Wielokąty foremne — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

((n-2)·180°)/n, gdzie n to liczba boków. Dla ośmiokąta foremnego: (6·180°)/8=135°.

Q: Jak obliczyć liczbę boków wielokąta foremnego z kąta wewnętrznego?

Najszybciej przez kąt zewnętrzny: n=360°:(180°-α). Kąt wewnętrzny 150° daje kąt zewnętrzny 30°, więc n=12.

Q: Jaki jest wzór na liczbę przekątnych wielokąta?

(n(n-3))/2: z każdego z n wierzchołków wychodzi n-3 przekątnych, a każdą liczymy dwa razy. Dwunastokąt ma (12·9)/2=54 przekątne.

Q: Ile wynosi suma kątów wewnętrznych wielokąta?

(n-2)·180°, bo przekątne z jednego wierzchołka dzielą n-kąt na n-2 trójkąty. Suma 1260° oznacza dziewięciokąt.

Q: Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego?

Sześciokąt foremny o boku a to sześć trójkątów równobocznych, więc jego pole to 6·(a²√3)/4. Dla boku 8 wychodzi 96√3, a promień okręgu opisanego jest równy bokowi.

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Suma kątów $n$ -kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$ , kąt wewnętrzny foremnego $\tfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$ , a liczba przekątnych $\tfrac{n(n-3)}{2}$ .

Planimetria · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Suma kątów wewnętrznych n-kąta $n$ — liczba boków wielokąta: $(n-2)\cdot180^\circ$
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego $n$ — liczba boków: $\tfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$
Kąt środkowy wielokąta foremnego $n$ — liczba boków; kąt przy środku okręgu opisanego oparty na jednym boku: $\tfrac{360^\circ}{n}$
Liczba przekątnych $n$ — liczba wierzchołków (boków): $\tfrac{n(n-3)}{2}$

Co to jest wielokąt foremny — wzory na kąty i przekątne

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$ , kąt wewnętrzny foremnego $\tfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$ , kąt środkowy $\tfrac{360^\circ}{n}$ , liczba przekątnych $\tfrac{n(n-3)}{2}$ , a sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych.

Ośmiokąt foremny: kąt wewnętrzny $\tfrac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{135^\circ}}$ .
Kąt wewnętrzny $150^\circ$ → kąt zewnętrzny $30^\circ$ , więc $n=\tfrac{360^\circ}{30^\circ}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ boków.
Sześciokąt foremny o boku $8$ : promień okręgu opisanego $R=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ , pole $6\cdot\tfrac{8^2\sqrt3}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{96\sqrt3}}$ .
Dwunastokąt: przekątnych $\tfrac{12\cdot9}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{54}}$ .

Jak obliczyć liczbę boków z kąta wewnętrznego

Na maturze: karta wzorów CKE nie podaje wzoru na sumę kątów ani na liczbę przekątnych — musisz je znać; podaje za to pole $\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ i wysokość $\tfrac{a\sqrt3}{2}$ trójkąta równobocznego, którymi liczysz wszystko w sześciokącie foremnym. Typowe zadanie: „kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $\alpha$ , liczba boków to…” — najszybciej przez kąt zewnętrzny $n=360^\circ:(180^\circ-\alpha)$ . Pułapka: romb (równe boki) ani prostokąt (równe kąty) nie są foremne — trzeba obu warunków naraz.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Liczba boków z sumy kątów wewnętrznych

Liczysz sumę kątów n-kąta ze wzoru (n − 2)·180°, a z danej sumy wyznaczasz liczbę boków lub brakujący kąt.

Zadanie Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wypukłego jest równa $1260^\circ$ . Ile boków ma ten wielokąt?

Przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty, więc suma jego kątów to $(n-2)\cdot180^\circ$ — układam równanie $(n-2)\cdot180^\circ=1260^\circ$ .
Dzielę obie strony przez $180^\circ$ : $n-2=1260:180=7$ .
Dodaję $2$ : $n=9$ . Sprawdzenie: $(9-2)\cdot180^\circ=7\cdot180^\circ=1260^\circ$ .

Odpowiedź: $n=9$ (dziewięciokąt)

Przykład 2 Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

Liczysz kąt wewnętrzny n-kąta foremnego jako (n − 2)·180°/n i używasz go w trójkącie równoramiennym z trzech kolejnych wierzchołków.

Zadanie Punkty $A$ , $B$ , $C$ są kolejnymi wierzchołkami dziewięciokąta foremnego. Oblicz miarę kąta $BAC$ .

Kąt $ABC$ to kąt wewnętrzny dziewięciokąta foremnego: $\frac{(9-2)\cdot180^\circ}{9}=\frac{1260^\circ}{9}=140^\circ$ .
Boki $AB$ i $BC$ są bokami wielokąta foremnego, więc $AB=BC$ — trójkąt $ABC$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $AC$ są równe: $\angle BAC=\angle BCA$ .
Z sumy kątów trójkąta: $\angle BAC=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ (to zawsze $\frac{180^\circ}{n}$ ).

Odpowiedź: $\angle BAC=20^\circ$

Przykład 3 Liczba boków z miary kąta wewnętrznego

Z miary kąta wewnętrznego wyznaczasz liczbę boków: kąt zewnętrzny 180° − α jest równy 360°/n, więc n = 360°/(180° − α).

Zadanie Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $156^\circ$ . Ile boków ma ten wielokąt?

Zamiast rozwiązywać równanie $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=156^\circ$ , przechodzę na kąt zewnętrzny (dopełnienie do $180^\circ$ ): $180^\circ-156^\circ=24^\circ$ .
Kąty zewnętrzne każdego wielokąta wypukłego sumują się do $360^\circ$ , a w foremnym są równe, więc jeden kąt zewnętrzny to $\frac{360^\circ}{n}$ .
$\frac{360^\circ}{n}=24^\circ$ , stąd $n=360:24=15$ .
Sprawdzenie wzorem na kąt wewnętrzny: $\frac{(15-2)\cdot180^\circ}{15}=\frac{2340^\circ}{15}=156^\circ$ — zgadza się.

Odpowiedź: $n=15$ (piętnastokąt)

Przykład 4 Kąt środkowy wielokąta foremnego

Rozpoznajesz wielokąt foremny (boki i kąty równe naraz) i liczysz kąt środkowy 360°/n oraz kąty trójkąta równoramiennego o wierzchołku w środku okręgu opisanego.

Zadanie Punkty $A$ i $B$ są sąsiednimi wierzchołkami dwunastokąta foremnego, a $O$ jest środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie. Oblicz miarę kąta $OAB$ .

Odcinki od środka $O$ do wszystkich wierzchołków dzielą kąt pełny na $12$ równych kątów środkowych, więc $\angle AOB=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$ .
$OA=OB$ (oba to promień $R$ okręgu opisanego), więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny i $\angle OAB=\angle OBA$ .
Z sumy kątów trójkąta: $\angle OAB=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ$ — to połowa kąta wewnętrznego dwunastokąta ( $150^\circ:2$ ), bo $OA$ jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $A$ .

Odpowiedź: $\angle OAB=75^\circ$

Przykład 5 Sześciokąt foremny jako sześć trójkątów równobocznych

Dzielisz sześciokąt foremny o boku a na sześć trójkątów równobocznych i z nich odczytujesz promienie okręgów (R = a, r = a $\sqrt{3}$ /2), pole i długości przekątnych.

Zadanie Pole sześciokąta foremnego jest równe $54\sqrt3$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt.

Kąt środkowy sześciokąta to $360^\circ:6=60^\circ$ , więc odcinki ze środka do wierzchołków dzielą go na $6$ trójkątów równobocznych o boku $a$ — pole sześciokąta to $6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}$ .
Układam równanie: $\frac{3a^2\sqrt3}{2}=54\sqrt3$ , czyli $3a^2=108$ , $a^2=36$ , $a=6$ .
Promień okręgu wpisanego to odległość środka od boku, czyli wysokość jednego z trójkątów równobocznych: $r=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$ .

Odpowiedź: $r=3\sqrt3$

Przykład 6 Liczba przekątnych wielokąta

Liczysz przekątne wielokąta ze wzoru n(n − 3)/2, a z danej liczby przekątnych wyznaczasz liczbę boków.

Zadanie Wielokąt wypukły ma $35$ przekątnych. Ile boków ma ten wielokąt?

Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzą $n-3$ przekątne (nie do siebie i nie do dwóch sąsiadów, bo to boki); iloczyn $n(n-3)$ liczy każdą przekątną dwa razy, więc przekątnych jest $\frac{n(n-3)}{2}$ .
Równanie: $\frac{n(n-3)}{2}=35$ , czyli $n(n-3)=70$ .
Szukam dwóch liczb naturalnych różniących się o $3$ , których iloczyn to $70$ : $10\cdot7=70$ , więc $n=10$ . (Równanie $n^2-3n-70=0$ ma pierwiastki $10$ i $-7$ ; ujemny odrzucam.)

Odpowiedź: $n=10$ (dziesięciokąt)

Najczęstsze błędy

Uznanie rombu albo prostokąta za wielokąt foremny. Romb ma tylko równe boki, prostokąt tylko równe kąty — wielokąt foremny musi mieć oba warunki naraz.
Liczenie przekątnych jako $n(n-3)$ bez dzielenia przez $2$ — wtedy każda przekątna jest policzona dwa razy.
Pozostawienie ujemnego wyniku przy liczbie boków: równanie $n(n-3)=70$ ma pierwiastki $10$ i $-7$ , a liczba boków jest dodatnia, więc $n=10$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wypukłego jest równa $1620^\circ$ . Liczba boków tego wielokąta jest równa:

Zadanie 2

Dany jest piętnastokąt foremny. Miara jego kąta wewnętrznego jest równa:

Zadanie 3

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $162^\circ$ . Liczba boków tego wielokąta jest równa:

Zadanie 4

Punkty $A$ i $B$ są sąsiednimi wierzchołkami dziesięciokąta foremnego, a $O$ — środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie. Miara kąta $OAB$ jest równa:

Zadanie 5

Sześciokąt foremny ma bok długości $10$ . Promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt jest równy:

Zadanie 6

Liczba wszystkich przekątnych dwudziestokąta foremnego jest równa:

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

W okrąg O o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ………. Matura 2026 — matematyka, poziom podstawowy · zadanie 22

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego Marek Duda

Wielokąt foremny i suma kątów w wielokącie Lernado

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

$\tfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$ , gdzie $n$ to liczba boków. Dla ośmiokąta foremnego: $\tfrac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ$ .

Jak obliczyć liczbę boków wielokąta foremnego z kąta wewnętrznego?

Najszybciej przez kąt zewnętrzny: $n=360^\circ:(180^\circ-\alpha)$ . Kąt wewnętrzny $150^\circ$ daje kąt zewnętrzny $30^\circ$ , więc $n=12$ .

Jaki jest wzór na liczbę przekątnych wielokąta?

$\tfrac{n(n-3)}{2}$ : z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych, a każdą liczymy dwa razy. Dwunastokąt ma $\tfrac{12\cdot9}{2}=54$ przekątne.

Ile wynosi suma kątów wewnętrznych wielokąta?

$(n-2)\cdot180^\circ$ , bo przekątne z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty. Suma $1260^\circ$ oznacza dziewięciokąt.

Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego?

Sześciokąt foremny o boku $a$ to sześć trójkątów równobocznych, więc jego pole to $6\cdot\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ . Dla boku $8$ wychodzi $96\sqrt3$ , a promień okręgu opisanego jest równy bokowi.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąty i przekątne czworokątów Planimetria Kąty wpisane i środkowe Planimetria Pole wycinka i długość łuku Planimetria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę