Pole wycinka i długość łuku — wytłumaczenie, wzór i zadania

Łuk i wycinek to ułamek $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ całego okręgu lub koła: długość łuku $l=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$, pole wycinka $P=\tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$, obwód wycinka $=l+2r$.

• $r=\textcolor{#0284c7}{\mathbf{6}}$, $\alpha=\textcolor{#d97706}{\mathbf{60^\circ}}$: łuk $\tfrac{60}{360}\cdot 12\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\pi}}$, pole $\tfrac{1}{6}\cdot 36\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6\pi}}$, obwód wycinka $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\pi+12}}$.
• Odwrotnie: łuk $3\pi$ przy $r=4$ to $\tfrac{3\pi}{8\pi}=\tfrac{3}{8}$ okręgu, więc $\alpha=\tfrac{3}{8}\cdot 360^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{135^\circ}}$.
• Kąt wpisany $25^\circ$ oparty na łuku $AB$ → kąt środkowy $50^\circ$; przy $r=18$ łuk $AB=\tfrac{50}{360}\cdot 36\pi=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5\pi}}$.

Na maturze: oba wzory są w tablicach CKE (dział „Planimetria”) — nie ucz się ich na pamięć, ucz się ułamka $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$. Gdy zadanie podaje kąt wpisany albo trójkąt w okręgu ze średnicą, najpierw wyznacz kąt środkowy oparty na łuku, dopiero potem licz łuk. Obwód wycinka to łuk plus dwa promienie — odpowiedź „samo $\tfrac{1}{2}\pi$” zamiast „$\tfrac{1}{2}\pi+6$” to klasyczny dystraktor.