Wielokąty foremne — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$, kąt wewnętrzny foremnego $\tfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$, kąt środkowy $\tfrac{360^\circ}{n}$, liczba przekątnych $\tfrac{n(n-3)}{2}$, a sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych.

• Ośmiokąt foremny: kąt wewnętrzny $\tfrac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{135^\circ}}$.
• Kąt wewnętrzny $150^\circ$ → kąt zewnętrzny $30^\circ$, więc $n=\tfrac{360^\circ}{30^\circ}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ boków.
• Sześciokąt foremny o boku $8$: promień okręgu opisanego $R=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$, pole $6\cdot\tfrac{8^2\sqrt3}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{96\sqrt3}}$.
• Dwunastokąt: przekątnych $\tfrac{12\cdot9}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{54}}$.

Na maturze: karta wzorów CKE nie podaje wzoru na sumę kątów ani na liczbę przekątnych — musisz je znać; podaje za to pole $\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ i wysokość $\tfrac{a\sqrt3}{2}$ trójkąta równobocznego, którymi liczysz wszystko w sześciokącie foremnym. Typowe zadanie: „kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $\alpha$, liczba boków to…” — najszybciej przez kąt zewnętrzny $n=360^\circ:(180^\circ-\alpha)$. Pułapka: romb (równe boki) ani prostokąt (równe kąty) nie są foremne — trzeba obu warunków naraz.