daje jeden kąt (często między przekątną a bokiem) i pyta o inny; zawsze narysuj figurę, zaznacz punkt przecięcia przekątnych i szukaj trójkąta, w którym znasz dwa kąty. Typowa pułapka: kąt między przekątną a bokiem rombu to połowa kąta rombu, a w prostokącie „równe przekątne” oznaczają trójkąt równoramienny, nie prostokątny.