Pole wycinka koła i długość łuku — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na długość łuku?

l=α/360°· 2π r, gdzie α to kąt środkowy, a r — promień. Dla r=9 i α=100°: 100/360· 18π=5/18· 18π=5π.

Q: Jaki jest wzór na pole wycinka koła?

P=α/360°· π r² — wycinek to taka część koła, jaką częścią kąta pełnego jest α. Dla r=6 i α=60°: 1/6· 36π=6π.

Q: Jak obliczyć obwód wycinka koła?

Do długości łuku dodaj dwa promienie: obwód wycinka =l+2r. Dla r=6 i α=60° łuk ma 2π, więc obwód wycinka to 2π+12.

Q: Jak obliczyć kąt środkowy z długości łuku?

Podziel długość łuku przez obwód okręgu i pomnóż przez 360°. Łuk 3π przy r=4 to (3π)/(8π)=3/8 okręgu, więc α=3/8· 360°=135°.

Łuk i wycinek to ułamek $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ całego okręgu lub koła: długość łuku $l=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$ , pole wycinka $P=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$ , gdzie $\alpha$ to kąt środkowy.

Planimetria · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Długość łuku $\alpha$ — kąt środkowy oparty na łuku, $r$ — promień okręgu: $l=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$
Pole wycinka koła $\alpha$ — kąt środkowy wycinka, $r$ — promień koła: $P=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$

Wzór na długość łuku i pole wycinka koła

Łuk i wycinek to ułamek $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ całego okręgu lub koła: długość łuku $l=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$ , pole wycinka $P=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$ , obwód wycinka $=l+2r$ .

$r=\textcolor{#0284c7}{\mathbf{6}}$ , $\alpha=\textcolor{#d97706}{\mathbf{60^\circ}}$ : łuk $\tfrac{60}{360}\cdot 12\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\pi}}$ , pole $\tfrac{1}{6}\cdot 36\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6\pi}}$ , obwód wycinka $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\pi+12}}$ .
Odwrotnie: łuk $3\pi$ przy $r=4$ to $\tfrac{3\pi}{8\pi}=\tfrac{3}{8}$ okręgu, więc $\alpha=\tfrac{3}{8}\cdot 360^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{135^\circ}}$ .
Kąt wpisany $25^\circ$ oparty na łuku $AB$ → kąt środkowy $50^\circ$ ; przy $r=18$ łuk $AB=\tfrac{50}{360}\cdot 36\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5\pi}}$ .

Jak liczyć łuk z kąta wpisanego i obwód wycinka

Na maturze: oba wzory są w tablicach CKE (dział „Planimetria”) — nie ucz się ich na pamięć, ucz się ułamka $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ . Gdy zadanie podaje kąt wpisany albo trójkąt w okręgu ze średnicą, najpierw wyznacz kąt środkowy oparty na łuku, dopiero potem licz łuk. Obwód wycinka to łuk plus dwa promienie — odpowiedź „samo $\tfrac{1}{2}\pi$ ” zamiast „ $\tfrac{1}{2}\pi+6$ ” to klasyczny dystraktor.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Długość łuku z kąta środkowego i promienia

Okrąg: r = 9, kąt środkowy 100° — łuk AB

Liczysz długość łuku jako ułamek α/360° obwodu 2πr — także z danej średnicy albo ze stosunku, w jakim punkty dzielą okrąg.

Zadanie Okrąg ma promień $9$ . Oblicz długość łuku tego okręgu odpowiadającego kątowi środkowemu $100^\circ$ .

Łuk jest taką częścią obwodu, jaką częścią pełnego kąta jest $100^\circ$ : $\tfrac{100}{360}=\tfrac{5}{18}$ .
Obwód całego okręgu: $2\pi r=2\pi\cdot 9=18\pi$ .
Mnożę ułamek przez obwód: $l=\tfrac{5}{18}\cdot 18\pi=5\pi$ .

Odpowiedź: $5\pi$

Przykład 2 Pole wycinka koła z kąta środkowego

Wycinek koła: r = 9, kąt środkowy 80°

Liczysz pole wycinka jako ułamek α/360° pola koła πr^{do potęgi 2} — także gdy dana jest średnica albo promień z pierwiastkiem.

Zadanie Koło ma promień $9$ . Oblicz pole wycinka tego koła o kącie środkowym $80^\circ$ .

Wycinek jest taką częścią koła, jaką częścią pełnego kąta jest $80^\circ$ : $\tfrac{80}{360}=\tfrac{2}{9}$ .
Pole całego koła: $\pi r^2=\pi\cdot 9^2=81\pi$ .
Mnożę ułamek przez pole koła: $P=\tfrac{2}{9}\cdot 81\pi=18\pi$ .

Odpowiedź: $18\pi$

Przykład 3 Obwód wycinka koła (łuk plus dwa promienie)

Wycinek koła: r = 9, kąt 40° — obwód = łuk + dwa promienie

Liczysz obwód wycinka jako łuk plus dwa promienie, sam wyznaczając łuk z kąta środkowego; z obwodu odczytujesz też promień.

Zadanie Koło ma promień $9$ . Oblicz obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $40^\circ$ .

Brzeg wycinka to łuk i dwa promienie, więc obwód $=l+2r$ — najpierw potrzebuję łuku.
Łuk to $\tfrac{40}{360}=\tfrac{1}{9}$ obwodu okręgu $2\pi\cdot 9=18\pi$ , czyli $l=\tfrac{1}{9}\cdot 18\pi=2\pi$ .
Dwa promienie: $2\cdot 9=18$ .
Obwód wycinka: $2\pi+18$ — składników z $\pi$ i bez $\pi$ nie da się połączyć w jedną liczbę.

Odpowiedź: $2\pi+18$

Przykład 4 Kąt środkowy z długości łuku albo pola wycinka

Wycinek koła: r = 6, pole 10π — szukany kąt środkowy AOB

Z danej długości łuku lub pola wycinka wyznaczasz kąt środkowy albo promień: porównujesz z całym obwodem lub polem koła i rozwiązujesz równanie.

Zadanie Pole wycinka koła o promieniu $6$ jest równe $10\pi$ . Oblicz miarę kąta środkowego tego wycinka.

Pole wycinka to ułamek $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ pola koła, więc najpierw liczę pole całego koła: $\pi\cdot 6^2=36\pi$ .
Ułamek koła, jaki stanowi wycinek: $\tfrac{10\pi}{36\pi}=\tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{18}$ .
Taki sam ułamek pełnego kąta daje kąt środkowy: $\alpha=\tfrac{5}{18}\cdot 360^\circ=100^\circ$ .

Odpowiedź: $100^\circ$

Przykład 5 Długość łuku, gdy dany jest kąt wpisany

Okrąg: r = 12, kąt środkowy AOB = 60° (dwa razy kąt wpisany ACB = 30°) — łuk AB

Zamieniasz kąt wpisany na dwa razy większy kąt środkowy oparty na tym samym łuku (po drodze rachunek kątów w trójkącie, np. kąt 90° oparty na średnicy) i dopiero wtedy liczysz łuk lub pole wycinka.

Zadanie Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $O$ i promieniu $12$ . Kąt wpisany $ACB$ ma miarę $30^\circ$ . Oblicz długość łuku $AB$ , na którym oparty jest ten kąt.

Wzór na łuk potrzebuje kąta środkowego, a mam wpisany. Kąt środkowy $AOB$ oparty na tym samym łuku $AB$ jest dwa razy większy: $2\cdot 30^\circ=60^\circ$ .
Łuk $AB$ to $\tfrac{60}{360}=\tfrac{1}{6}$ obwodu okręgu.
Obwód: $2\pi\cdot 12=24\pi$ .
Długość łuku: $l=\tfrac{1}{6}\cdot 24\pi=4\pi$ .

Odpowiedź: $4\pi$

Najczęstsze błędy

Obwód wycinka bez promieni. Obwód wycinka to łuk plus dwa promienie, $l+2r$ — np. $2\pi+18$ , a nie samo $2\pi$ .
Wstawienie kąta wpisanego do wzoru na łuk. Wzór potrzebuje kąta środkowego, który jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Łączenie $2\pi+18$ w jedną liczbę — składników z $\pi$ i bez $\pi$ nie da się dodać.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dany jest okrąg o promieniu $12$ . Długość łuku tego okręgu odpowiadającego kątowi środkowemu $45^\circ$ jest równa:

Zadanie 2

Pole wycinka koła o promieniu $6$ i kącie środkowym $150^\circ$ jest równe:

Zadanie 3

Koło ma promień $6$ . Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $120^\circ$ jest równy:

Zadanie 4

Pole wycinka koła o kącie środkowym $45^\circ$ jest równe $8\pi$ . Promień tego koła jest równy:

Zadanie 5

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $15$ . Kąt $ACB$ ma miarę $24^\circ$ . Długość łuku $AB$ , na którym jest oparty kąt wpisany $ACB$ , jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 23

Koło ma promień równy $3$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $30^{\circ}$ jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt… Matura 2025 — matematyka, poziom podstawowy, termin poprawkowy (sierpień) · zadanie 21.2

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Obliczanie długości łuku i pola wycinka koła Zacny Umysł

Pole koła i pole wycinka koła — omówienie Lernado

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na długość łuku?

$l=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$ , gdzie $\alpha$ to kąt środkowy, a $r$ — promień. Dla $r=9$ i $\alpha=100^\circ$ : $\tfrac{100}{360}\cdot 18\pi=\tfrac{5}{18}\cdot 18\pi=5\pi$ .

Jaki jest wzór na pole wycinka koła?

$P=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$ — wycinek to taka część koła, jaką częścią kąta pełnego jest $\alpha$ . Dla $r=6$ i $\alpha=60^\circ$ : $\tfrac{1}{6}\cdot 36\pi=6\pi$ .

Jak obliczyć obwód wycinka koła?

Do długości łuku dodaj dwa promienie: obwód wycinka $=l+2r$ . Dla $r=6$ i $\alpha=60^\circ$ łuk ma $2\pi$ , więc obwód wycinka to $2\pi+12$ .

Jak obliczyć kąt środkowy z długości łuku?

Podziel długość łuku przez obwód okręgu i pomnóż przez $360^\circ$ . Łuk $3\pi$ przy $r=4$ to $\tfrac{3\pi}{8\pi}=\tfrac{3}{8}$ okręgu, więc $\alpha=\tfrac{3}{8}\cdot 360^\circ=135^\circ$ .

Jak obliczyć długość łuku, gdy dany jest kąt wpisany?

Najpierw zamień kąt wpisany na dwa razy większy kąt środkowy. Kąt wpisany $25^\circ$ daje środkowy $50^\circ$ , więc przy $r=18$ łuk ma $\tfrac{50}{360}\cdot 36\pi=5\pi$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąty i przekątne czworokątów Planimetria Kąty wpisane i środkowe Planimetria Wielokąty foremne Planimetria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę